Kuis Latihan Ruang Metrik dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kumpulan soal di bagian bawah halaman untuk berlatih ruang metrik: aksioma metrik, bola terbuka \(B(a,r)\), bola tertutup, himpunan terbuka dan tertutup, penutupan, interior dan batas, subhimpunan padat, konvergensi \(x_n\to x\), barisan Cauchy, kelengkapan, kompletisasi seperti \(\mathbb{Q}\) menjadi lengkap sebagai \(\mathbb{R}\), kontinuitas, isometri, metrik produk, kekompakan, dan sifat terbatas total. Jika Anda memerlukan penyegaran, buka pelajaran untuk contoh yang jelas dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan ruang metrik ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal metrik, topologi, konvergensi, kelengkapan, dan kekompakan di bagian bawah halaman.
2. Buka pelajaran: tinjau definisi dan uji pengenalan dengan contoh penyelesaian singkat.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan terjemahkan setiap soal menjadi definisi atau teorema sebelum memilih.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran ruang metrik
Metrik, bola, dan contoh
Aksioma metrik: ketaknegatifan, pemisahan, simetri, dan pertidaksamaan segitiga.
Bola: \(B(a,r)=\{x:d(x,a)<r\}\) dan bola tertutup \(\{x:d(x,a)\le r\}\).
Contoh: jarak biasa, metrik diskret, dan metrik produk.
Terbuka, tertutup, padat, batas
Terbuka: setiap titik memiliki bola yang termuat dalam himpunan.
Tertutup: limit barisan konvergen dalam himpunan tetap berada dalam himpunan.
Padat: setiap bola terbuka tak kosong beririsan dengan subhimpunan.
Barisan dan kelengkapan
Konvergensi: \(x_n\to x\) berarti \(d(x_n,x)\to0\).
Cauchy: suku-sukunya pada akhirnya menjadi sedekat apa pun satu sama lain.
Lengkap: setiap barisan Cauchy konvergen di dalam ruang.
Kekompakan dan ruang terbatas total
Ruang metrik kompak: setiap barisan memiliki subbarisan konvergen.
Keterbatasan total: hingga banyaknya bola-\(\varepsilon\) menutupi ruang untuk setiap \(\varepsilon>0\).
Teorema kunci: kekompakan ekuivalen dengan kelengkapan ditambah sifat terbatas total dalam ruang metrik.
Tujuan: Bangun perangkat ruang metrik yang andal: periksa aksioma metrik, baca bola terbuka dan tertutup, kenali perilaku himpunan terbuka, tertutup, padat, interior, batas, dan penutupan, terjemahkan definisi konvergensi dan Cauchy menjadi pertidaksamaan, kenali kelengkapan dan kekompakan, serta gunakan kontinuitas, isometri, metrik produk, dan sifat terbatas total tanpa hanya mengandalkan gambar.
Kriteria keberhasilan
Nyatakan empat aksioma metrik dan gunakan pemisahan: \(d(x,y)=0\) jika dan hanya jika \(x=y\).
Hitung bola terbuka dan bola tertutup dalam metrik biasa, diskret, dan produk.
Kenali subhimpunan terbuka, tertutup, interior, batas, penutupan, dan padat menggunakan bola atau barisan.
Terjemahkan \(x_n\to x\) menjadi \(d(x_n,x)\to0\), dan buktikan limit unik.
Gunakan definisi Cauchy dan bedakan konvergen dari sekadar Cauchy dalam ruang tak lengkap.
Ketahui bahwa \(\mathbb{R}\) lengkap, \(\mathbb{Q}\) tidak lengkap, dan kompletisasi \(\mathbb{Q}\) adalah \(\mathbb{R}\).
Gunakan kontinuitas melalui \(\varepsilon\)-\(\delta\), barisan, dan prapeta himpunan terbuka.
Kenali ruang metrik kompak melalui kekompakan sekuensial dan melalui kelengkapan ditambah sifat terbatas total.
Hindari kesalahan bahwa tertutup dan terbatas selalu berarti kompak di setiap ruang metrik.
Kosakata kunci
Metrik: fungsi jarak \(d:X\times X\to[0,\infty)\) yang memenuhi pemisahan, simetri, dan pertidaksamaan segitiga.
