Preguntas de entrenamiento, cuestionario y lección paso a paso sobre Razones y proporciones - mejora tus habilidades matemáticas con preguntas enfocadas y explicaciones claras.
Cuestionario de práctica de razones y proporciones con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario al principio de la página para practicar razones y proporciones (simplificar razones, encontrar razones equivalentes, resolver proporciones y responder problemas verbales de razones del mundo real). Si quieres refrescar el tema, haz clic en Empezar lección para abrir una guía paso a paso.
Cómo funciona esta práctica de razones y proporciones
1. Haz el cuestionario: responde las preguntas al principio de la página.
2. Abre la lección (opcional): repasa el método con ejemplos y comprobaciones rápidas.
3. Reintenta: vuelve al cuestionario y aplica lo que repasaste.
Qué aprenderás en la lección de razones y proporciones
Significado y vocabulario
Qué significa una razón (una comparación)
Formas comunes: \(a:b\), "\(a\) a \(b\)" y \(\frac{a}{b}\)
Términos, parte a parte y parte a todo
Razones equivalentes
Simplificar razones usando el máximo común divisor
Crear razones equivalentes escalando hacia arriba/abajo
Usar tablas de razones y el razonamiento de "mismo multiplicador"
Proporciones y valores faltantes
Qué es una proporción: dos razones iguales
Resolver una incógnita usando productos cruzados o escala
Comprobar si la respuesta es razonable (¿coincide con la razón?)
Aplicaciones del mundo real
Tasas unitarias (por 1) y escala constante
Factor de escala, mapas y dibujos a escala
Recetas, velocidad, precio unitario y conversiones de medidas
Volver al cuestionario
Cuando estés listo, vuelve al cuestionario al principio de la página y continúa practicando.
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Razones & Proporciones
Guía paso a paso
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Lección de razones y proporciones
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Resumen de la lección
Resumen de la lección
Propósito: Comprender razones y proporciones, ganar fluidez con razones equivalentes y aprender pasos confiables para resolver problemas de valor faltante y problemas verbales.
Criterios de éxito
Explica una razón como una comparación usando \(a:b\), “\(a\) a \(b\)” o \(\frac{a}{b}\).
Identifica razones parte a parte y parte a todo.
Simplifica una razón a su mínima expresión usando el máximo común divisor.
Crea razones equivalentes multiplicando/dividiendo ambos términos por el mismo número.
Resuelve una proporción con un valor faltante usando escala o productos cruzados.
Resuelve problemas de razones con un total usando “partes totales” y un factor de escala.
Usa tasas unitarias y factores de escala en contextos reales (recetas, mapas, velocidad, precio unitario).
Vocabulario clave
Razón: una comparación de dos cantidades mediante división.
Término: cada número en una razón (en \(a:b\), \(a\) y \(b\) son los términos).
Razones equivalentes: razones que representan la misma relación (por ejemplo, \(2:3\) y \(4:6\)).
Proporción: una ecuación que afirma que dos razones son iguales.
Tasa unitaria: una tasa con denominador 1 (por ejemplo, 60 km por 1 hora).
Comprobación rápida previa
Comprobación previa 1: ¿Qué razón representa “4 a 7”?
Pista: El orden importa. 4 a 7 empieza con 4.
Comprobación previa 2: Si la razón de gatos a perros es \(2:3\) y hay \(6\) gatos, ¿cuántos perros hay?
Pista: Para pasar de 2 gatos a 6 gatos, multiplica por 3. Haz lo mismo con los perros: \(3\times 3=9\).
Comprender las razones
¿Qué es una razón?
Objetivo de aprendizaje: Interpretar razones correctamente y elegir el orden adecuado para una razón (qué se compara con qué).
Idea clave
Una razón compara dos cantidades mediante división. Verás razones escritas en tres formas comunes: \(a:b\), “\(a\) a \(b\)” y \(\frac{a}{b}\). El orden importa: \(2:5\) no es lo mismo que \(5:2\).
Parte a parte vs. parte a todo
Una razón puede comparar dos partes (parte a parte) o una parte con el total (parte a todo). Lee siempre el problema con cuidado para saber qué razón se pide.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Una bolsa tiene 8 canicas rojas y 12 canicas azules.
Inténtalo 1: Una clase tiene 10 niñas y 15 niños. ¿Cuál es la razón niñas:niños en su forma más simple?
Pista: Simplifica \(10:15\) dividiendo ambos términos por 5.
Inténtalo 2: Si la razón de manzanas a naranjas es \(1:2\) y hay \(4\) manzanas, ¿cuántas naranjas hay?
