अवशेष \(1/(z-a)\) के गुणांक होते हैं

मुख्य विचार

यदि \(f\) की \(a\) पर अलग-थलग विलक्षणता है, तो इसका लॉरां विस्तार \(f(z)=\cdots+c_{-2}(z-a)^{-2}+c_{-1}(z-a)^{-1}+c_0+\cdots\) लिखें। अवशेष \(c_{-1}\) है। सरल ध्रुव के लिए \[\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).\]

उदाहरण

• \(\operatorname{Res}(1/(z-a),a)=1\)।
• \(\operatorname{Res}(2/(z-3),3)=2\)।
• \(\operatorname{Res}(1/(z-a)^2,a)=0\), क्योंकि \((z-a)^{-1}\) पद नहीं है।
• यदि \(f(z)=p(z)/q(z)\), \(q(a)=0\), और \(q'(a)≠0\), तो \(\operatorname{Res}(f,a)=p(a)/q'(a)\)।

सरल ध्रुव की त्वरित विधि

सरल ध्रुव के लिए उपयोगी त्वरित विधि है: ध्रुव पैदा करने वाले गुणनखंड को हटाएं, फिर जो बचे उसे मूल्यांकित करें। \(z=1\) पर \(1/((z-1)(z-2))\) के लिए \(z-1\) हटाएं और \(1/(z-2)\) को \(1\) पर मूल्यांकित करें।

हल किया गया उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

बंद समोच्च समाकल अवशेषों का योग है

मुख्य विचार

मान लें \(\Gamma\) धनात्मक दिशा वाला बंद समोच्च है, और \(f\), \(\Gamma\) पर तथा उसके अंदर, केवल अंदर की सीमित अलग-थलग विलक्षणताओं \(a_1,\dots,a_n\) को छोड़कर, होलोमॉर्फिक है। तब \[\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\operatorname{Res}(f,a_k).\] इस मानक रूप के लिए कोई ध्रुव समोच्च पर नहीं हो सकता।

गणना प्रक्रिया

• समाकल्य की सभी विलक्षणताओं की सूची बनाएं।
• तय करें कि कौन-सी समोच्च के अंदर हैं।
• हर घिरी हुई विलक्षणता पर अवशेष निकालें।
• घिरे हुए अवशेष जोड़ें।
• \(2\pi i\) से गुणा करें; ऋणात्मक दिशा हो तो चिह्न बदलें।

हल किया गया उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

उच्च-कोटि ध्रुवों के लिए गुणांक सावधानी से निकालें

मुख्य विचार

यदि \(f(z)=h(z)/(z-a)^m\) और \(h\), \(a\) पर होलोमॉर्फिक है, तो \[\operatorname{Res}(f,a)=\frac{h^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}.\] \(m=2\) के लिए अवशेष \(h'(a)\) है। समान रूप से, \(h\) को केवल इतना विस्तार करें कि \((z-a)^{m-1}\) का गुणांक मिल जाए।

याद रखने वाले सूत्र

• द्वितीय-कोटि ध्रुव का अवशेष \(0\) हो सकता है।
• \(\operatorname{Res}(h(z)/(z-a)^2,a)=h'(a)\)।
• \(\operatorname{Res}(h(z)/(z-a)^3,a)=h''(a)/2\)।
• अवशेष को सबसे ऊंची ऋणात्मक घात के गुणांक से न मिलाएं।
• यदि अंश में शून्य हो, तो पहले सरल करें; ध्रुव की कोटि घट सकती है या ध्रुव हट सकता है।

हल किया गया उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

अवशेष को जितना चाहिए, केवल उतना विस्तार करें

मुख्य विचार

\(0\) के पास कई अवशेष गुणांक-प्रश्न होते हैं। उदाहरण के लिए, \(\sin z=z-z^3/6+\cdots\), इसलिए \(\sin z/z^2=1/z-z/6+\cdots\)। अवशेष \(1\) है। पूरी लॉरां श्रेणी की जरूरत नहीं; \(1/z\) का गुणांक स्पष्ट होते ही रुकें।

प्रमेय जाँच सूची

• यदि प्रतिस्थापन से विस्तार साफ हो, तो विलक्षणता को \(0\) पर ले आएं।
• \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\) और ज्यामितीय श्रेणी की मानक टेलर श्रेणियां उपयोग करें।
• \((z-a)^m\) से भाग देने के बाद केवल उस पद को देखें जो \((z-a)^{-1}\) बनता है।
• यदि सरलीकरण के बाद ऋणात्मक घातें गायब हो जाएं, तो विलक्षणता हटाने योग्य है।
• यदि अनंत ऋणात्मक घातें बचें, तो विलक्षणता आवश्यक है, पर अवशेष फिर भी \(1/(z-a)\) का गुणांक है।

