Cuestionario de práctica de proyecciones ortogonales y mínimos cuadrados con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario más abajo en la página para practicar proyecciones ortogonales y mínimos cuadrados: vectores más cercanos en subespacios, descomposiciones \(v=p+r\) con \(p\in S\) y \(r\perp S\), proyección sobre una recta, matrices de proyección con \(P^2=P\) y \(P^T=P\), fórmulas de espacio columna como \(A(A^TA)^{-1}A^T\) cuando \(A\) tiene rango completo por columnas, ecuaciones normales \(A^TAx=A^Tb\), ortogonalidad del residuo, mejores ajustes constantes y qué cambia cuando \(A^TA\) es singular. Abre la lección para ver ejemplos resueltos concisos y comprobaciones rápidas.
Responde la serie de preguntas y revisa tus errores al final.
Cómo funciona esta práctica de proyecciones y mínimos cuadrados
1. Haz la serie de práctica: responde preguntas sobre proyecciones, residuos, matrices de proyección, ecuaciones normales y mejores ajustes.
2. Abre la lección: repasa las fórmulas, pruebas de reconocimiento, ejemplos resueltos y comprobaciones breves.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y decide primero si el problema pide un vector más cercano, una matriz de proyección, una condición de residuo o un coeficiente de mínimos cuadrados.
Lo que aprenderás en la lección de proyecciones ortogonales y mínimos cuadrados
Geometría de proyecciones ortogonales
Vector más cercano: \(\operatorname{proj}_S(v)\) es el único punto de \(S\) más cercano a \(v\)
Lección de proyecciones ortogonales y mínimos cuadrados
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Resumen de la lección
Propósito: Construir un procedimiento fiable para proyecciones y mínimos cuadrados: descomponer un vector en subespacio más error ortogonal, calcular proyecciones sobre rectas y espacios columna, reconocer matrices de proyección ortogonal, resolver ecuaciones normales y saber qué sigue siendo cierto cuando las columnas de \(A\) son dependientes.
Criterios de éxito
Enunciar la descomposición ortogonal \(v=p+r\), con \(p\in S\) y \(r\perp S\).
Usar la fórmula para una recta \(\operatorname{proj}_{\operatorname{span}(u)}(v)=\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}u\).
Reconocer que una matriz de proyección ortogonal satisface \(P^2=P\) y \(P^T=P\).
Usar \(QQ^T\) para un subespacio con columnas de base ortonormal \(Q\), y \(Q^Tb\) para los coeficientes de mínimos cuadrados.
Usar \(A(A^TA)^{-1}A^T\) cuando \(A\) tiene rango completo por columnas.
Derivar mínimos cuadrados a partir de la ortogonalidad del residuo \(A^T(b-A\hat{x})=0\).
Separar el vector ajustado \(A\hat{x}\) del vector de coeficientes \(\hat{x}\).
Manejar casos de rango deficiente sin suponer que \(A^TA\) es invertible.
Vocabulario clave
Proyección: el vector más cercano en un subespacio.
Residuo: el error \(r=v-p\) o \(r=b-A\hat{x}\).
Complemento ortogonal: \(S^\perp=\{w:w\cdot s=0\text{ para todo }s\in S\}\).
Matriz de proyección: una aplicación lineal \(P\) con \(P^2=P\); las proyecciones ortogonales también satisfacen \(P^T=P\).
Espacio columna: todos los vectores \(Ax\), las posibles salidas ajustadas de \(A\).
Ecuaciones normales: \(A^TA\hat{x}=A^Tb\), equivalente a la ortogonalidad del residuo.
Comprobación rápida previa
Comprobación previa: Si \(p=\operatorname{proj}_S(v)\), ¿qué es cierto sobre \(v-p\)?
Pista: La condición de punto más cercano equivale a que el error sea perpendicular a toda dirección del subespacio.
Proyección significa parte en el subespacio más error perpendicular
Objetivo de aprendizaje: Reconocer la geometría detrás de todo cálculo de proyección y de mínimos cuadrados.
Idea clave
Para un subespacio \(S\) de un espacio con producto interno, todo vector \(v\) puede separarse como \[v=p+r,\qquad p\in S,\quad r\in S^\perp.\] El vector \(p\) es \(\operatorname{proj}_S(v)\), y \(r\) es el residuo. El teorema de Pitágoras da \(\|v-s\|^2=\|r\|^2+\|p-s\|^2\) para todo \(s\in S\), así que \(p\) es el vector más cercano en \(S\).
Lista de reconocimiento
Identifica el subespacio objetivo \(S\).
Encuentra un candidato \(p\in S\).
Comprueba \(v-p\perp S\), normalmente haciendo producto punto con una base de \(S\).
Si ambas condiciones se cumplen, \(p\) es la proyección.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Proyecta \(v=(1,0)\) sobre la recta \(S=\operatorname{span}((1,1))\).