Bola terbuka: \(B(a,r)=\{x\in X:d(x,a)<r\}\).
Barisan Cauchy: suku-sukunya pada akhirnya menjadi sedekat apa pun satu sama lain.
Ruang lengkap: setiap barisan Cauchy konvergen ke suatu titik dalam ruang.
Subhimpunan padat: setiap bola terbuka tak kosong beririsan dengan subhimpunan, ekuivalen dengan penutupannya adalah seluruh ruang.
Terbatas total: untuk setiap \(\varepsilon>0\), hingga banyaknya bola-\(\varepsilon\) menutupi ruang.
Cek awal cepat
Cek awal: Pernyataan mana yang merupakan bagian dari definisi metrik?
Petunjuk: Metrik harus memisahkan titik, jadi jarak nol hanya untuk titik yang identik.
Metrik adalah jarak abstrak dengan uji bola yang konkret
Tujuan pembelajaran: Periksa apakah suatu rumus berperilaku seperti jarak dan hitung bola dalam metrik sederhana.
Ide utama
Metrik \(d\) pada \(X\) memasangkan bilangan tak negatif pada setiap pasangan titik. Ia harus memenuhi \(d(x,y)=0\) tepat ketika \(x=y\), simetri \(d(x,y)=d(y,x)\), dan pertidaksamaan segitiga \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\). Pertidaksamaan segitiga adalah mesin utama di balik keunikan limit dan estimasi kontinuitas.
Contoh
Metrik biasa: pada \(\mathbb{R}\), \(d(x,y)=|x-y|\).
Metrik diskret: \(d(x,y)=0\) jika \(x=y\), dan \(d(x,y)=1\) jika \(x≠ y\).
Metrik produk: \(d((x,y),(x',y'))=d_X(x,x')+d_Y(y,y')\) adalah metrik pada \(X\times Y\).
Bola terbuka adalah \(B(a,r)=\{x:d(x,a)<r\}\). Bola tertutup adalah \(\overline{B}(a,r)=\{x:d(x,a)\le r\}\). Dalam metrik yang tidak biasa, bola dapat tampak sangat berbeda dari interval atau cakram bundar.
Contoh dikerjakan
Contoh: Dalam metrik diskret, apa \(B(a,1/2)\)?
Setiap titik \(x≠ a\) memiliki \(d(x,a)=1\), yang tidak lebih kecil dari \(1/2\). Titik pusat memiliki jarak \(0\). Jadi \(B(a,1/2)=\{a\}\).
Coba
Coba: Dalam metrik diskret, apa \(B(a,1/2)\)?
Petunjuk: Bandingkan jari-jari \(1/2\) dengan jarak dari \(a\) ke titik lain mana pun.
Topologi metrik dikendalikan oleh bola
Tujuan pembelajaran: Tentukan apakah titik merupakan titik interior, batas, penutupan, atau kepadatan menggunakan bola terbuka.
Ide utama
Himpunan \(U\subseteq X\) terbuka jika setiap \(u\in U\) memiliki suatu bola \(B(u,r)\subseteq U\). Himpunan \(F\) tertutup jika memuat limit dari semua barisan konvergen dari \(F\). Dalam ruang metrik, bahasa barisan biasanya cukup untuk menguji ketertutupan.
Daftar cek pengenalan
Interior: \(x\) interior bagi \(A\) jika ada bola di sekitar \(x\) yang terletak di dalam \(A\).
Penutupan: \(x\in\overline{A}\) jika setiap bola di sekitar \(x\) beririsan dengan \(A\).
Batas: setiap bola di sekitar \(x\) beririsan dengan \(A\) dan \(X\setminus A\).
Tertutup: \(A=\overline{A}\), atau ekuivalen, \(A\) memuat semua limit sekuensialnya.
Dalam metrik diskret: setiap subhimpunan terbuka, dan setiap subhimpunan juga tertutup.
Kepadatan
Subhimpunan \(D\) padat dalam \(X\) ketika \(\overline{D}=X\). Secara ekuivalen, setiap bola terbuka tak kosong di \(X\) beririsan dengan \(D\). Padat tidak berarti \(D=X\); artinya \(D\) hadir pada setiap skala positif.