हल किया गया उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

घिरे हुए अवशेष गिनें और चिह्न संभालें

मुख्य विचार

धनात्मक दिशा वाले सरल बंद समोच्च के लिए \(\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f,a)\), जहां योग \(\Gamma\) के अंदर की विलक्षणताओं पर है। दक्षिणावर्त चलना चिह्न उलट देता है, और समोच्च के बाहर के ध्रुव कुछ योगदान नहीं देते।

समोच्च क्या सिद्ध करता है

• अंदर के ध्रुव अपने अवशेषों का योगदान देते हैं।
• बाहर के ध्रुव योगदान नहीं देते।
• यदि समाकल्य समोच्च पर और अंदर होलोमॉर्फिक है, तो समाकल \(0\) है।
• दक्षिणावर्त दिशा एक अवशेष \(1\) के लिए \(2\pi i\) को \(-2\pi i\) बना देती है।
• समोच्च पर ध्रुव मूल अवशेष प्रमेय को रोक देता है।

हल किया गया उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

कुछ अवशेष छोड़े जाते हैं और कुछ कट जाते हैं

मुख्य विचार

समोच्च समाकल में कई विलक्षणताएं हो सकती हैं, लेकिन योग में केवल घिरी हुई विलक्षणताएं आती हैं। जरूरत पड़ने पर सरल योगों को अलग करें, ध्रुव खोजने के लिए हरों का गुणनखंड करें, और याद रखें कि दो अशून्य घिरे हुए अवशेष भी जोड़कर \(0\) हो सकते हैं।

प्रमेय जाँच सूची

• \(1/z+1/(z-3)\) जैसे पदों को अलग-अलग अवशेष जाँचों में बांटें।
• \(z^2+1=(z-i)(z+i)\) जैसे हरों का गुणनखंड करें।
• समोच्च के बाहर के ध्रुवों को छोड़ दें।
• \(2\pi i\) से गुणा करने से पहले सभी घिरे हुए अवशेष जोड़ें।
• निरस्तीकरण, शून्य अवशेष और हटाने योग्य विलक्षणताओं पर ध्यान दें।

हल किया गया उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

अधिकतर गलतियां गलत ध्रुव गिनने से आती हैं

सामान्य गलतियां

• बाहरी ध्रुव: वे समोच्च समाकल में योगदान नहीं देते।
• समोच्च पर ध्रुव: मूल अवशेष प्रमेय सीधे लागू नहीं होता।
• दिशा: दक्षिणावर्त दिशा सामान्य परिणाम का ऋणात्मक देती है।
• शून्य अवशेष: फलन में ध्रुव हो सकता है पर अवशेष \(0\) हो सकता है।
• निरस्तीकरण: घिरे हुए अवशेष जोड़कर \(0\) हो सकते हैं, जिससे समाकल \(0\) बनता है।
• हटाने योग्य विलक्षणताएं: वर्गीकरण से पहले सरल करें।
• होलोमॉर्फिक स्थिति: समोच्च पर और अंदर कोई विलक्षणता न हो तो समाकल \(0\) है।
• विलक्षणता का प्रकार: सरल ध्रुव की न्यूनतम लॉरां घात \(-1\) होती है, जबकि आवश्यक विलक्षणता में अनंत ऋणात्मक घातें होती हैं।

हल किया गया उदाहरण

स्वयं प्रयास करें

अंतिम सारांश

• अवशेष \((z-a)^{-1}\) का गुणांक है।
• सरल ध्रुव के लिए \(z-a\) से गुणा करें और सीमा लें।
• यदि \(p/q\) में सरल शून्य \(q(a)=0\) हो, तो \(p(a)/q'(a)\) उपयोग करें।
• अवशेष प्रमेय केवल समोच्च के अंदर के अवशेषों को जोड़ता है।
• धनात्मक दिशा अवशेष योग का \(2\pi i\) गुना देती है; ऋणात्मक दिशा चिह्न बदलती है।
• द्वितीय-कोटि ध्रुव का अवशेष \(0\) हो सकता है।
• श्रेणी विस्तार में केवल वह गुणांक चाहिए जो \(1/(z-a)\) बनता है।
• ऋणात्मक लॉरां घातें न हों तो विलक्षणता हटाने योग्य है; अनंत ऋणात्मक घातें हों तो आवश्यक है।
• समोच्च पर ध्रुवों के लिए मूल प्रमेय से आगे अतिरिक्त सावधानी चाहिए।
• अवशेष कट सकते हैं, इसलिए घिरे ध्रुवों वाला समाकल भी \(0\) हो सकता है।