Pista: Si 1 manzana corresponde a 2 naranjas, entonces 4 manzanas corresponden a \(4\times 2=8\) naranjas.
Resumen
Una razón compara dos cantidades, y el orden importa.
Las razones pueden ser parte a parte o parte a todo, según lo que se pida.
Razones equivalentes
Simplificar y crear razones equivalentes
Objetivo de aprendizaje: Simplificar razones a su mínima expresión y construir razones equivalentes escalando ambos términos.
Idea clave
Simplificas una razón igual que simplificas una fracción: divide ambos términos por su máximo común divisor (MCD). Para crear una razón equivalente, multiplica (o divide) ambos términos por el mismo número distinto de cero.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Simplifica \(35:50\)
El MCD de 35 y 50 es 5. Divide ambos términos por 5: \(35:50 = 7:10\). Por lo tanto, la razón en mínima expresión es \(7:10\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Simplifica la razón \(81:54\) a su mínima expresión.
Pista: Divide ambos números por su MCD (aquí es 27).
Inténtalo 2: Si \(x:y = 4:5\) y \(x = 16\), ¿cuánto es \(y\)?
Pista: \(4\to 16\) es \(\times 4\). Haz lo mismo con 5: \(5\times 4=20\).
Resumen
Simplifica una razón dividiendo ambos términos por el MCD.
Las razones equivalentes se obtienen al multiplicar/dividir ambos términos por el mismo número.
Proporciones
Proporciones y resolver una incógnita
Objetivo de aprendizaje: Plantear una proporción y resolver con precisión problemas de valor faltante.
Idea clave
Una proporción es una ecuación que dice que dos razones son iguales: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (con \(b≠ 0\) y \(d≠ 0\)). Un método confiable es la multiplicación cruzada: \(\,a\cdot d = b\cdot c\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Resuelve \(\frac{3}{5} = \frac{x}{20}\)
Multiplica en cruz: \(3\cdot 20 = 5\cdot x\). \(60 = 5x\). Divide por 5: \(x=12\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Resuelve la proporción \(\frac{6}{x} = \frac{3}{4}\). ¿Cuánto es \(x\)?
Pista: Multiplica en cruz: \(6\cdot 4 = 3\cdot x\).
Inténtalo 2: Resuelve la proporción \(\frac{9}{12} = \frac{x}{16}\). ¿Cuánto es \(x\)?
Pista: Simplifica \(\frac{9}{12}\) primero y luego escala a un denominador de 16.
Resumen
Una proporción afirma que dos razones son iguales.
La multiplicación cruzada ( \(a\cdot d=b\cdot c\) ) te ayuda a resolver la incógnita.
Razones con totales
Usar una razón para repartir un total
Objetivo de aprendizaje: Usar el método de “partes totales” para encontrar cada cantidad cuando conoces una razón y un total.
Idea clave
Si \(a:b = m:n\) y el total es \(T\), entonces el número total de “partes” es \(m+n\). Cada parte es \(\frac{T}{m+n}\). Entonces: \(a = m\cdot\frac{T}{m+n}\) y \(b = n\cdot\frac{T}{m+n}\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Autos:bicicletas \(= 2:5\), total \(=21\)
Partes totales: \(2+5=7\). Cada parte: \(21\div 7=3\). Bicicletas: \(5\times 3=15\). Autos: \(2\times 3=6\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Si la razón de autos a bicicletas es \(2:5\) y el total es \(21\), ¿cuántas son bicicletas?
Pista: Suma las partes de la razón \(2+5\) y luego divide el total entre esa suma.
Solución resuelta
Partes totales \(=2+5=7\). Cada parte \(=21\div 7=3\). Bicicletas \(=5\times 3=15\).
Inténtalo 2: Si \(a:b=1:4\) y \(a+b=10\), ¿cuánto es \(a\)?
Pista: Partes totales \(=1+4=5\). Cada parte \(=10\div 5\).
Resumen
Cuando conoces una razón y un total, suma primero las partes de la razón.
Divide el total entre el número de partes y luego multiplica para encontrar cada cantidad.
Razones de tres términos
Razones de tres términos \(a:b:c\)
Objetivo de aprendizaje: Usar un factor de escala para resolver problemas con tres cantidades en una razón.
Idea clave
Una razón de tres términos \(a:b:c = p:q:r\) significa que hay un factor de escala \(k\) tal que: \(a=pk\), \(b=qk\) y \(c=rk\). Si conoces un valor (o una diferencia o un total), puedes encontrar \(k\) y luego encontrar los demás.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(a:b:c=2:3:4\) y \(a=6\), encuentra \(b\) y \(c\).
