चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ न्यूनतम बहुपद और केली-हैमिल्टन अभ्यास क्विज
नीचे दिए गए क्विज़ से न्यूनतम बहुपद और केली-हैमिल्टन प्रमेय का अभ्यास करें: कब कोई बहुपद आव्यूह को शून्य करता है, सबसे कम घात का मोनिक बहुपद कैसे मिलता है, \(m_A\mid p_A\) कैसे उपयोग होता है, \(A\) को उसके अभिलाक्षणिक बहुपद में रखने से घात कैसे घटती है, प्रतिलोम सूत्र कैसे बनते हैं, और दोहराई जड़ें विकर्णीकरणीयता को कैसे प्रभावित करती हैं।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह न्यूनतम बहुपद अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज लें: \(p_A(A)=0\), \(m_A(A)=0\), विभाज्यता, विकर्णीकरणीयता और बहुपद-संबंधों पर प्रश्न करें।
2. पाठ खोलें: परिभाषाएँ, केली-हैमिल्टन सरलीकरण, मानक उदाहरण और सामान्य भूलें दोहराएँ।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज पर लौटें और पहले पूछें कि आव्यूह कौन सा बहुपद-संबंध संतुष्ट करता है।
न्यूनतम बहुपद पाठ में आप क्या सीखेंगे
परिभाषाएँ और विभाज्यता
नाशक बहुपद: ऐसा बहुपद \(q\) जिसके लिए \(q(A)=0\)
न्यूनतम बहुपद: सबसे कम घात का मोनिक नाशक बहुपद
विभाज्यता: \(m_A\) हर नाशक बहुपद, विशेषकर \(p_A\), को विभाजित करता है
केली-हैमिल्टन का उपयोग
हर वर्ग आव्यूह \(p_A(A)=0\) संतुष्ट करता है
नियतांक \(I\) के गुणज बनते हैं, जैसे \(A^2-5A+6I=0\)
मिली हुई समीकरण से ऊँची घातें घटाएँ या \(A^{-1}\) व्यक्त करें
विकर्णीकरण और जड़ें
बिना दोहराए गुणक वाला विभाजित न्यूनतम बहुपद विकर्णीकरणीयता को चिह्नित करता है
विकर्णीकरणीय आव्यूह में हर भिन्न आइगेनमान \(m_A\) में एक बार आता है
दोहराए गुणक जॉर्डन-ब्लॉक व्यवहार बताते हैं और विकर्णीकरण रोकते हैं
मानक आव्यूह उदाहरण
अदिश आव्यूह: \(A=\lambda I\) के लिए \(m_A(X)=X-\lambda\)
अशून्य वर्ग-शून्य आव्यूह: \(A^2=0\) से \(m_A(X)=X^2\)
प्रक्षेप या इनवॉल्यूशन संबंध \(X(X-1)\) या \((X-1)(X+1)\) तक ले जाते हैं
उद्देश्य: समझें कि बहुपद समीकरण वर्ग आव्यूह को कैसे नियंत्रित करते हैं। न्यूनतम बहुपद \(m_A\) सबसे छोटा मोनिक बहुपद है जिसके लिए \(m_A(A)=0\), जबकि केली-हैमिल्टन एक निश्चित नाशक बहुपद देता है: अभिलाक्षणिक बहुपद \(p_A\)।
सफलता मानदंड
केली-हैमिल्टन को \(p_A(A)=0\) के रूप में कहें।
नाशक बहुपद और \(m_A\) परिभाषित करें।
\(q(A)=0\) होने पर \(m_A\mid q\) और \(m_A\mid p_A\) उपयोग करें।
नियतांकों को \(I\) से गुणा करके \(A\) को बहुपद में रखें।
अदिश, शून्य, निलपोटेंट, प्रक्षेप और इनवॉल्यूशन आव्यूहों के \(m_A\) पहचानें।
विकर्णीकरणीयता के लिए बिना दोहराए जड़ वाली कसौटी लगाएँ।
मुख्य शब्दावली
नाशक बहुपद: \(q(X)\) ऐसा कि \(q(A)=0\)।
न्यूनतम बहुपद: सबसे कम घात का मोनिक नाशक बहुपद।
अभिलाक्षणिक बहुपद: \(p_A(X)=\det(XI-A)\), जो \(p_A(A)=0\) संतुष्ट करता है।
विभाजित: चुने हुए क्षेत्र में रैखिक गुणकों में टूटना।
दोहराया गुणक: \((X-\lambda)^2\) जैसा घात, जो जॉर्डन-ब्लॉक व्यवहार दिखा सकता है।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: केली-हैमिल्टन वर्ग आव्यूह \(A\) के बारे में क्या कहता है?
