लंबकोणीय प्रक्षेपण और न्यूनतम वर्ग अभ्यास क्विज़, क्रमबद्ध सहभागात्मक पाठ के साथ
नीचे दिए गए क्विज़ से लंबकोणीय प्रक्षेपण और न्यूनतम वर्ग का अभ्यास करें: उपस्थानों में निकटतम सदिश, \(p\in S\) और \(r\perp S\) के साथ \(v=p+r\) विघटन, रेखा पर प्रक्षेपण, \(P^2=P\) और \(P^T=P\) वाली प्रक्षेपण मैट्रिक्स, पूर्ण स्तंभ रैंक वाले \(A\) के लिए \(A(A^TA)^{-1}A^T\) जैसे स्तंभ-स्थान सूत्र, सामान्य समीकरण \(A^TAx=A^Tb\), अवशेष की लंबता, सर्वोत्तम नियत समायोजन, और \(A^TA\) के अव्युत्क्रमणीय होने पर क्या बदलता है। संक्षिप्त हल किए हुए उदाहरणों और छोटी जाँचों के लिए पाठ खोलें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह प्रक्षेपण और न्यूनतम-वर्ग अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: प्रक्षेपण, अवशेष, प्रक्षेपण मैट्रिक्स, सामान्य समीकरण और सर्वोत्तम समायोजन से जुड़े प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें: सूत्र, पहचान-जाँच, हल किए हुए उदाहरण और एकल-उत्तर जाँचें दोहराएँ।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और पहले तय करें कि प्रश्न निकटतम सदिश, प्रक्षेपण मैट्रिक्स, अवशेष शर्त या न्यूनतम-वर्ग गुणांक में से किस बारे में है।
लंबकोणीय प्रक्षेपण और न्यूनतम वर्ग के पाठ में आप क्या सीखेंगे
लंबकोणीय प्रक्षेपण की ज्यामिति
निकटतम सदिश: \(\operatorname{proj}_S(v)\), \(S\) में \(v\) के सबसे निकट स्थित अद्वितीय बिंदु है
उद्देश्य: प्रक्षेपण और न्यूनतम वर्ग के लिए भरोसेमंद कार्य-विधि बनाना: किसी सदिश को उपस्थान और लंब त्रुटि में विभाजित करना, रेखाओं और स्तंभ-स्थानों पर प्रक्षेपण निकालना, लंबकोणीय प्रक्षेपण मैट्रिक्स पहचानना, सामान्य समीकरण हल करना, और यह जानना कि \(A\) के स्तंभ आश्रित होने पर भी क्या सत्य रहता है।
सफलता मानदंड
लंबकोणीय विघटन \(v=p+r\) लिखें, जहाँ \(p\in S\) और \(r\perp S\)।
रेखा का सूत्र \(\operatorname{proj}_{\operatorname{span}(u)}(v)=\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}u\) उपयोग करें।
पहचानें कि लंबकोणीय प्रक्षेपण मैट्रिक्स \(P^2=P\) और \(P^T=P\) संतुष्ट करती है।
लंबमानक आधार-स्तंभों \(Q\) वाले उपस्थान के लिए \(QQ^T\), और न्यूनतम-वर्ग गुणांकों के लिए \(Q^Tb\) उपयोग करें।
पूर्ण स्तंभ रैंक वाले \(A\) के लिए \(A(A^TA)^{-1}A^T\) उपयोग करें।
अवशेष की लंबता \(A^T(b-A\hat{x})=0\) से न्यूनतम वर्ग निकालें।
अनुकूलित सदिश \(A\hat{x}\) को गुणांक सदिश \(\hat{x}\) से अलग रखें।
\(A^TA\) को व्युत्क्रमणीय माने बिना रैंक-अपूर्ण स्थितियाँ संभालें।
प्रक्षेपण मैट्रिक्स: ऐसा रेखीय प्रतिचित्रण \(P\) जिसके लिए \(P^2=P\); लंबकोणीय प्रक्षेपणों में \(P^T=P\) भी होता है।
स्तंभ-स्थान: सभी सदिश \(Ax\), अर्थात \(A\) के संभावित अनुकूलित परिणाम।
सामान्य समीकरण: \(A^TA\hat{x}=A^Tb\), जो अवशेष की लंबता के समतुल्य हैं।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच: यदि \(p=\operatorname{proj}_S(v)\), तो \(v-p\) के बारे में क्या सत्य है?