Un vector de la recta tiene forma \(p=t(1,1)\). El error \(v-p=(1-t,-t)\) debe ser ortogonal a \((1,1)\), así que \((1-t)+(-t)=0\). Por tanto \(1-2t=0\), luego \(t=\tfrac12\) y \(p=(\tfrac12,\tfrac12)\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuál es la proyección de \((1,0)\) sobre \(\operatorname{span}((1,1))\)?
Pista: El coeficiente es \(\dfrac{(1,0)\cdot(1,1)}{(1,1)\cdot(1,1)}=\dfrac12\).
Usa un coeficiente de producto punto
Objetivo de aprendizaje: Calcular rápidamente proyecciones sobre rectas sin suponer por error que el vector dirección tiene norma uno.
Idea clave
Si \(u≠0\), la proyección de \(v\) sobre \(\operatorname{span}(u)\) es \[\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u.\] Si \(u\) es un vector unitario, esto se simplifica a \((v\cdot u)u\).
Notas sobre fórmulas
El denominador es \(u\cdot u=\|u\|^2\), no solo \(\|u\|\).
Si \(v\) ya está en la recta, la proyección es \(v\).
Si \(v\perp u\), la proyección es \(0\).
El residuo \(v-\operatorname{proj}_u(v)\) es perpendicular a \(u\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Proyecta \(v=(2,0)\) sobre \(\operatorname{span}((1,1))\).
El coeficiente es \(\dfrac{(2,0)\cdot(1,1)}{(1,1)\cdot(1,1)}=\dfrac{2}{2}=1\). Por lo tanto, la proyección es \(1(1,1)=(1,1)\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuál es la proyección de \((2,0)\) sobre la recta generada por \((1,1)\)?
Pista: El producto punto con \((1,1)\) es \(2\), y \((1,1)\cdot(1,1)=2\).
Las matrices de proyección ortogonal son idempotentes y simétricas
Objetivo de aprendizaje: Reconocer matrices de proyección mediante pruebas algebraicas y leer su imagen, núcleo, rango y traza.
Idea clave
Una proyección satisface \(P^2=P\): una vez proyectado un vector, proyectarlo otra vez no cambia nada. Es una proyección ortogonal exactamente cuando el residuo es perpendicular a la imagen; en coordenadas estándar esto significa \(P^T=P\).
Pruebas de matrices
\(P^2=P\): proyección o aplicación idempotente.
\(P^T=P\): proyección ortogonal en el espacio euclídeo.
\(\operatorname{Range}(P)\) es el subespacio objetivo, y el valor propio \(1\) corresponde a los vectores de la imagen.
\(\ker P=S^\perp\) para una proyección ortogonal sobre \(S\), e \(I-P\) proyecta sobre \(S^\perp\).
Los valores propios solo son \(0\) y \(1\), por lo que \(\operatorname{tr}P=\operatorname{rank}P\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: La proyección sobre el eje \(x\) envía \((x,y)\) a \((x,0)\). ¿Qué propiedades tiene su matriz?
La matriz es \(\operatorname{diag}(1,0)\). Aplicarla dos veces da la misma matriz, así que \(P^2=P\). Es igual a su transpuesta, por lo que \(P^T=P\). Su imagen es el eje \(x\) y su núcleo es el eje \(y\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Qué identidades se cumplen para toda matriz de proyección ortogonal \(P\)?
Pista: Proyectar dos veces no cambia nada, y las matrices de proyección ortogonal son simétricas.
Proyectar sobre \(\operatorname{Col}(A)\)
Objetivo de aprendizaje: Elegir la fórmula de proyección correcta a partir de las columnas que tienes.
Idea clave
Si \(Q\) tiene columnas ortonormales que generan \(S\), entonces la matriz de proyección sobre \(S\) es \(P=QQ^T\). Si \(A\) tiene rango completo por columnas pero no necesariamente columnas ortonormales, entonces \[P=A(A^TA)^{-1}A^T.\] Ambas fórmulas producen el vector más cercano en \(\operatorname{Col}(A)\).
Pasos para el espacio columna
Si las columnas son ortonormales, usa \(QQ^T\) para la matriz de proyección.
Para los coeficientes de mínimos cuadrados con columnas ortonormales \(Q\), usa \(\hat{x}=Q^Tb\).
Si las columnas son independientes pero no ortonormales, usa \(A(A^TA)^{-1}A^T\).
Si las columnas son dependientes, reduce a una base independiente o usa la seudoinversa.
Comprueba siempre que la salida esté en el espacio columna y que el residuo sea ortogonal al espacio columna.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Sea \(Q\) la matriz con una sola columna unitaria \(q=(1/\sqrt2,1/\sqrt2)\). ¿Qué hace \(QQ^T\)?