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa \(\mathbb{Q}\) padat dalam \(\mathbb{R}\) dengan jarak biasa?
Setiap interval terbuka \((a-r,a+r)\) memuat bilangan rasional. Karena bola terbuka dalam \(\mathbb{R}\) adalah interval, setiap bola beririsan dengan \(\mathbb{Q}\), sehingga \(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\).
Coba
Coba: Titik batas dari \(A\) memiliki setiap bola yang beririsan dengan himpunan mana?
Petunjuk: Titik batas tidak dapat dipisahkan secara lokal dari himpunan maupun komplemennya.
Konvergensi metrik adalah konvergensi jarak ke nol
Tujuan pembelajaran: Gunakan \(d(x_n,x)\to0\) dan syarat Cauchy tanpa mengasumsikan urutan atau koordinat.
Ide utama
Barisan \(x_n\) konvergen ke \(x\) jika \(d(x_n,x)\to0\). Barisan itu Cauchy jika untuk setiap \(\varepsilon>0\), ada \(N\) sehingga \(d(x_m,x_n)<\varepsilon\) setiap kali \(m,n\ge N\). Konvergensi memberi target; Cauchy hanya mengatakan ekornya mengelompok secara internal.
Uji barisan
Limit unik: jika \(x_n\to x\) dan \(x_n\to y\), pertidaksamaan segitiga memberi \(d(x,y)=0\).
Setiap barisan konvergen adalah Cauchy.
Setiap subbarisan dari barisan konvergen konvergen ke limit yang sama.
Barisan Cauchy tidak harus konvergen kecuali ruangnya lengkap.
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa \(x_n=1/n\) Cauchy dalam \((0,1)\) tetapi tidak konvergen dalam \((0,1)\)?
Dalam metrik biasa, \(1/n\to0\) di \(\mathbb{R}\), sehingga suku-sukunya pada akhirnya menjadi sedekat apa pun satu sama lain. Tetapi \(0\notin(0,1)\), sehingga barisan itu tidak memiliki limit di dalam ruang \((0,1)\).
Coba
Coba: Setiap barisan konvergen dalam ruang metrik adalah:
Petunjuk: Gunakan \(d(x_m,x_n)\le d(x_m,x)+d(x_n,x)\) setelah kedua suku dekat ke limit yang sama.
Kelengkapan berarti barisan Cauchy memiliki limitnya di dalam
Tujuan pembelajaran: Bedakan ruang lengkap dari subruang padat yang tak lengkap, dan ketahui aturan subhimpunan tertutup.
Ide utama
Ruang metrik lengkap ketika setiap barisan Cauchy konvergen ke suatu titik dalam ruang yang sama. Garis real dengan metrik biasa lengkap. Bilangan rasional dengan metrik biasa tidak lengkap karena barisan Cauchy rasional dapat konvergen ke bilangan real irasional.
Fakta untuk diingat
Komplesi \(\mathbb{Q}\) dengan metrik biasa adalah \(\mathbb{R}\).
Subhimpunan tertutup dari ruang metrik lengkap adalah lengkap dengan metrik warisan.
Subruang lengkap dari ruang metrik mana pun tertutup dalam ruang ambien.
Kelengkapan bukan kekompakan: ruang lengkap bisa tidak kompak.
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa \([0,1]\) lengkap di dalam \(\mathbb{R}\)?
Garis real lengkap, dan \([0,1]\) tertutup dalam \(\mathbb{R}\). Setiap barisan Cauchy dalam \([0,1]\) konvergen di \(\mathbb{R}\), dan ketertutupan menjaga limitnya tetap berada di \([0,1]\).
Coba
Coba: Jika \(X\) lengkap dan \(A\subseteq X\) tertutup dengan metrik warisan, maka \(A\) bersifat:
Petunjuk: Barisan Cauchy dalam \(A\) konvergen di \(X\), lalu ketertutupan memasukkan limitnya kembali ke \(A\).
Kontinuitas dapat diuji dengan bola, barisan, atau himpunan terbuka
Tujuan pembelajaran: Berpindah antara bentuk-bentuk umum kontinuitas dalam ruang metrik dan kenali pemetaan yang mempertahankan jarak.