संकेत: निकटतम-बिंदु की शर्त इस बात के समतुल्य है कि त्रुटि उपस्थान की हर दिशा के लंब हो।
प्रक्षेपण का अर्थ है उपस्थान वाला भाग और लंब त्रुटि
सीखने का लक्ष्य: हर प्रक्षेपण और न्यूनतम-वर्ग गणना के पीछे की ज्यामिति पहचानना।
मुख्य विचार
किसी आंतरिक गुणनफल स्थान के उपस्थान \(S\) के लिए, हर सदिश \(v\) को इस तरह बाँटा जा सकता है: \[v=p+r,\qquad p\in S,\quad r\in S^\perp.\] सदिश \(p\), \(\operatorname{proj}_S(v)\) है, और \(r\) अवशेष है। पाइथागोरस प्रमेय हर \(s\in S\) के लिए \(\|v-s\|^2=\|r\|^2+\|p-s\|^2\) देता है, इसलिए \(p\), \(S\) में निकटतम सदिश है।
पहचान जाँच-सूची
लक्षित उपस्थान \(S\) पहचानें।
कोई उम्मीदवार \(p\in S\) निकालें।
\(v-p\perp S\) जाँचें, आम तौर पर \(S\) के किसी आधार से बिंदु गुणनफल लेकर।
यदि दोनों शर्तें पूरी हों, तो \(p\) ही प्रक्षेपण है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(v=(1,0)\) को रेखा \(S=\operatorname{span}((1,1))\) पर प्रक्षेपित करें।
रेखा पर सदिश का रूप \(p=t(1,1)\) होगा। त्रुटि \(v-p=(1-t,-t)\), \((1,1)\) के लंब होनी चाहिए, इसलिए \((1-t)+(-t)=0\)। अतः \(1-2t=0\), इसलिए \(t=\tfrac12\) और \(p=(\tfrac12,\tfrac12)\)।
स्वयं प्रयास
स्वयं प्रयास: \((1,0)\) का \(\operatorname{span}((1,1))\) पर प्रक्षेपण क्या है?
संकेत: गुणांक \(\dfrac{(1,0)\cdot(1,1)}{(1,1)\cdot(1,1)}=\dfrac12\) है।
एक बिंदु-गुणनफल गुणांक उपयोग करें
सीखने का लक्ष्य: यह गलती किए बिना रेखा पर प्रक्षेपण जल्दी निकालना कि दिशा सदिश की लंबाई \(1\) ही है।
मुख्य विचार
यदि \(u≠0\), तो \(v\) का \(\operatorname{span}(u)\) पर प्रक्षेपण है \[\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u.\] यदि \(u\) इकाई सदिश है, तो यह सरल होकर \((v\cdot u)u\) हो जाता है।
सूत्र संबंधी टिप्पणियाँ
हर \(u\cdot u=\|u\|^2\) है, केवल \(\|u\|\) नहीं।
यदि \(v\) पहले से रेखा पर है, तो प्रक्षेपण \(v\) ही है।
यदि \(v\perp u\), तो प्रक्षेपण \(0\) है।
अवशेष \(v-\operatorname{proj}_u(v)\), \(u\) के लंब होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(v=(2,0)\) को \(\operatorname{span}((1,1))\) पर प्रक्षेपित करें।
गुणांक \(\dfrac{(2,0)\cdot(1,1)}{(1,1)\cdot(1,1)}=\dfrac{2}{2}=1\) है। इसलिए प्रक्षेपण \(1(1,1)=(1,1)\) है।
स्वयं प्रयास
स्वयं प्रयास: \((2,0)\) का \((1,1)\) से जनित रेखा पर प्रक्षेपण क्या है?
