Cuestionario de práctica de polinomios mínimos y Cayley-Hamilton con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario más abajo en la página para practicar polinomios mínimos y el teorema de Cayley-Hamilton: reconocer cuándo un polinomio anula una matriz, hallar el polinomio mónico de menor grado, usar \(m_A\mid p_A\), sustituir \(A\) en su polinomio característico, reducir potencias como \(A^2\) o \(A^3\), derivar fórmulas para inversas, leer información de valores propios a partir de raíces y aplicar la prueba de raíces repetidas para diagonalizabilidad. La lección mantiene ejemplos breves y claros sin dejar de cubrir la estructura de alto nivel.
Responde la serie de preguntas y revisa tus errores al final.
Cómo funciona esta práctica de polinomios mínimos
1. Haz la serie de práctica: responde preguntas sobre \(p_A(A)=0\), \(m_A(A)=0\), divisibilidad, diagonalizabilidad y relaciones polinómicas.
2. Abre la lección: repasa las definiciones, las reducciones de Cayley-Hamilton, los ejemplos estándar y los errores comunes.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y pregunta primero qué relación polinómica satisface la matriz.
Lo que aprenderás en la lección de polinomios mínimos
Definiciones y divisibilidad
Polinomio anulador: un polinomio \(q\) con \(q(A)=0\)
Polinomio mínimo: el polinomio anulador mónico de menor grado
Divisibilidad: \(m_A\) divide todo polinomio anulador, especialmente \(p_A\)
Uso de Cayley-Hamilton
Toda matriz cuadrada satisface \(p_A(A)=0\)
Las constantes se convierten en múltiplos de \(I\), como \(A^2-5A+6I=0\)
Usa la ecuación resultante para reducir potencias altas o expresar \(A^{-1}\)
Diagonalización y raíces
Un polinomio mínimo descompuesto sin factores repetidos caracteriza la diagonalizabilidad
Para matrices diagonalizables, cada valor propio distinto aparece una vez en \(m_A\)
Los factores repetidos indican comportamiento de bloques de Jordan e impiden la diagonalizabilidad
Ejemplos estándar de matrices
Matriz escalar: \(A=\lambda I\) tiene \(m_A(X)=X-\lambda\)
Matriz no nula de cuadrado cero: \(A^2=0\) da \(m_A(X)=X^2\)
Relaciones de proyección o involución llevan a \(X(X-1)\) o \((X-1)(X+1)\)
Propósito: Aprende cómo las ecuaciones polinómicas controlan una matriz cuadrada. El polinomio mínimo \(m_A\) es el polinomio mónico más pequeño con \(m_A(A)=0\), mientras que Cayley-Hamilton da un polinomio anulador garantizado: el polinomio característico \(p_A\). La habilidad consiste en pasar entre ecuaciones como \(A^2-3A+2I=0\), afirmaciones de divisibilidad, raíces de valores propios y conclusiones estructurales como diagonalizabilidad.
Criterios de éxito
Enunciar Cayley-Hamilton como \(p_A(A)=0\) para toda matriz cuadrada \(A\).
Definir un polinomio anulador y el polinomio mínimo \(m_A\).
Usar los hechos de divisibilidad \(m_A\mid q\) siempre que \(q(A)=0\), y \(m_A\mid p_A\).
Sustituir \(A\) en un polinomio característico con constantes multiplicadas por \(I\).
Hallar \(m_A\) para matrices escalares, matrices cero, matrices nilpotentes, proyecciones e involuciones.
Usar las raíces del polinomio mínimo para inferir posibles valores propios.
Aplicar la prueba: diagonalizable exactamente cuando \(m_A\) se descompone sin factores repetidos.
Reducir potencias o derivar relaciones inversas a partir de ecuaciones polinómicas.
Vocabulario clave
Polinomio anulador: un polinomio \(q(X)\) tal que \(q(A)=0\).
Polinomio mínimo: el polinomio anulador mónico de menor grado.
Polinomio característico: \(p_A(X)=\det(XI-A)\), según la convención elegida pero satisfaciendo \(p_A(A)=0\).