संकेत: प्रमेय आव्यूह को उसके अपने अभिलाक्षणिक बहुपद में रखता है।
पूर्व-जाँच 2: \(A\) का न्यूनतम बहुपद है:
संकेत: सबसे छोटा मोनिक बहुपद खोजें जो आव्यूह को शून्य करे।
बहुपद-संबंध एक आव्यूह समीकरण है
सीखने का लक्ष्य: \(A^2=0\), \(A^2=A\), या \(A^2-3A+2I=0\) जैसे समीकरणों को बहुपद-निरस्तीकरण के रूप में पढ़ें।
मुख्य विचार
किसी बहुपद को आव्यूह पर लगाने के लिए \(X^k\) को \(A^k\), \(X\) को \(A\), और नियतांक \(c\) को \(cI\) से बदलें। जैसे \(q(X)=X^2-3X+2\) से \(q(A)=A^2-3A+2I\) मिलता है।
पहचान सूची
सब पद एक ओर ले जाएँ ताकि दूसरी ओर \(0\) रहे।
\(A^k\) को \(X^k\), \(A\) को \(X\), और \(cI\) को \(c\) से बदलें।
बहुपद को संभव हो तो गुणनखंडित करें।
याद रखें: नाशक बहुपद न्यूनतम होना जरूरी नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: यदि \(A^2=A\), तो कौन सा बहुपद \(A\) को शून्य करता है?
सब पद एक ओर: \(A^2-A=0\)। इसलिए \(q(X)=X^2-X=X(X-1)\) \(A\) को शून्य करता है। \(m_A\), \(X(X-1)\) को विभाजित करता है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(A^2-3A+2I=0\), तो कौन सा बहुपद \(A\) को शून्य करता है?
संकेत: नियतांक \(2\) स्थानापन्न करने पर \(2I\) बनता है।
स्वयं प्रयास 2: \(A=3I\) का न्यूनतम बहुपद क्या है?
संकेत: \(A-3I=0\), और उससे कम घात का मोनिक बहुपद \(A\) को शून्य नहीं करता।
न्यूनतम बहुपद हर निरस्तीकरण को विभाजित करता है
सीखने का लक्ष्य: भारी गणना से पहले विभाज्यता से \(m_A\) की संभावनाएँ घटाएँ।
मुख्य विचार
जो बहुपद \(A\) को शून्य करते हैं वे बहुपद-वलय में एक आदर्श बनाते हैं। उसका मोनिक जनक \(m_A\) है। अतः \(q(A)=0\) होने पर \(m_A\mid q\)। केली-हैमिल्टन से \(m_A\mid p_A\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: यदि \(p_A(X)=(X-2)^3\), तो \(m_A\) कैसा हो सकता है?
न्यूनतम बहुपद \((X-2)^3\) को विभाजित करेगा और \(2\) को जड़ रखेगा। उम्मीदवार \(X-2\), \((X-2)^2\), या \((X-2)^3\) हैं।
सामान्य भूलें
\(m_A\mid p_A\), सामान्यतः \(p_A\mid m_A\) नहीं।
न्यूनतम बहुपद अभिलाक्षणिक बहुपद से छोटा हो सकता है।
उम्मीदवार बहुपद को सचमुच \(A\) को शून्य करना चाहिए।
विभाजित क्षेत्र पर \(m_A\) की जड़ें आइगेनमान हैं।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(q(A)=0\), तो \(m_A\) और \(q\) में क्या संबंध है?
संकेत: \(m_A\), सभी बहुपद-संबंधों का मोनिक जनक है।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(p_A(X)=(X-2)^3\), तो \(m_A\) किसे विभाजित करेगा?