संकेत: \((1,1)\) के साथ बिंदु गुणनफल \(2\) है, और \((1,1)\cdot(1,1)=2\)।
लंबकोणीय प्रक्षेपण मैट्रिक्स समघाती और सममित होती हैं
सीखने का लक्ष्य: बीजीय जाँचों से प्रक्षेपण मैट्रिक्स पहचानना और उनका परास, कर्नेल, रैंक तथा ट्रेस पढ़ना।
मुख्य विचार
प्रक्षेपण \(P^2=P\) संतुष्ट करता है: कोई सदिश एक बार प्रक्षेपित हो जाए, तो दोबारा प्रक्षेपित करने पर कुछ नहीं बदलता। यह ठीक तब लंबकोणीय प्रक्षेपण है जब अवशेष परास के लंब हो; मानक निर्देशांकों में इसका अर्थ \(P^T=P\) है।
मैट्रिक्स जाँचें
\(P^2=P\): प्रक्षेपण या समघाती प्रतिचित्रण।
\(P^T=P\): यूक्लिडीय स्थान में लंबकोणीय प्रक्षेपण।
\(\operatorname{Range}(P)\) लक्षित उपस्थान है, और स्वमान \(1\) परास के सदिशों से जुड़ा होता है।
\(S\) पर लंबकोणीय प्रक्षेपण के लिए \(\ker P=S^\perp\), और \(I-P\), \(S^\perp\) पर प्रक्षेपित करता है।
स्वमान केवल \(0\) और \(1\) होते हैं, इसलिए \(\operatorname{tr}P=\operatorname{rank}P\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(x\)-अक्ष पर प्रक्षेपण \((x,y)\) को \((x,0)\) पर भेजता है। इसकी मैट्रिक्स में कौन-से गुण होते हैं?
मैट्रिक्स \(\operatorname{diag}(1,0)\) है। इसे दो बार लगाने पर वही मैट्रिक्स मिलती है, इसलिए \(P^2=P\)। यह अपने ट्रांसपोज के बराबर है, इसलिए \(P^T=P\)। इसका परास \(x\)-अक्ष है और इसका कर्नेल \(y\)-अक्ष है।
स्वयं प्रयास
स्वयं प्रयास: हर लंबकोणीय प्रक्षेपण मैट्रिक्स \(P\) के लिए कौन-सी सर्वसमिकाएँ सत्य होती हैं?
संकेत: दो बार प्रक्षेपित करने पर कुछ नहीं बदलता, और लंबकोणीय प्रक्षेपण मैट्रिक्स सममित होती हैं।
\(\operatorname{Col}(A)\) पर प्रक्षेपण
सीखने का लक्ष्य: उपलब्ध स्तंभों के आधार पर सही प्रक्षेपण सूत्र चुनना।
मुख्य विचार
यदि \(Q\) के स्तंभ लंबमानक हैं और \(S\) को जनित करते हैं, तो \(S\) पर प्रक्षेपण मैट्रिक्स \(P=QQ^T\) है। यदि \(A\) की पूर्ण स्तंभ रैंक है लेकिन स्तंभ जरूरी नहीं कि लंबमानक हों, तो \[P=A(A^TA)^{-1}A^T.\] दोनों सूत्र \(\operatorname{Col}(A)\) में निकटतम सदिश देते हैं।
स्तंभ-स्थान के चरण
यदि स्तंभ लंबमानक हैं, तो प्रक्षेपण मैट्रिक्स के लिए \(QQ^T\) उपयोग करें।
लंबमानक स्तंभों \(Q\) के साथ न्यूनतम-वर्ग गुणांकों के लिए \(\hat{x}=Q^Tb\) उपयोग करें।
यदि स्तंभ स्वतंत्र हैं लेकिन लंबमानक नहीं हैं, तो \(A(A^TA)^{-1}A^T\) उपयोग करें।
यदि स्तंभ आश्रित हैं, तो स्वतंत्र आधार तक घटाएँ या छद्म-प्रतिलोम उपयोग करें।
हमेशा जाँचें कि परिणाम स्तंभ-स्थान में है और अवशेष स्तंभ-स्थान के लंब है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: मान लें \(Q\) में एकमात्र इकाई स्तंभ \(q=(1/\sqrt2,1/\sqrt2)\) है। \(QQ^T\) क्या करता है?