Se descompone: se factoriza en factores lineales sobre el campo usado.
Factor repetido: una potencia como \((X-\lambda)^2\), que detecta comportamiento no trivial de bloques de Jordan.
Comprobación rápida previa
Comprobación previa 1: ¿Qué dice Cayley-Hamilton sobre una matriz cuadrada \(A\)?
Pista: El teorema sustituye la matriz en su propio polinomio característico.
Comprobación previa 2: El polinomio mínimo de \(A\) es:
Pista: Busca el polinomio mónico más corto que anula la matriz.
Una relación polinómica es una ecuación matricial
Objetivo de aprendizaje: Lee ecuaciones como \(A^2=0\), \(A^2=A\) o \(A^2-3A+2I=0\) como cancelaciones polinómicas.
Idea clave
Para evaluar un polinomio en una matriz, reemplaza \(X^k\) por \(A^k\), reemplaza \(X\) por \(A\) y reemplaza una constante escalar \(c\) por \(cI\). Así, \(q(X)=X^2-3X+2\) da \(q(A)=A^2-3A+2I\). Si esto es igual a \(0\), entonces \(q\) anula \(A\). De forma similar, \(A^2-4A+3I=0\) proviene de \(X^2-4X+3\) y se reordena como \(A^2=4A-3I\).
Lista de reconocimiento
Mueve todos los términos a un lado para que el lado derecho sea \(0\).
Reemplaza \(A^k\) por \(X^k\), \(A\) por \(X\) y \(cI\) por \(c\).
Factoriza el polinomio cuando sea útil.
Recuerda: un polinomio puede anular \(A\) sin ser mínimo.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(A^2=A\), ¿qué polinomio anula \(A\)?
Mueve términos a un lado: \(A^2-A=0\). Por lo tanto, \(q(X)=X^2-X=X(X-1)\) satisface \(q(A)=0\). El polinomio mínimo divide \(X(X-1)\), y si \(A\) no es ni \(0\) ni \(I\), se necesitan ambos factores.
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(A^2-3A+2I=0\), ¿qué polinomio anula \(A\)?
Pista: El término constante \(2\) se convierte en \(2I\) después de la sustitución.
Inténtalo 2: ¿Cuál es el polinomio mínimo de \(A=3I\)?
Pista: \(A-3I=0\), y ningún polinomio mónico de grado menor anula \(A\).
El polinomio mínimo divide todo polinomio anulador
Objetivo de aprendizaje: Usa la divisibilidad para acotar posibles polinomios mínimos antes de hacer cálculos pesados.
Idea clave
El conjunto de polinomios que anulan \(A\) es un ideal en el anillo de polinomios. Su generador mónico es \(m_A\). Por lo tanto, siempre que \(q(A)=0\), el polinomio mínimo divide \(q\). Cayley-Hamilton dice que \(p_A(A)=0\), así que \(m_A\mid p_A\). Esto da una lista pequeña de candidatos a partir de los factores de \(p_A\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(p_A(X)=(X-2)^3\), ¿qué forma puede tener \(m_A\)?
El polinomio mínimo debe dividir \((X-2)^3\), y debe tener \(2\) como raíz si \(2\) es un valor propio. Los candidatos son \(X-2\), \((X-2)^2\) o \((X-2)^3\). Cuál es correcto depende de qué tan grande sea la parte nilpotente.
Errores comunes
\(m_A\mid p_A\); por lo general no se tiene \(p_A\mid m_A\).
El polinomio mínimo puede ser igual al polinomio característico, pero también puede ser mucho más pequeño.
Un candidato a polinomio mínimo aún debe anular \(A\).
Las raíces de \(m_A\) son exactamente los valores propios de \(A\) sobre un campo de descomposición.
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(q(A)=0\), ¿qué relación debe tener el polinomio mínimo \(m_A\) con \(q\)?
Pista: El polinomio mínimo es el generador mónico de todas las relaciones polinómicas satisfechas por \(A\).
Inténtalo 2: Si \(p_A(X)=(X-2)^3\), ¿qué debe dividir \(m_A\)?
