Cuestionario de práctica de residuos e integración de contornos con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario más abajo en la página para practicar residuos e integración de contornos: leer el coeficiente de \((z-a)^{-1}\), calcular residuos en polos simples y de orden superior, decidir qué polos quedan dentro de un contorno, aplicar \(\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f,a)\), manejar cancelaciones, reconocer singularidades removibles y esenciales, y notar cuándo un polo sobre el contorno bloquea el teorema básico. Si necesitas repasar, abre la lección para ver ejemplos claros y comprobaciones rápidas.
Responde la serie de preguntas y revisa tus errores al final.
Cómo funciona esta práctica de residuos e integración de contornos
1. Haz la serie de práctica: responde preguntas sobre residuos, polos, integrales de contorno e hipótesis de teoremas.
2. Abre la lección: repasa el teorema de los residuos, atajos para residuos, orientación de contornos y decisiones sobre polos dentro o fuera.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y primero enumera las singularidades encerradas por el contorno.
Lo que aprenderás en la lección de residuos e integración de contornos
Residuos y polos
Residuo: el coeficiente de \((z-a)^{-1}\) en el desarrollo de Laurent en \(a\).
Polo simple: para \(g(z)/(z-a)\), el residuo es \(g(a)\).
Atajo de cero simple: si \(q(a)=0\) y \(q'(a)≠0\), entonces \(\operatorname{Res}(p/q,a)=p(a)/q'(a)\).
Teorema de contornos
Teorema de los residuos: integra sumando los residuos encerrados y multiplicando por \(2\pi i\).
Solo el interior: los polos fuera del contorno no contribuyen.
Orientación: invertir la orientación cambia el signo de la integral.
Series y singularidades
Atajo de series: expande solo lo suficiente para encontrar el coeficiente de \(1/(z-a)\).
Polo de orden superior: usa la fórmula con derivadas o un desarrollo de Taylor corto.
Clasificación: si no hay potencias negativas de Laurent, la singularidad es removible; si hay infinitas potencias negativas, es esencial.
Errores comunes
Polo sobre el contorno: el teorema básico de los residuos no se aplica directamente.
El residuo no es el orden del polo: \(1/(z-a)^2\) tiene residuo \(0\).
Cancelaciones: varios residuos encerrados pueden sumar \(0\).
Propósito: Construir una rutina fiable de integración de contornos: localizar singularidades, clasificar polos, calcular residuos a partir de coeficientes de Laurent o atajos, aplicar el teorema de los residuos con la orientación correcta, reconocer cuándo los residuos se cancelan y saber cuándo no se aplica el teorema básico.
Criterios de éxito
Definir el residuo como el coeficiente de \((z-a)^{-1}\) en un desarrollo de Laurent.
Calcular residuos en polos simples usando \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
Usar \(\operatorname{Res}(p/q,a)=p(a)/q'(a)\) cuando \(q\) tiene un cero simple en \(a\).
Calcular residuos en polos de orden superior con un desarrollo de Taylor corto o la fórmula con derivadas.
Aplicar el teorema de los residuos solo cuando el contorno evita las singularidades.
Ignorar polos exteriores e incluir todos los polos interiores, incluso cuando sus residuos se cancelan.
Seguir la orientación positiva y saber que invertir un contorno cambia el signo.
Clasificar singularidades removibles, polos de un orden dado y singularidades esenciales a partir del desarrollo de Laurent.
Detectar errores con polos de segundo orden con residuo cero, integrandos holomorfos y polos sobre el contorno.
Vocabulario clave
Desarrollo de Laurent: una serie \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n\) válida en un anillo alrededor de \(a\).
Residuo: \(c_{-1}\), el coeficiente de \((z-a)^{-1}\).
Polo simple: un polo cuya parte principal empieza y termina con \((z-a)^{-1}\).
Singularidad removible: no quedan potencias negativas de Laurent después de simplificar.