यह किसी भी सदिश \((a,b)\) को रेखा \(y=x\) पर प्रक्षेपित करता है, और \(\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)\) देता है। उदाहरण के लिए, \((2,0)\) को \((1,1)\) पर भेजा जाता है।
स्वयं प्रयास
स्वयं प्रयास: यदि \(Q\) के स्तंभ लंबमानक हैं, तो \(\operatorname{Col}(Q)\) पर प्रक्षेपण मैट्रिक्स क्या है?
संकेत: लंबमानक स्तंभों से \(Q^TQ=I\) बनता है, इसलिए पूरा सूत्र सरल हो जाता है।
न्यूनतम वर्ग, स्तंभ-स्थान पर प्रक्षेपण है
सीखने का लक्ष्य: असंगत प्रणाली \(Ax\approx b\) को प्रक्षेपण समस्या में बदलना।
मुख्य विचार
न्यूनतम-वर्ग हल \(\|b-Ax\|\) को न्यूनतम करता है। अनुकूलित सदिश \(A\hat{x}\), \(b\) का \(\operatorname{Col}(A)\) पर प्रक्षेपण है, इसलिए अवशेष \(r=b-A\hat{x}\), \(A\) के हर स्तंभ के लंब है। यही \(A^Tr=0\), या \(A^TA\hat{x}=A^Tb\), है।
सामान्य-समीकरण तथ्य
सामान्य समीकरण \(A^TA\hat{x}=A^Tb\) हैं।
यदि \(A\) की पूर्ण स्तंभ रैंक है, तो \(A^TA\) व्युत्क्रमणीय है और गुणांक सदिश \(\hat{x}\) अद्वितीय है।
यदि \(A=Q\) के स्तंभ लंबमानक हैं, तो \(\hat{x}=Q^Tb\)।
अनुकूलित सदिश \(A\hat{x}\), \(b\) का \(\operatorname{Col}(A)\) पर प्रक्षेपण है।
अवशेष \(A\) के हर स्तंभ के लंब होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: आँकड़ों \(1,3,5\) के लिए सर्वोत्तम नियत समायोजन निकालें।
नियतांक \(c\) से समायोजन करने का अर्थ है \((1,3,5)\) को \((1,1,1)\) से जनित रेखा पर प्रक्षेपित करना। गुणांक औसत \(c=(1+3+5)/3=3\) है। अवशेष \((-2,0,2)\) है, जिसकी प्रविष्टियों का योग \(0\) है, इसलिए वह नियत दिशा के लंब है।
स्वयं प्रयास
स्वयं प्रयास: न्यूनतम वर्ग में अवशेष \(b-A\hat{x}\) किस स्थान के लंब होता है?
संकेत: सामान्य समीकरण कहते हैं कि \(A^T(b-A\hat{x})=0\), इसलिए हर स्तंभ का अवशेष के साथ बिंदु गुणनफल शून्य है।
जब गुणांक अद्वितीय नहीं होते, तब भी अनुकूलित सदिश अद्वितीय रहता है
सीखने का लक्ष्य: \(A\) के स्तंभ आश्रित होने पर प्रतिलोम सूत्रों का अति-उपयोग न करना।
मुख्य विचार
यदि \(A\) की पूर्ण स्तंभ रैंक नहीं है, तो \(A^TA\) अव्युत्क्रमणीय है। न्यूनतम-वर्ग गुणांक सदिश \(\hat{x}\) कई हो सकते हैं, क्योंकि अलग-अलग गुणांक एक ही अनुकूलित सदिश दे सकते हैं। ज्यामिति में फिर भी एक अद्वितीय निकटतम सदिश \(p\in\operatorname{Col}(A)\) होता है, इसलिए \(A\hat{x}=p\) अद्वितीय है।
रैंक-अपूर्ण तथ्य
\(A^TA\) ठीक तभी व्युत्क्रमणीय है जब \(A\) के स्तंभ स्वतंत्र हों।
सामान्य समीकरण अब भी न्यूनतम-वर्ग लघुतमकारों को निरूपित करते हैं, लेकिन कई हल हो सकते हैं।
प्रक्षेपण \(p=A\hat{x}\) अद्वितीय है।
छद्म-प्रतिलोम \(A^+b\), सबसे छोटे गुणांक-मानक वाला न्यूनतम-वर्ग हल देता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: मान लें \(A\) के दोनों स्तंभ \((1,0)\) हैं और \(b=(2,1)\)। क्या होता है?