Pista: Cayley-Hamilton convierte al polinomio característico en un polinomio anulador.
Usa \(p_A(A)=0\) para reducir potencias
Objetivo de aprendizaje: Convierte un polinomio característico en una ecuación matricial y úsala para reducciones.
Idea clave
Si \(p_A(X)=X^2-5X+6\), entonces Cayley-Hamilton da \(A^2-5A+6I=0\). Esto te permite reemplazar \(A^2\) por \(5A-6I\). Para potencias mayores, multiplica la relación por \(A\) y reduce de nuevo. Si el término constante es no nulo y \(A\) es invertible, la misma ecuación a menudo puede dar una fórmula para \(A^{-1}\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Supón que \(A^2-3A+2I=0\) y que \(A\) es invertible. Expresa \(A^{-1}\) usando \(A\) e \(I\).
Multiplica la ecuación por \(A^{-1}\): \(A-3I+2A^{-1}=0\). Por lo tanto, \(2A^{-1}=3I-A\), así que \(A^{-1}=\dfrac{3I-A}{2}\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(p_A(X)=X^2-5X+6\), ¿qué ecuación da Cayley-Hamilton?
Pista: La constante escalar \(6\) se convierte en \(6I\).
Inténtalo 2: Si \(A^2-3A+2I=0\) y \(A\) es invertible, ¿qué relación se deduce?
Pista: Multiplica la ecuación por \(A^{-1}\) y aísla el término inverso.
Los factores repetidos son la obstrucción
Objetivo de aprendizaje: Usa el polinomio mínimo, no solo el polinomio característico, para decidir la diagonalizabilidad.
Idea clave
Una matriz es diagonalizable sobre un campo exactamente cuando su polinomio mínimo se descompone en factores lineales distintos sobre ese campo. Si \(A\) es diagonalizable con valores propios distintos \(\lambda_1,\dots,\lambda_r\), entonces \(m_A(X)=(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_r)\). Un factor repetido como \((X-\lambda)^2\) significa que la matriz tiene comportamiento nilpotente no trivial en la parte de \(\lambda\), así que no es diagonalizable.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(A\) es diagonalizable con valores propios \(1\) y \(2\), ¿cuál es \(m_A(X)\)?
Para una matriz diagonalizable, cada valor propio distinto aparece exactamente una vez en el polinomio mínimo. Por lo tanto, \(m_A(X)=(X-1)(X-2)\), sin importar las entradas repetidas en el polinomio característico.
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(A\) es diagonalizable con valores propios \(1,2,3\), ¿cuál es \(m_A(X)\)?
Pista: Usa cada valor propio distinto una vez.
Inténtalo 2: Si \(m_A(X)=(X-1)^2\), ¿qué sugiere esto sobre un campo de descomposición?
Pista: Las matrices diagonalizables tienen polinomios mínimos sin factores repetidos.
Ejemplos nilpotentes, de proyecciones e involuciones
Objetivo de aprendizaje: Reconoce polinomios mínimos a partir de relaciones matriciales comunes.
Idea clave
Las identidades polinómicas pequeñas a menudo determinan \(m_A\) casi por completo. Si \(A^k=0\), entonces \(A\) es nilpotente y \(m_A\) es una potencia de \(X\). Si \(A^2=A\), entonces \(m_A\mid X(X-1)\). Si \(A^2=I\), entonces \(m_A\mid (X-1)(X+1)\). Si \(A^2=4I\), entonces \(m_A\mid (X-2)(X+2)\), así que los valores propios posibles son \(2\) y \(-2\). El polinomio mínimo es el divisor mónico más pequeño que todavía anula la matriz.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(A^2=I\) y \(A≠ I,-I\), halla \(m_A(X)\).
La relación \(A^2-I=0\) da \((A-I)(A+I)=0\), así que \(m_A\mid (X-1)(X+1)\). Como \(A≠ I\), \(X-1\) solo no anula \(A\). Como \(A≠ -I\), \(X+1\) solo no anula \(A\). Por lo tanto, \(m_A(X)=(X-1)(X+1)\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(A≠0\) y \(A^2=0\), ¿cuál es \(m_A(X)\)?