संकेत: केली-हैमिल्टन अभिलाक्षणिक बहुपद को नाशक बनाता है।
घातें घटाने के लिए \(p_A(A)=0\) उपयोग करें
सीखने का लक्ष्य: अभिलाक्षणिक बहुपद को आव्यूह समीकरण में बदलें और उससे सरलीकरण करें।
मुख्य विचार
यदि \(p_A(X)=X^2-5X+6\), तो केली-हैमिल्टन \(A^2-5A+6I=0\) देता है। इससे \(A^2\) को \(5A-6I\) से बदला जा सकता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: मानें \(A^2-3A+2I=0\) और \(A\) व्युत्क्रमणीय है। \(A^{-1}\) को \(A\) और \(I\) से व्यक्त करें।
समीकरण को \(A^{-1}\) से गुणा करें: \(A-3I+2A^{-1}=0\)। अतः \(2A^{-1}=3I-A\), इसलिए \(A^{-1}=\dfrac{3I-A}{2}\)।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(p_A(X)=X^2-5X+6\), तो केली-हैमिल्टन कौन सा समीकरण देता है?
संकेत: नियतांक \(6\), \(6I\) बनेगा।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(A^2-3A+2I=0\) और \(A\) व्युत्क्रमणीय है, तो कौन सा संबंध मिलता है?
संकेत: \(A^{-1}\) से गुणा करें और प्रतिलोम पद अलग करें।
दोहराए गुणक ही बाधा हैं
सीखने का लक्ष्य: विकर्णीकरणीयता तय करने के लिए केवल अभिलाक्षणिक बहुपद नहीं, न्यूनतम बहुपद उपयोग करें।
मुख्य विचार
आव्यूह क्षेत्र पर ठीक तब विकर्णीकरणीय है जब उसका न्यूनतम बहुपद उस क्षेत्र में भिन्न रैखिक गुणकों में टूटे। दोहराया गुणक \((X-\lambda)^2\) गैर-तुच्छ निलपोटेंट व्यवहार बताता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: यदि \(A\) विकर्णीकरणीय है और आइगेनमान \(1\) तथा \(2\) हैं, तो \(m_A(X)\) क्या है?
विकर्णीकरणीय आव्यूह में हर भिन्न आइगेनमान न्यूनतम बहुपद में एक बार आता है। इसलिए \(m_A(X)=(X-1)(X-2)\)।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(A\) विकर्णीकरणीय है और आइगेनमान \(1,2,3\) हैं, तो \(m_A(X)\) क्या है?
संकेत: हर भिन्न आइगेनमान को एक बार उपयोग करें।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(m_A(X)=(X-1)^2\), तो विभाजित क्षेत्र पर यह क्या सुझाता है?
संकेत: विकर्णीकरणीय आव्यूहों के न्यूनतम बहुपद में दोहराया गुणक नहीं होता।
निलपोटेंट, प्रक्षेप और इनवॉल्यूशन उदाहरण
सीखने का लक्ष्य: सामान्य आव्यूह संबंधों से न्यूनतम बहुपद पहचानें।
मुख्य विचार
यदि \(A^k=0\), तो \(A\) निलपोटेंट है और \(m_A\), \(X\) की घात है। यदि \(A^2=A\), तो \(m_A\mid X(X-1)\)। यदि \(A^2=I\), तो \(m_A\mid (X-1)(X+1)\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: यदि \(A^2=I\) और \(A≠ I,-I\), तो \(m_A(X)\) निकालें।
संबंध \(A^2-I=0\) देता है, इसलिए \(m_A\mid (X-1)(X+1)\)। क्योंकि \(A≠ I\) और \(A≠ -I\), दोनों गुणक चाहिए। अतः \(m_A(X)=(X-1)(X+1)\)।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(A≠0\) और \(A^2=0\), तो \(m_A(X)\) क्या है?
संकेत: केवल \(X\) लेने से \(A=0\) हो जाएगा, इसलिए वर्ग चाहिए।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(A^2=A\) और \(A\) न \(0\) है न \(I\), तो \(m_A(X)\) क्या है?