Proyecta cualquier vector \((a,b)\) sobre la recta \(y=x\), dando \(\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)\). Por ejemplo, \((2,0)\) se envía a \((1,1)\).
Inténtalo
Inténtalo: Si \(Q\) tiene columnas ortonormales, ¿cuál es la matriz de proyección sobre \(\operatorname{Col}(Q)\)?
Pista: Las columnas ortonormales hacen que \(Q^TQ=I\), así que la fórmula completa se reduce.
Mínimos cuadrados es proyección sobre un espacio columna
Objetivo de aprendizaje: Traducir un sistema inconsistente \(Ax\approx b\) a un problema de proyección.
Idea clave
Una solución de mínimos cuadrados minimiza \(\|b-Ax\|\). El vector ajustado \(A\hat{x}\) es la proyección de \(b\) sobre \(\operatorname{Col}(A)\), así que el residuo \(r=b-A\hat{x}\) es ortogonal a cada columna de \(A\). Esto es exactamente \(A^Tr=0\), o bien \(A^TA\hat{x}=A^Tb\).
Datos sobre ecuaciones normales
Las ecuaciones normales son \(A^TA\hat{x}=A^Tb\).
Si \(A\) tiene rango completo por columnas, \(A^TA\) es invertible y el vector de coeficientes \(\hat{x}\) es único.
Si \(A=Q\) tiene columnas ortonormales, entonces \(\hat{x}=Q^Tb\).
El vector ajustado \(A\hat{x}\) es la proyección de \(b\) sobre \(\operatorname{Col}(A)\).
El residuo es perpendicular a cada columna de \(A\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Encuentra el mejor ajuste constante a los datos \(1,3,5\).
Ajustar una constante \(c\) significa proyectar \((1,3,5)\) sobre la recta generada por \((1,1,1)\). El coeficiente es el promedio \(c=(1+3+5)/3=3\). El residuo es \((-2,0,2)\), cuyas entradas suman \(0\), así que es ortogonal a la dirección constante.
Inténtalo
Inténtalo: En mínimos cuadrados, ¿a qué espacio es ortogonal el residuo \(b-A\hat{x}\)?
Pista: Las ecuaciones normales dicen \(A^T(b-A\hat{x})=0\), así que cada columna tiene producto punto cero con el residuo.
Cuando los coeficientes no son únicos, el vector ajustado sí lo es
Objetivo de aprendizaje: Evitar usar en exceso fórmulas con inversas cuando las columnas de \(A\) son dependientes.
Idea clave
Si \(A\) no tiene rango completo por columnas, entonces \(A^TA\) es singular. Puede haber muchos vectores de coeficientes de mínimos cuadrados \(\hat{x}\), porque coeficientes distintos pueden dar el mismo vector ajustado. La geometría aún tiene un vector más cercano único \(p\in\operatorname{Col}(A)\), así que \(A\hat{x}=p\) es único.
Datos sobre rango deficiente
\(A^TA\) es invertible exactamente cuando las columnas de \(A\) son independientes.
Las ecuaciones normales siguen caracterizando los minimizadores de mínimos cuadrados, pero pueden tener varias soluciones.
La proyección \(p=A\hat{x}\) es única.
La seudoinversa \(A^+b\) da la solución de mínimos cuadrados con menor norma de coeficientes.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Supón que ambas columnas de \(A\) son \((1,0)\), y que \(b=(2,1)\). ¿Qué ocurre?
El espacio columna es el eje \(x\), así que el vector ajustado es la proyección \(p=(2,0)\). Cualquier coeficiente con \(x_1+x_2=2\) da el mismo vector ajustado, por lo que los coeficientes no son únicos. El residuo es \(b-p=(0,1)\), perpendicular al eje \(x\).
Inténtalo
Inténtalo: Si \(A\) tiene rango deficiente, ¿qué puede seguir siendo cierto para mínimos cuadrados?
Pista: El punto más cercano en un subespacio es único aunque varios vectores de coeficientes lo produzcan.
La mayoría de los errores confunden el vector de coeficientes con la proyección
Objetivo de aprendizaje: Terminar con una lista compacta para errores comunes de proyecciones y mínimos cuadrados.
Errores comunes
Dirección no unitaria: divide por \(u\cdot u\) al proyectar sobre \(\operatorname{span}(u)\).
Proyección frente a residuo: \(p\in S\), mientras que \(v-p\in S^\perp\).
Matriz de proyección: \(P^2=P\) por sí solo no basta para una proyección ortogonal; también comprueba la simetría.
Fórmula de rango completo: \(A(A^TA)^{-1}A^T\) requiere columnas independientes.
Mínimos cuadrados: \(A\hat{x}\) es la proyección de \(b\), no necesariamente \(b\) mismo.