Como \(a=2k\) y \(a=6\), tenemos \(2k=6\), así que \(k=3\). Luego \(b=3k=3\times 3=9\) y \(c=4k=4\times 3=12\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(a:b:c=2:3:4\) y \(a=10\), ¿cuánto es \(c\)?
Pista: Si \(a=2k\) y \(a=10\), entonces \(k=5\). Así que \(c=4k\).
Inténtalo 2: Si \(a:b:c=1:2:4\) y \(c-a=24\), ¿cuánto es \(a\)?
Pista: \(a=k\) y \(c=4k\). Entonces \(c-a=3k\).
Resumen
En \(a:b:c=p:q:r\), cada valor es el término de la razón multiplicado por el mismo factor de escala \(k\).
Usa la información dada (un valor, un total o una diferencia) para encontrar \(k\).
Tasas unitarias
Tasas, tasas unitarias y relaciones proporcionales
Objetivo de aprendizaje: Encontrar una tasa unitaria y usar razonamiento proporcional para escalar hacia arriba o hacia abajo.
Idea clave
Una tasa es una razón que compara cantidades con unidades diferentes (por ejemplo, kilómetros y horas). Una tasa unitaria indica la cantidad “por 1” unidad. Cuando dos cantidades son proporcionales, cambian por el mismo factor de escala.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Un auto recorre 180 km en 3 horas. ¿Cuál es la velocidad en km por hora?
Tasa unitaria \(=\frac{180}{3}=60\). Respuesta: La velocidad es 60 km por hora.
Inténtalo
Inténtalo 1: Una receta usa 4 tazas de harina para 16 muffins. ¿Cuántas tazas de harina se necesitan para 20 muffins?
Pista: Simplifica \(4:16\) a \(1:4\). Entonces 20 muffins necesitan \(20\div 4=5\) tazas.
Inténtalo 2: En una relación proporcional, si una cantidad se duplica, ¿qué ocurre con la otra cantidad?
Pista: Proporcional significa que la razón entre las cantidades permanece constante.
Resumen
Una tasa unitaria te dice la cantidad por 1 unidad.
Las relaciones proporcionales escalan por el mismo factor (duplicar, triplicar, reducir a la mitad, etc.).
Aplicaciones
Por qué importan las razones y proporciones
Objetivo de aprendizaje: Conectar razones y proporciones con escalas y decisiones de la vida real — y desarrollar intuición para comprobar respuestas.
Dónde usas razones y proporciones
Recetas: escala ingredientes hacia arriba o hacia abajo manteniendo el mismo sabor.
Mapas y dibujos a escala: convierte una distancia en un dibujo a una distancia real usando un factor de escala.
Precio unitario: compara el costo por 1 artículo para encontrar la mejor oferta.
Ciencia y salud: concentraciones (como mg por mL) y mezclas.
Probabilidad: las razones describen posibilidades (por ejemplo, resultados favorables respecto de resultados totales).
Ejemplo resuelto: escala de mapa
Ejemplo: Un mapa usa una escala de 1 cm a 5 km. Dos pueblos están a 7 cm de distancia en el mapa.
Cada centímetro representa 5 km. Distancia real \(=7\times 5=35\) km. Respuesta: Los pueblos están a 35 km de distancia.
Inténtalo
Inténtalo 1: Un mapa usa una escala de 1 cm a 5 km. Dos ciudades están a 9 cm de distancia en el mapa. ¿A cuántos kilómetros de distancia están?
Pista: Multiplica la distancia en el mapa por 5 km por cm.
Comprobación rápida: razones equivalentes
Inténtalo 2: ¿Qué par de razones son equivalentes?
Pista: Las razones equivalentes se simplifican a la misma razón en mínima expresión.
Repaso final
Una razón es una comparación. Escríbela como \(a:b\), “\(a\) a \(b\)” o \(\frac{a}{b}\).
Simplifica razones usando el MCD y construye razones equivalentes escalando ambos términos.
Una proporción es una ecuación de dos razones iguales; la multiplicación cruzada puede resolver valores faltantes.
Cuando se dan una razón y un total, usa el método de partes totales para repartir el total.
Las tasas unitarias y los factores de escala ayudan con problemas del mundo real como recetas, mapas, velocidad y precio unitario.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar tu cuestionario. Si fallas una pregunta, vuelve a abrir el libro y repasa la página que corresponda a esa habilidad.
Racha 5+
Racha 10+
Racha 15+
Racha 20+
Racha 25+