संकेत: गैर-तुच्छ प्रक्षेप में \(0\) और \(1\), दोनों जड़ें चाहिए।
सारांश
अदिश \(A=\lambda I\): \(m_A=X-\lambda\)।
शून्य आव्यूह: \(m_A=X\)।
अशून्य वर्ग-शून्य आव्यूह: \(m_A=X^2\)।
गैर-तुच्छ प्रक्षेप: \(m_A=X(X-1)\)।
गैर-तुच्छ इनवॉल्यूशन: \(m_A=(X-1)(X+1)\)।
क्षेत्र बदलने से विभाजन का अर्थ बदलता है
सीखने का लक्ष्य: कौन सा क्षेत्र उपयोग हो रहा है, यह देखें और वास्तविक जड़ों को जटिल जड़ों से न मिलाएँ।
मुख्य विचार
न्यूनतम बहुपद चुने हुए क्षेत्र पर विभाजित न हो सकता है। जैसे \(X^2+1\) की वास्तविक जड़ नहीं, इसलिए ऐसा वास्तविक आव्यूह \(\mathbb{R}\) पर विकर्णीकरणीय नहीं होगा; \(\mathbb{C}\) पर यह \((X-i)(X+i)\) में टूटता है।
सामान्य भूलें
हमेशा पूछें कि क्षेत्र \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\) या कुछ और है।
\(m_A\) की जड़ें आइगेनमान तभी देती हैं जब क्षेत्र में वे जड़ें उपलब्ध हों।
घात \(1\) का \(m_A=X-\lambda\) मतलब \(A=\lambda I\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\mathbb{R}\) पर \(m_A(X)=X^2+1\) वास्तविक आइगेनमानों के बारे में क्या कहता है?
वास्तविक आइगेनमान न्यूनतम बहुपद की वास्तविक जड़ होने चाहिए। \(X^2+1\) की कोई वास्तविक जड़ नहीं, इसलिए \(A\) का कोई वास्तविक आइगेनमान नहीं।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(\mathbb{R}\) पर \(m_A(X)=X^2+1\), तो क्या निष्कर्ष है?
संकेत: वास्तविक आइगेनमान \(X^2+1\) की वास्तविक जड़ होना पड़ेगा।
स्वयं प्रयास 2: यदि न्यूनतम बहुपद की घात \(1\) है, तो \(A\) है:
संकेत: \(m_A=X-\lambda\) का अर्थ \(A-\lambda I=0\)।
क्विज प्रश्नों के लिए भरोसेमंद सूची
सीखने का लक्ष्य: समस्या क्या पूछ रही है और कौन सा बहुपद-संबंध उपयोग करना है, इसका छोटा तरीका रखें।
विधि
दिया संबंध पहचानें: अभिलाक्षणिक बहुपद, न्यूनतम बहुपद या \(A\) में सीधा समीकरण।
\(p_A\) मिले तो \(p_A(A)=0\) लिखें और नियतांक को \(I\) से गुणा करें।
\(q(A)=0\) मिले तो \(m_A\mid q\)।
आइगेनमान चाहिए तो \(m_A\) या \(p_A\) की जड़ें देखें।
विकर्णीकरणीयता चाहिए तो \(m_A\) में दोहराए गुणक देखें।
न्यूनतम बहुपद विभाजित है और कोई दोहराया गुणक नहीं है। इसलिए \(A\) \(0\) और \(2\) वाले क्षेत्र पर विकर्णीकरणीय है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(m_A(X)=X(X-2)\), क्या \(A\) विकर्णीकरणीय है?
संकेत: विभाजित और बिना दोहराए गुणक वाला न्यूनतम बहुपद ही कसौटी है।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(A^3=A\), कौन सा बहुपद \(A\) को शून्य करता है?