Pista: \(X\) solo obligaría a \(A=0\), así que se necesita el cuadrado.
Inténtalo 2: Si \(A^2=A\) y \(A\) no es ni \(0\) ni \(I\), ¿cuál es \(m_A(X)\)?
Pista: Ambas raíces \(0\) y \(1\) son necesarias en el caso de una proyección no trivial.
Resumen
Escalar \(A=\lambda I\): \(m_A=X-\lambda\), así que \(I\) da \(X-1\) y \(-I\) da \(X+1\).
Matriz cero: \(m_A=X\).
Matriz no nula de cuadrado cero: \(m_A=X^2\).
Proyección no trivial: \(m_A=X(X-1)\).
Involución no trivial: \(m_A=(X-1)(X+1)\).
El campo cambia lo que significa descomponerse
Objetivo de aprendizaje: Sigue qué campo se está usando y evita confundir raíces reales con raíces complejas.
Idea clave
El polinomio mínimo puede no descomponerse sobre el campo en el que estás trabajando. Por ejemplo, \(X^2+1\) no tiene raíces reales, así que una matriz real con polinomio mínimo \(X^2+1\) no tiene valores propios reales y no puede diagonalizarse sobre \(\mathbb{R}\). Sobre \(\mathbb{C}\), se descompone como \((X-i)(X+i)\), y la pregunta de diagonalización cambia.
Errores comunes
Pregunta siempre si el campo es \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\) u otro campo.
Las raíces de \(m_A\) dan valores propios solo después de ver el polinomio sobre un campo donde pueden existir raíces.
Un polinomio mínimo de grado \(1\), \(X-\lambda\), significa \(A=\lambda I\).
Un factor repetido bloquea la diagonalización solo después de que el polinomio se haya descompuesto en factores lineales.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Sobre \(\mathbb{R}\), ¿qué dice \(m_A(X)=X^2+1\) sobre los valores propios reales?
Los valores propios reales deben ser raíces reales del polinomio mínimo. Como \(X^2+1\) no tiene raíces reales, \(A\) no tiene valores propios reales. Sobre \(\mathbb{C}\), las raíces serían \(i\) y \(-i\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(m_A(X)=X^2+1\) sobre \(\mathbb{R}\), ¿qué se deduce?
Pista: Los valores propios reales tendrían que ser raíces reales de \(X^2+1\).
Inténtalo 2: Si el polinomio mínimo tiene grado \(1\), entonces \(A\) es:
Pista: \(m_A=X-\lambda\) significa \(A-\lambda I=0\).
Una lista fiable para problemas de cuestionario
Objetivo de aprendizaje: Termina con un método compacto para decidir qué pide el problema y qué relación polinómica usar.
Método
Identifica la relación dada: polinomio característico, polinomio mínimo o ecuación directa en \(A\).
Si se da \(p_A\), escribe \(p_A(A)=0\) y recuerda que las constantes multiplican \(I\).
Si se da \(q(A)=0\), concluye \(m_A\mid q\).
Si tienes una relación como \(A^3=A\) o \(A^2=4I\), pasa todos los términos a \(0\) y luego factoriza el polinomio correspondiente.
Si se piden valores propios, mira las raíces de \(m_A\) o \(p_A\).
Si se pregunta por diagonalizabilidad, inspecciona el polinomio mínimo descompuesto para buscar factores repetidos.
Si se pide reducir potencias o hallar \(A^{-1}\), reorganiza la ecuación polinómica.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Supón que \(m_A(X)=X(X-2)\). ¿Es \(A\) diagonalizable?
El polinomio mínimo se descompone y no tiene factores repetidos. Por lo tanto, \(A\) es diagonalizable sobre el campo que contiene \(0\) y \(2\). Los posibles valores propios son \(0\) y \(2\), pero cada uno aparece solo una vez en \(m_A\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(m_A(X)=X(X-2)\), ¿es \(A\) diagonalizable?
Pista: Un polinomio mínimo descompuesto sin factores repetidos es la prueba de diagonalizabilidad.