Contorno: una trayectoria cerrada orientada; la orientación positiva es antihoraria para un contorno cerrado simple.
Teorema de los residuos: una integral de contorno cerrado es igual a \(2\pi i\) por la suma de los residuos encerrados.
Comprobación previa rápida
Comprobación previa: Si \(g\) es holomorfa en \(a\), ¿cuánto es \(\operatorname{Res}(g(z)/(z-a),a)\)?
Pista: Alrededor de \(a\), el numerador es \(g(a)+g'(a)(z-a)+\cdots\). Solo importa el coeficiente que multiplica a \((z-a)^{-1}\).
Los residuos son los coeficientes de \(1/(z-a)\)
Objetivo de aprendizaje: Calcular residuos simples sin expandir más de lo necesario.
Idea clave
Si \(f\) tiene una singularidad aislada en \(a\), escribe su desarrollo de Laurent como \(f(z)=\cdots+c_{-2}(z-a)^{-2}+c_{-1}(z-a)^{-1}+c_0+\cdots\). El residuo es \(c_{-1}\). Para un polo simple, \[\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).\]
Ejemplos
\(\operatorname{Res}(1/(z-a),a)=1\).
\(\operatorname{Res}(2/(z-3),3)=2\).
\(\operatorname{Res}(1/(z-a)^2,a)=0\) porque no hay término \((z-a)^{-1}\).
Si \(f(z)=p(z)/q(z)\), \(q(a)=0\), y \(q'(a)≠0\), entonces \(\operatorname{Res}(f,a)=p(a)/q'(a)\).
Atajo de polo simple
Un atajo útil para polos simples es cancelar el factor que causa el polo y luego evaluar lo que queda. Para \(1/((z-1)(z-2))\) en \(z=1\), elimina \(z-1\) y evalúa \(1/(z-2)\) en \(1\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Halla el residuo de \(1/(z^2+1)\) en \(z=i\).
Factoriza \(z^2+1=(z-i)(z+i)\). Eliminar el factor simple \(z-i\) deja \(1/(z+i)\). En \(z=i\), esto es \(1/(2i)\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuánto es \(\operatorname{Res}(1/((z-1)(z-2)),1)\)?
Pista: Elimina el factor \(z-1\) y luego evalúa el factor restante en \(z=1\).
Una integral de contorno cerrado es una suma de residuos
Objetivo de aprendizaje: Convertir integrales de contorno en una suma finita sobre las singularidades encerradas.
Idea clave
Sea \(\Gamma\) un contorno cerrado con orientación positiva, y supón que \(f\) es holomorfa sobre y dentro de \(\Gamma\), excepto en un número finito de singularidades aisladas \(a_1,\dots,a_n\) en el interior. Entonces \[\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname{Res}(f,a_k).\] Ningún polo puede estar sobre el contorno en esta forma estándar.
Rutina de cálculo
Enumera todas las singularidades del integrando.
Decide cuáles están dentro del contorno.
Calcula el residuo en cada singularidad encerrada.
Suma los residuos encerrados.
Multiplica por \(2\pi i\), con cambio de signo para orientación negativa.
Ambos polos están dentro. Los residuos son \(-1\) en \(1\) y \(1\) en \(2\). Su suma es \(0\), así que la integral de contorno es \(2\pi i\cdot0=0\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuánto es \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{3\,dz}{z-1}\)?
Pista: El polo \(1\) está dentro del círculo y el residuo es \(3\).
Para polos de orden superior, extrae el coeficiente con cuidado
Objetivo de aprendizaje: Calcular residuos cuando el polo no es simple, usando una fórmula con derivadas o una serie corta.
Idea clave
Si \(f(z)=h(z)/(z-a)^m\) con \(h\) holomorfa en \(a\), entonces \[\operatorname{Res}(f,a)=\frac{h^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}.\] Para \(m=2\), el residuo es \(h'(a)\). De forma equivalente, expande \(h\) solo lo suficiente para encontrar el coeficiente de \((z-a)^{m-1}\).