Ide utama
Pemetaan \(f:X\to Y\) kontinu di \(x\) jika setiap toleransi target yang kecil dapat dicapai dengan mengambil \(y\) cukup dekat ke \(x\). Secara ekuivalen dalam ruang metrik, \(x_n\to x\) mengimplikasikan \(f(x_n)\to f(x)\). Secara global, \(f\) kontinu tepat ketika prapeta himpunan terbuka di \(Y\) terbuka di \(X\).
Uji praktis
\(\varepsilon\)-\(\delta\): kendalikan \(d_Y(f(x),f(y))\) dari batas pada \(d_X(x,y)\).
Sekuensial: mempertahankan limit barisan konvergen.
Topologis: prapeta himpunan terbuka adalah terbuka.
Isometri: \(d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)\), sehingga setiap isometri kontinu.
Metrik produk: estimasi komponen demi komponen sering membuktikan kontinuitas pada produk.
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa setiap isometri kontinu?
Jika \(f\) adalah isometri, maka \(d_Y(f(x_n),f(x))=d_X(x_n,x)\). Setiap kali \(x_n\to x\), ruas kanan menuju \(0\), sehingga \(f(x_n)\to f(x)\).
Coba
Coba: Pemetaan antara ruang metrik kontinu tepat ketika prapeta himpunan terbuka adalah:
Petunjuk: Kontinuitas menarik lingkungan terbuka di target kembali menjadi lingkungan terbuka di domain.
Dalam ruang metrik, kekompakan dapat dibaca dari barisan
Tujuan pembelajaran: Kenali kekompakan melalui kekompakan sekuensial dan melalui kelengkapan ditambah sifat terbatas total.
Ide utama
Ruang metrik kompak memiliki sifat sekuensial bahwa setiap barisan memiliki subbarisan konvergen yang limitnya berada dalam ruang. Ruang metrik kompak selalu lengkap dan terbatas total. Sebaliknya, ruang metrik kompak ketika lengkap dan terbatas total.
Fakta untuk diingat
Ruang metrik kompak tertutup dan terbatas ketika dipandang sebagai subhimpunan dari ruang metrik lain.
Tertutup dan terbatas saja bukan uji kekompakan universal di setiap ruang metrik.
Keterbatasan total berarti jaring-\(\varepsilon\) berhingga ada untuk setiap \(\varepsilon>0\).
Fungsi kontinu mengirim himpunan kompak ke himpunan kompak.
Barisan dalam ruang metrik kompak selalu memiliki subbarisan konvergen.
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa himpunan tak hingga dengan metrik diskret tidak kompak?
Untuk jari-jari \(1/2\), setiap bola adalah himpunan tunggal. Menutupi ruang diskret tak hingga dengan bola berjari-jari \(1/2\) akan memerlukan tak hingga banyaknya bola, sehingga ruang itu tidak terbatas total. Karena itu ruang tersebut tidak kompak.
Coba
Coba: Dalam ruang metrik, kekompakan ekuivalen dengan kelengkapan ditambah:
Petunjuk: Syarat yang hilang mengatakan bahwa setiap skala positif memiliki penutup bola berhingga.
Sebagian besar kesalahan mencampur kompak, lengkap, tertutup, dan terbatas
Tujuan pembelajaran: Akhiri dengan pembedaan yang mencegah kesalahan umum pada ruang metrik.
Kesalahan umum
Jarak nol: jika titik berbeda dapat memiliki jarak \(0\), rumusnya bukan metrik.
Bola terbuka versus tertutup: pertidaksamaan ketat \(d<r\) dan lemah \(d\le r\) berperilaku berbeda.
Padat versus sama: subhimpunan padat masih bisa melewatkan banyak titik.
Cauchy versus konvergen: barisan Cauchy memerlukan kelengkapan untuk menjamin limit di dalam ruang.
Lengkap versus kompak: \(\mathbb{R}\) lengkap tetapi tidak kompak.
Tertutup dan terbatas: kompak mengimplikasikan tertutup dan terbatas, tetapi konversnya tidak otomatis di setiap ruang metrik.
Metrik diskret: setiap subhimpunan terbuka dan tertutup, sedangkan ruang diskret tak hingga tidak kompak.