Inténtalo 2: Si \(A^3=A\), ¿qué polinomio anula \(A\)?
Pista: Mueve todos los términos a un lado.
Repaso final
Cayley-Hamilton: \(p_A(A)=0\).
El polinomio mínimo \(m_A\) es el polinomio mónico de menor grado con \(m_A(A)=0\).
Si \(q(A)=0\), entonces \(m_A\mid q\); en particular \(m_A\mid p_A\).
Para matrices diagonalizables, \(m_A\) es el producto de factores lineales distintos para los valores propios distintos.
Un factor repetido en un polinomio mínimo descompuesto impide la diagonalizabilidad.
Las ecuaciones polinómicas reducen potencias y pueden producir fórmulas para inversas.
La elección del campo importa para la descomposición y los valores propios.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar el cuestionario. En cada ejercicio, decide primero si estás usando Cayley-Hamilton, la definición de \(m_A\), un hecho de divisibilidad o la prueba de diagonalizabilidad libre de cuadrados.
Serie de práctica
Preguntas de práctica de Polinomios mínimos y Cayley-Hamilton con puntuación instantánea
Responde las 10 preguntas de abajo y recibe tu puntuación final con una revisión de errores para saber exactamente qué mejorar.
0/10respondidas
Pregunta 1Sin responder
¿Qué dice el teorema de Cayley-Hamilton sobre una matriz cuadrada \(A\)?
Respuesta correcta: A. \(p_A(A)=0\)
Explicación: Una matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico.
Pregunta 2Sin responder
El polinomio mínimo de \(A\) es:
Respuesta correcta: A. El polinomio mónico de menor grado con \(m(A)=0\)
Explicación: Es el polinomio mónico de menor grado que anula a \(A\).
Pregunta 3Sin responder
¿Cómo se relaciona el polinomio mínimo con el polinomio característico?
Respuesta correcta: D. Siempre lo divide
Explicación: El polinomio mínimo siempre divide al polinomio característico.
Pregunta 4Sin responder
¿Cuál es el polinomio mínimo de \(A=3I\)?
Respuesta correcta: B. \(X-3\)
Explicación: Como \(A-3I=0\), el polinomio mónico de menor grado es \(X-3\).
Pregunta 5Sin responder
Si \(A\) es diagonalizable con valores propios \(1\) y \(2\), ¿cuál es su polinomio mínimo?
Respuesta correcta: D. \((X-1)(X-2)\)
Explicación: Para una matriz diagonalizable, cada valor propio distinto aparece una sola vez en el polinomio mínimo.
Pregunta 6Sin responder
Si el polinomio mínimo de \(A\) es \(X^2\), ¿qué debe ser cierto?
Respuesta correcta: B. \(A^2=0\) y \(A\ne0\)
Explicación: Al sustituir \(A\), se obtiene \(A^2=0\), y el grado muestra que \(A\ne0\).
Pregunta 7Sin responder
Si una matriz tiene un polinomio mínimo escindido sin factor repetido, ¿qué se deduce?
Respuesta correcta: B. La matriz es diagonalizable
Explicación: Un polinomio mínimo escindido con raíces simples caracteriza la diagonalizabilidad.
Pregunta 8Sin responder
¿Cuál es el polinomio mínimo de la matriz cero?
Respuesta correcta: B. \(X\)
Explicación: La matriz cero es anulada por \(X\), y ningún polinomio mónico de menor grado sirve.
Pregunta 9Sin responder
Si \(p_A(X)=X^2-5X+6\), ¿qué ecuación da el teorema de Cayley-Hamilton?
Respuesta correcta: C. \(A^2-5A+6I=0\)
Explicación: Sustituye \(X\) por \(A\) y el término constante por un múltiplo de \(I\).
Pregunta 10Sin responder
Si \(A\) es diagonalizable y tiene solo el valor propio \(4\), ¿qué es \(A\)?
Respuesta correcta: C. \(4I\)
Explicación: En una base propia, la matriz diagonal es \(4I\), así que \(A=4I\).