Fórmulas para recordar
Un polo de segundo orden puede tener residuo \(0\).
\(\operatorname{Res}(h(z)/(z-a)^2,a)=h'(a)\).
\(\operatorname{Res}(h(z)/(z-a)^3,a)=h''(a)/2\).
No confundas el residuo con el coeficiente de la potencia negativa más alta.
Si el numerador tiene un cero, simplifica primero; el orden del polo puede bajar o desaparecer.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Halla \(\operatorname{Res}(e^z/z^3,0)\).
Usa \(e^z=1+z+z^2/2+\cdots\). Entonces \(e^z/z^3=z^{-3}+z^{-2}+\frac{1}{2}z^{-1}+\cdots\). El residuo es \(\frac{1}{2}\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuánto es \(\operatorname{Res}(e^z/z^2,0)\)?
Pista: \(e^z=1+z+\cdots\), y dividir por \(z^2\) convierte el término \(z\) en \(1/z\).
Expande solo tanto como exige el residuo
Objetivo de aprendizaje: Usar series de Taylor conocidas para leer residuos rápidamente.
Idea clave
Muchos residuos cerca de \(0\) son preguntas sobre coeficientes. Por ejemplo, \(\sin z=z-z^3/6+\cdots\), así que \(\sin z/z^2=1/z-z/6+\cdots\). El residuo es \(1\). No necesitas toda la serie de Laurent; detente cuando el coeficiente de \(1/z\) esté claro.
Lista de verificación del teorema
Mueve la singularidad a \(0\) si una sustitución hace más clara la expansión.
Usa series de Taylor estándar para \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\) y series geométricas.
Después de dividir por \((z-a)^m\), busca solo el término que se convierte en \((z-a)^{-1}\).
Si las potencias negativas desaparecen después de simplificar, la singularidad es removible.
Si quedan infinitas potencias negativas, la singularidad es esencial, pero el residuo sigue siendo el coeficiente de \(1/(z-a)\).
Como \(\cos z=1-z^2/2+\cdots\), al dividir por \(z\) se obtiene \(1/z-z/2+\cdots\). El residuo es \(1\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuánto es \(\operatorname{Res}(\sin z/z^2,0)\)?
Pista: El primer término de \(\sin z\) es \(z\).
Cuenta los residuos encerrados y conserva el signo
Objetivo de aprendizaje: Decidir qué singularidades contribuyen y cómo la orientación cambia la integral de contorno.
Idea clave
Para un contorno cerrado simple con orientación positiva, \(\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f,a)\), donde la suma se toma sobre las singularidades dentro de \(\Gamma\). Un recorrido horario invierte el signo, y los polos fuera del contorno no contribuyen.
Lo que prueba el contorno
Los polos interiores contribuyen con sus residuos.
Los polos exteriores no contribuyen.
Si el integrando es holomorfo dentro y sobre el contorno, la integral es \(0\).
La orientación horaria cambia \(2\pi i\) a \(-2\pi i\) para un solo residuo \(1\).
Un polo sobre el contorno bloquea el teorema básico de los residuos.
El único polo interior es \(0\), con residuo \(1\). La orientación horaria invierte el resultado positivo, así que la integral es \(-2\pi i\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuánto es \(\displaystyle\oint_{|z|=1}^{\mathrm{clockwise}}\frac{dz}{z}\)?
Pista: El residuo es \(1\), pero la orientación del contorno es horaria.
Algunos residuos se ignoran y otros se cancelan
Objetivo de aprendizaje: Combinar varios hechos sobre residuos en una sola integral de contorno.
Idea clave
Una integral de contorno puede contener varias singularidades, pero solo las singularidades encerradas entran en la suma. Separa sumas simples cuando sea útil, factoriza denominadores para encontrar polos y recuerda que dos residuos encerrados no nulos aun así pueden sumar \(0\).
Lista de verificación del teorema
Separa términos como \(1/z+1/(z-3)\) en comprobaciones de residuos independientes.