स्तंभ-स्थान \(x\)-अक्ष है, इसलिए अनुकूलित सदिश प्रक्षेपण \(p=(2,0)\) है। \(x_1+x_2=2\) वाले कोई भी गुणांक वही अनुकूलित सदिश देते हैं, इसलिए गुणांक अद्वितीय नहीं हैं। अवशेष \(b-p=(0,1)\) है, जो \(x\)-अक्ष के लंब है।
स्वयं प्रयास
स्वयं प्रयास: यदि \(A\) रैंक-अपूर्ण है, तो न्यूनतम वर्ग के लिए फिर भी क्या सत्य हो सकता है?
संकेत: किसी उपस्थान में निकटतम बिंदु अद्वितीय होता है, भले ही कई गुणांक सदिश उसे उत्पन्न करें।
अधिकतर गलतियाँ गुणांक सदिश को प्रक्षेपण समझ लेने से होती हैं
सीखने का लक्ष्य: प्रक्षेपण और न्यूनतम वर्ग की सामान्य गलतियों के लिए संक्षिप्त जाँच-सूची के साथ समाप्त करना।
सामान्य भूलें
अइकाई दिशा: \(\operatorname{span}(u)\) पर प्रक्षेपित करते समय \(u\cdot u\) से भाग दें।
प्रक्षेपण बनाम अवशेष: \(p\in S\), जबकि \(v-p\in S^\perp\)।
प्रक्षेपण मैट्रिक्स: केवल \(P^2=P\) लंबकोणीय प्रक्षेपण के लिए पर्याप्त नहीं है; सममिति भी जाँचें।
पूर्ण-रैंक सूत्र: \(A(A^TA)^{-1}A^T\) के लिए स्वतंत्र स्तंभ चाहिए।
न्यूनतम वर्ग: \(A\hat{x}\), \(b\) का प्रक्षेपण है, जरूरी नहीं कि \(b\) स्वयं हो।
रैंक-अपूर्णता: \(\hat{x}\) अद्वितीय न हो सकता है, पर \(A\hat{x}\) अद्वितीय है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: यदि \(v=(2,2)\) पहले से रेखा \(y=x\) पर है, तो उस रेखा पर इसका प्रक्षेपण क्या है?
प्रक्षेपण \(v\) स्वयं है: \((2,2)\)। उपस्थान में पहले से मौजूद सदिश का अवशेष शून्य होता है, और शून्य हर उपस्थान के लंब होता है।
स्वयं प्रयास
स्वयं प्रयास: आँकड़ों \(1,3,5\) के लिए सर्वोत्तम नियत न्यूनतम-वर्ग समायोजन क्या है?
संकेत: सर्वोत्तम नियत समायोजन आँकड़ों के मानों का औसत होता है।
अंतिम पुनरावलोकन
प्रक्षेपण का अर्थ \(v=p+r\) है, जहाँ \(p\in S\) और \(r\perp S\)।
रेखा के लिए \(\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}u\) उपयोग करें।
लंबकोणीय प्रक्षेपण मैट्रिक्स \(P^2=P\) और \(P^T=P\) संतुष्ट करती हैं।
\(S\) पर प्रक्षेपण के लिए \(\ker P=S^\perp\), और \(I-P\), \(S^\perp\) पर प्रक्षेपित करता है।
लंबमानक स्तंभों \(Q\) के लिए प्रक्षेपण मैट्रिक्स \(QQ^T\) है और न्यूनतम-वर्ग गुणांक \(Q^Tb\) हैं।
पूर्ण स्तंभ रैंक वाले \(A\) के लिए स्तंभ-स्थान प्रक्षेपण मैट्रिक्स \(A(A^TA)^{-1}A^T\) है।
न्यूनतम वर्ग \(b-A\hat{x}\) को \(\operatorname{Col}(A)\) के लंब बनाता है।
सामान्य समीकरण \(A^TA\hat{x}=A^Tb\) हैं।
रैंक-अपूर्णता \(\hat{x}\) को अनन्य बना सकती है, जबकि \(A\hat{x}\) अद्वितीय प्रक्षेपण बना रहता है।
अगला चरण: यह पाठ बंद करें और क्विज़ फिर से हल करें। हर प्रश्न में पहले लक्षित उपस्थान पहचानें, फिर तय करें कि आपको सदिश प्रक्षेपण, प्रक्षेपण मैट्रिक्स या न्यूनतम-वर्ग अवशेष शर्त चाहिए।
अभ्यास सेट
Orthogonal Projections & Least Squares अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
\((1,2)\) का \(x\)-अक्ष पर लंब प्रक्षेपण क्या है?