Contoh dikerjakan
Contoh: Berikan ruang metrik lengkap yang tidak kompak.
Garis real \(\mathbb{R}\) dengan \(d(x,y)=|x-y|\) lengkap: barisan Cauchy real konvergen ke bilangan real. Ruang ini tidak kompak; misalnya, barisan \(1,2,3,\dots\) tidak memiliki subbarisan konvergen dalam \(\mathbb{R}\).
Coba
Coba: Apakah setiap ruang metrik lengkap kompak?
Petunjuk: Ruang lengkap dapat gagal terbatas total.
Rekap akhir
Metrik memisahkan titik: \(d(x,y)=0\) jika dan hanya jika \(x=y\).
Bola terbuka mendefinisikan keterbukaan; himpunan tertutup memuat limit sekuensial.
Padat berarti setiap bola terbuka tak kosong beririsan dengan subhimpunan.
Konvergensi berarti \(d(x_n,x)\to0\); setiap barisan konvergen adalah Cauchy.
Lengkap berarti setiap barisan Cauchy konvergen di dalam ruang.
Subhimpunan tertutup dari ruang lengkap bersifat lengkap.
Kontinuitas ekuivalen dengan prapeta himpunan terbuka yang terbuka.
Isometri mempertahankan jarak dan kontinu.
Ruang metrik kompak bersifat kompak sekuensial.
Kekompakan metrik ekuivalen dengan kelengkapan ditambah sifat terbatas total.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis lagi. Terjemahkan setiap soal menjadi pernyataan tentang bola, barisan, Cauchy, kontinuitas, kekompakan, atau sifat terbatas total sebelum menjawab.
Set latihan
Soal latihan Metric Spaces dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Metrik \(d\) harus memenuhi \(d(x,y)=0\) tepat ketika:
Jawaban benar: B. \(x=y\)
Penjelasan: Metrik membedakan titik: jarak nol berarti kedua titik sama.
Soal 2Belum dijawab
Sifat manakah yang menyatakan \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\)?
Jawaban benar: C. Ketaksamaan segitiga
Penjelasan: Ini adalah ketaksamaan segitiga.
Soal 3Belum dijawab
Bola terbuka berpusat di \(a\) dengan jari-jari \(r\) adalah:
Jawaban benar: C. \(\{x:d(x,a)
Penjelasan: Bola terbuka memuat titik yang jaraknya ke pusat kurang dari jari-jari.
Soal 4Belum dijawab
Sebuah barisan disebut Cauchy jika suku-sukunya pada akhirnya menjadi:
Jawaban benar: A. Saling sedekat apa pun
Penjelasan: Cauchy berarti suku-sukunya saling sedekat apa pun setelah indeks tertentu.
Soal 5Belum dijawab
Ruang metrik disebut lengkap ketika setiap barisan Cauchy:
Jawaban benar: B. Konvergen di dalam ruang itu
Penjelasan: Kelengkapan berarti barisan Cauchy konvergen di dalam ruang itu.
Soal 6Belum dijawab
Apakah \(\mathbb{R}\) lengkap dengan jarak biasa?
Jawaban benar: C. Ya
Penjelasan: Setiap barisan Cauchy real konvergen ke bilangan real.
Soal 7Belum dijawab
Apakah \(\mathbb{Q}\) lengkap dengan jarak biasa?
Jawaban benar: B. Tidak
Penjelasan: Barisan Cauchy rasional dapat konvergen ke bilangan irasional.
Soal 8Belum dijawab
Suatu subhimpunan disebut tertutup jika memuat:
Jawaban benar: C. Semua titik limitnya
Penjelasan: Himpunan tertutup memuat semua titik limitnya.
Soal 9Belum dijawab
Dalam ruang metrik, konvergensi \(x_n\to x\) berarti:
Jawaban benar: B. \(d(x_n,x)\to0\)
Penjelasan: Konvergensi berarti jarak dari \(x_n\) ke \(x\) menuju nol.
Soal 10Belum dijawab
Setiap barisan konvergen dalam ruang metrik adalah:
Jawaban benar: C. Cauchy
Penjelasan: Barisan konvergen bersifat Cauchy dalam ruang metrik mana pun.