Factoriza denominadores como \(z^2+1=(z-i)(z+i)\).
Ignora los polos fuera del contorno.
Suma todos los residuos encerrados antes de multiplicar por \(2\pi i\).
Vigila cancelaciones, residuos cero y singularidades removibles.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Por qué se cumple que \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+1}=0\)?
Ambos polos \(i\) y \(-i\) están dentro. Sus residuos son \(1/(2i)\) y \(-1/(2i)\), que se cancelan. La suma de los residuos encerrados es \(0\), así que la integral es \(0\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuánto es \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\left(\frac1z+\frac1{z-3}\right)\,dz\)?
Pista: El polo en \(0\) está dentro de \(|z|=2\), mientras que el polo en \(3\) está fuera.
La mayoría de los errores vienen de contar los polos equivocados
Objetivo de aprendizaje: Terminar con las comprobaciones que evitan errores comunes con el teorema de los residuos.
Errores comunes
Polos exteriores: no contribuyen a una integral de contorno.
Polos sobre el contorno: el teorema básico de los residuos no se aplica directamente.
Orientación: la orientación horaria da el negativo del resultado usual.
Residuo cero: una función puede tener un polo pero residuo \(0\).
Cancelación: los residuos encerrados pueden sumar \(0\), haciendo que la integral sea \(0\).
Singularidades removibles: simplifica antes de clasificar.
Caso holomorfo: si no hay singularidades dentro ni sobre el contorno, la integral es \(0\).
Tipo de singularidad: un polo simple tiene potencia de Laurent mínima \(-1\), mientras que una singularidad esencial tiene infinitas potencias negativas.
Ambos polos \(i\) y \(-i\) están dentro. Sus residuos son \(1/(2i)\) y \(-1/(2i)\), que se cancelan. La suma de los residuos encerrados es \(0\), así que la integral es \(0\).
Inténtalo
Inténtalo: Si un polo está exactamente sobre el contorno, ¿qué debes decir sobre el teorema básico de los residuos?
Pista: El teorema estándar supone que la función es holomorfa sobre el contorno mismo.
Repaso final
El residuo es el coeficiente de \((z-a)^{-1}\).
Para un polo simple, multiplica por \(z-a\) y toma el límite.
Para \(p/q\) con un cero simple \(q(a)=0\), usa \(p(a)/q'(a)\).
El teorema de los residuos suma solo los residuos dentro del contorno.
La orientación positiva da \(2\pi i\) por la suma de residuos; la orientación negativa cambia el signo.
Un polo de segundo orden puede tener residuo \(0\).
Los desarrollos en serie solo necesitan el coeficiente que se convierte en \(1/(z-a)\).
Si no hay potencias negativas de Laurent, la singularidad es removible; si hay infinitas potencias negativas, es esencial.
Los polos sobre el contorno requieren cuidado adicional más allá del teorema básico.
Los residuos pueden cancelarse, así que una integral con polos encerrados puede seguir siendo \(0\).
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar el cuestionario. En cada problema, identifica las singularidades, conserva solo las encerradas, calcula los coeficientes de \(1/(z-a)\), y luego comprueba la orientación y las hipótesis del teorema.
Serie de práctica
Preguntas de práctica de Residues & Contour Integration con puntuación instantánea
Responde las 10 preguntas de abajo y recibe tu puntuación final con una revisión de errores para saber exactamente qué mejorar.
0/10respondidas
Pregunta 1Sin responder
¿Cuál es el residuo de \(1/(z-a)\) en \(z=a\)?
Respuesta correcta: B. \(1\)
Explicación: El coeficiente de \((z-a)^{-1}\) es \(1\).
Pregunta 2Sin responder
¿Cuál es el residuo de \(2/(z-3)\) en \(z=3\)?
Respuesta correcta: A. \(2\)
Explicación: El coeficiente de \((z-3)^{-1}\) es \(2\).