संकेत: सब पद एक ओर ले जाएँ।
अंतिम सारांश
केली-हैमिल्टन: \(p_A(A)=0\)।
न्यूनतम बहुपद \(m_A\) सबसे कम घात का मोनिक बहुपद है जिसके लिए \(m_A(A)=0\)।
\(q(A)=0\) हो तो \(m_A\mid q\), और खासकर \(m_A\mid p_A\)।
विकर्णीकरणीय आव्यूहों में \(m_A\) भिन्न आइगेनमानों के भिन्न रैखिक गुणकों का गुणनफल है।
दोहराया गुणक विकर्णीकरण रोकता है।
अगला कदम: पाठ बंद करें और क्विज फिर से करें। हर प्रश्न में पहले तय करें कि आप केली-हैमिल्टन, \(m_A\) की परिभाषा, विभाज्यता तथ्य, या वर्ग-मुक्त विकर्णीकरणीयता कसौटी उपयोग कर रहे हैं।
अभ्यास सेट
न्यूनतम बहुपद और केली-हैमिल्टन अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
केली-हैमिल्टन प्रमेय किसी वर्ग आव्यूह \(A\) के बारे में क्या कहता है?
सही उत्तर: A. \(p_A(A)=0\)
व्याख्या: वर्ग आव्यूह अपने ही विशिष्ट बहुपद को संतुष्ट करता है.
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
\(A\) का न्यूनतम बहुपद है:
सही उत्तर: A. सबसे कम घात का मॉनिक बहुपद जिसके लिए \(m(A)=0\)
व्याख्या: यह सबसे कम घात का मॉनिक बहुपद है जो \(A\) को शून्य करता है.
प्रश्न 3उत्तर नहीं दिया
न्यूनतम बहुपद का विशिष्ट बहुपद से क्या संबंध है?
सही उत्तर: D. यह हमेशा उसे विभाजित करता है
व्याख्या: न्यूनतम बहुपद हमेशा विशिष्ट बहुपद को विभाजित करता है.
प्रश्न 4उत्तर नहीं दिया
\(A=3I\) का न्यूनतम बहुपद क्या है?
सही उत्तर: B. \(X-3\)
व्याख्या: क्योंकि \(A-3I=0\), सबसे कम घात का मोनिक बहुपद \(X-3\) है.
प्रश्न 5उत्तर नहीं दिया
यदि \(A\) आइगेनमान \(1\) और \(2\) के साथ विकर्णनीय है, तो उसका न्यूनतम बहुपद क्या है?
सही उत्तर: D. \((X-1)(X-2)\)
व्याख्या: विकर्णनीय आव्यूह के लिए प्रत्येक भिन्न आइगेनमान न्यूनतम बहुपद में एक बार आता है.
प्रश्न 6उत्तर नहीं दिया
यदि \(A\) का न्यूनतम बहुपद \(X^2\) है, तो क्या सत्य होना चाहिए?
सही उत्तर: B. \(A^2=0\) और \(A\ne0\)
व्याख्या: \(A\) रखने पर \(A^2=0\) मिलता है, और घात बताती है कि \(A\ne0\).
प्रश्न 7उत्तर नहीं दिया
यदि किसी आव्यूह का न्यूनतम बहुपद गुणनखंडित है और उसमें कोई पुनरावृत्त गुणनखंड नहीं है, तो क्या निष्कर्ष निकलता है?
सही उत्तर: B. आव्यूह विकर्णनीय है
व्याख्या: सरल मूलों वाला गुणनखंडित न्यूनतम बहुपद विकर्णनीयता को दर्शाता है.
प्रश्न 8उत्तर नहीं दिया
शून्य आव्यूह का न्यूनतम बहुपद क्या है?
सही उत्तर: B. \(X\)
व्याख्या: शून्य आव्यूह \(X\) से शून्य होता है, और कम घात का कोई मॉनिक बहुपद काम नहीं करता.
प्रश्न 9उत्तर नहीं दिया
यदि \(p_A(X)=X^2-5X+6\), तो कैली-हैमिल्टन कौन-सा समीकरण देता है?
सही उत्तर: C. \(A^2-5A+6I=0\)
व्याख्या: \(X\) की जगह \(A\) रखें और नियत पद को \(I\) के गुणज के रूप में लिखें.
प्रश्न 10उत्तर नहीं दिया
यदि \(A\) विकर्णनीय है और उसका केवल आइगेनमान \(4\) है, तो \(A\) क्या है?
सही उत्तर: C. \(4I\)
व्याख्या: आइगेन-आधार में विकर्ण आव्यूह \(4I\) होता है, इसलिए \(A=4I\).