सही उत्तर: A. \((1,0)\)
व्याख्या: \(x\)-अक्ष पर प्रक्षेपण पहले निर्देशांक को रखता है और दूसरे को शून्य कर देता है।
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
यदि \(u\) एक इकाई सदिश है, तो \(v\) का \(\operatorname{span}(u)\) पर प्रक्षेपण है:
सही उत्तर: A. \((v\cdot u)u\)
व्याख्या: इकाई सदिश के लिए, अदिश घटक \(v\cdot u\) होता है।
प्रश्न 3उत्तर नहीं दिया
\((1,0)\) का \((1,1)\) से जनित रेखा पर प्रक्षेपण क्या है?
सही उत्तर: C. \((1/2,1/2)\)
व्याख्या: प्रक्षेपण गुणांक \(\frac{(1,0)\cdot(1,1)}{(1,1)\cdot(1,1)}=1/2\) है।
प्रश्न 4उत्तर नहीं दिया
एक लंब प्रक्षेपण \(P\) के लिए कौन-सी सर्वसमिका सदैव सत्य होती है?
सही उत्तर: C. \(P^2=P\)
व्याख्या: दो बार प्रक्षेपण करना एक बार प्रक्षेपण करने के समान है।
प्रश्न 5उत्तर नहीं दिया
एक लंब प्रक्षेपण मैट्रिक्स \(P\) के लिए कौन-सा सममिति गुण सत्य है?
सही उत्तर: D. \(P^T=P\)
व्याख्या: लंब प्रक्षेपण मैट्रिक्स सममित होते हैं।
प्रश्न 6उत्तर नहीं दिया
\(Ax\approx b\) का न्यूनतम-वर्ग हल संतुष्ट करता है:
सही उत्तर: C. \(A^TAx=A^Tb\)
व्याख्या: सामान्य समीकरण \(A^TAx=A^Tb\) हैं।
प्रश्न 7उत्तर नहीं दिया
न्यूनतम वर्ग में, अवशेष \(b-Ax\) किसके लंब होता है?
सही उत्तर: C. \(A\) का स्तंभ स्थान
व्याख्या: सामान्य समीकरण बताते हैं कि अवशेष \(A\) के स्तंभ स्थान के लंब होता है।
प्रश्न 8उत्तर नहीं दिया
उपस्थान \(S\) में सदिश \(v\) के सबसे निकट सदिश है:
सही उत्तर: D. \(v\) का \(S\) पर लंब प्रक्षेपण
व्याख्या: लंब प्रक्षेपण उपस्थान से सर्वोत्तम सन्निकटन देता है।
प्रश्न 9उत्तर नहीं दिया
\((2,2)\) का रेखा \(y=x\) पर प्रक्षेपण क्या है?
सही उत्तर: A. \((2,2)\)
व्याख्या: यह सदिश पहले से ही रेखा \(y=x\) पर है, इसलिए इसका प्रक्षेपण वही है।
प्रश्न 10उत्तर नहीं दिया
यदि \(v=p+r\), जहाँ \(p\in S\) और \(r\perp S\), तो \(p\) क्या है?
सही उत्तर: D. \(v\) का \(S\) पर प्रक्षेपण
व्याख्या: यह लंब विघटन है, इसलिए \(p\), \(S\) पर प्रक्षेपण है।