Rango deficiente: \(\hat{x}\) puede no ser único, pero \(A\hat{x}\) sí es único.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(v=(2,2)\) ya está en la recta \(y=x\), ¿cuál es su proyección sobre esa recta?
La proyección es el propio \(v\): \((2,2)\). Un vector que ya está en el subespacio tiene residuo cero, y el cero es ortogonal a todo subespacio.
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuál es el mejor ajuste constante por mínimos cuadrados para los datos \(1,3,5\)?
Pista: El mejor ajuste constante es el promedio de los valores de los datos.
Repaso final
Proyección significa \(v=p+r\) con \(p\in S\) y \(r\perp S\).
Para una recta, usa \(\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}u\).
Las matrices de proyección ortogonal satisfacen \(P^2=P\) y \(P^T=P\).
\(\ker P=S^\perp\) para la proyección sobre \(S\), e \(I-P\) proyecta sobre \(S^\perp\).
Para columnas ortonormales \(Q\), la matriz de proyección es \(QQ^T\) y los coeficientes de mínimos cuadrados son \(Q^Tb\).
Para \(A\) con rango completo por columnas, la matriz de proyección sobre el espacio columna es \(A(A^TA)^{-1}A^T\).
Mínimos cuadrados hace que \(b-A\hat{x}\) sea ortogonal a \(\operatorname{Col}(A)\).
Las ecuaciones normales son \(A^TA\hat{x}=A^Tb\).
La deficiencia de rango puede hacer que \(\hat{x}\) no sea único, mientras \(A\hat{x}\) sigue siendo la proyección única.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar el cuestionario. En cada problema, identifica primero el subespacio objetivo y luego decide si necesitas una proyección vectorial, una matriz de proyección o una condición de residuo de mínimos cuadrados.
Serie de práctica
Preguntas de práctica de Orthogonal Projections & Least Squares con puntuación instantánea
Responde las 10 preguntas de abajo y recibe tu puntuación final con una revisión de errores para saber exactamente qué mejorar.
0/10respondidas
Pregunta 1Sin responder
¿Cuál es la proyección ortogonal de \((1,2)\) sobre el eje \(x\)?
Respuesta correcta: A. \((1,0)\)
Explicación: Proyectar sobre el eje \(x\) conserva la primera coordenada y pone la segunda en cero.
Pregunta 2Sin responder
Si \(u\) es un vector unitario, la proyección de \(v\) sobre \(\operatorname{span}(u)\) es:
Respuesta correcta: A. \((v\cdot u)u\)
Explicación: Para un vector unitario, la componente escalar es \(v\cdot u\).
Pregunta 3Sin responder
¿Cuál es la proyección de \((1,0)\) sobre la recta generada por \((1,1)\)?
Respuesta correcta: C. \((1/2,1/2)\)
Explicación: El coeficiente de proyección es \(\frac{(1,0)\cdot(1,1)}{(1,1)\cdot(1,1)}=1/2\).
Pregunta 4Sin responder
Para una proyección ortogonal \(P\), ¿qué identidad se cumple siempre?
Respuesta correcta: C. \(P^2=P\)
Explicación: Proyectar dos veces es lo mismo que proyectar una vez.
Pregunta 5Sin responder
Para una matriz de proyección ortogonal \(P\), ¿qué propiedad de simetría se cumple?
Respuesta correcta: D. \(P^T=P\)
Explicación: Las matrices de proyección ortogonal son simétricas.
Pregunta 6Sin responder
La solución de mínimos cuadrados de \(Ax\approx b\) satisface:
Respuesta correcta: C. \(A^TAx=A^Tb\)
Explicación: Las ecuaciones normales son \(A^TAx=A^Tb\).
Pregunta 7Sin responder
En mínimos cuadrados, el residuo \(b-Ax\) es ortogonal a:
Respuesta correcta: C. El espacio columna de \(A\)
Explicación: Las ecuaciones normales significan que el residuo es ortogonal al espacio columna de \(A\).
Pregunta 8Sin responder
El vector más cercano en un subespacio \(S\) a un vector \(v\) es:
Respuesta correcta: D. La proyección ortogonal de \(v\) sobre \(S\)
Explicación: La proyección ortogonal es la mejor aproximación desde el subespacio.
Pregunta 9Sin responder
¿Cuál es la proyección de \((2,2)\) sobre la recta \(y=x\)?
Respuesta correcta: A. \((2,2)\)
Explicación: El vector ya está en la recta \(y=x\), así que su proyección es él mismo.
Pregunta 10Sin responder
Si \(v=p+r\), donde \(p\in S\) y \(r\perp S\), ¿qué es \(p\)?
Respuesta correcta: D. La proyección de \(v\) sobre \(S\)
Explicación: Esta es la descomposición ortogonal, así que \(p\) es la proyección sobre \(S\).
