Cuestionario de práctica de espacios vectoriales y subespacios con una lección interactiva paso a paso

Espacios vectoriales, subespacios y la prueba de subespacio

Idea clave

Un espacio vectorial \(V\) sobre un cuerpo (como \(\mathbb{R}\)) es un conjunto con dos operaciones: suma vectorial y multiplicación escalar, que satisfacen los axiomas estándar (asociatividad, conmutatividad de la suma, leyes distributivas, identidad escalar, identidad aditiva \(0\), inversos aditivos y cerradura).

Un subconjunto \(U\subseteq V\) es un subespacio si es un espacio vectorial usando las mismas operaciones. En la práctica, usa la prueba de subespacio.

La prueba de subespacio

• Vector cero: \(0 \in U\).
• Cerrado bajo suma: si \(u,v\in U\), entonces \(u+v\in U\).
• Cerrado bajo multiplicación escalar: si \(u\in U\) y \(c\in \mathbb{R}\), entonces \(cu\in U\).

Ejemplos comunes

• \(\mathbb{R}^n\) y cualquier plano que pasa por el origen en \(\mathbb{R}^3\).
• Espacios de matrices como \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\); los conjuntos definidos por restricciones lineales suelen ser subespacios.
• Espacios de funciones como \(C[0,1]\); los conjuntos definidos por condiciones lineales (por ejemplo, \(f(0)=0\)) son subespacios.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Un subespacio debe contener \(0\) y ser cerrado bajo suma y multiplicación escalar.
• Conjuntos como \(x+y=1\) suelen ser afines (desplazados) y fallan la prueba \(0\in U\).

Combinaciones lineales, span y descripción de subespacios

Idea clave

Una combinación lineal de vectores \(v_1,\dots,v_k\) es cualquier vector de la forma \[ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k \] donde \(c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}\). El span es el conjunto de todas esas combinaciones: \[ \text{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\{c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : c_i\in\mathbb{R}\}. \] Un span siempre es un subespacio.

Los espacios solución son subespacios

El conjunto solución de un sistema homogéneo \(Ax=0\) es el espacio nulo de \(A\), \[ \mathcal{N}(A)=\{x: Ax=0\}, \] y siempre es un subespacio de \(\mathbb{R}^n\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(\text{span}(S)\) siempre es un subespacio: contiene \(0\) y es cerrado bajo combinaciones lineales.
• Los espacios solución homogéneos (espacios nulos) son subespacios y su dimensión es el número de parámetros libres.

Bases, coordenadas relativas a una base y dimensión

Idea clave

Un conjunto \(B=\{b_1,\dots,b_n\}\) es una base de un espacio vectorial \(V\) si: (1) genera \(V\), y (2) es linealmente independiente. Cuando \(B\) es una base, cada \(v\in V\) se puede escribir de forma única como \[ v = c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n. \] Los escalares \((c_1,\dots,c_n)\) son las coordenadas de \(v\) relativas a la base \(B\).

Dimensión

Si \(V\) es finito-dimensional, la dimensión \(\dim V\) es el número de vectores en cualquier base de \(V\). Por ejemplo, \(\dim \mathbb{R}^n = n\), \(\dim P_n = n+1\) y \(\dim M_{m\times n}(\mathbb{R}) = mn\). Si \(V\) tiene una base de tamaño \(5\), entonces \(\dim V = 5\) y \(\dim V^* = 5\) también.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Las bases dan representaciones de coordenadas únicas.
• La dimensión es el número de vectores en una base (y \(\dim V^*=\dim V\) para \(V\) finito-dimensional).

Intersección, suma, unión y geometría común de subespacios en \(\mathbb{R}^n\)

Intersección \(U\cap W\)

Si \(U\) y \(W\) son subespacios de \(V\), entonces \(U\cap W\) siempre es un subespacio de \(V\). Razón: contiene \(0\) y es cerrado bajo suma/multiplicación escalar porque tanto \(U\) como \(W\) lo son.

Suma \(U+W\)

La suma de subespacios es \[ U+W=\{u+w: u\in U,\; w\in W\}. \] Es el subespacio más pequeño que contiene a ambos \(U\) y \(W\).

Unión \(U\cup W\)

En general, la unión de dos subespacios no es un subespacio. Solo es un subespacio en el caso especial en que un subespacio contiene al otro: \[ U\cup W \text{ es un subespacio } \Longleftrightarrow U\subseteq W \text{ o } W\subseteq U. \]

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(U\cap W\) y \(U+W\) siempre son subespacios.
• \(U\cup W\) usualmente no es un subespacio (a menos que uno contenga al otro).

Dimensión en la práctica: restricciones, grados de libertad y dimensión infinita

Idea clave

La dimensión es un conteo de "grados de libertad". Cada restricción lineal independiente normalmente reduce la dimensión en \(1\) (en contextos finito-dimensionales). Por ejemplo, una sola ecuación lineal homogénea en \(\mathbb{R}^3\) define un subespacio 2D (un plano que pasa por el origen).

Dimensión finita vs. infinita

Un espacio vectorial es finito-dimensional si tiene una base finita. Si no existe una base finita, es infinito-dimensional (por ejemplo, \(P\) = todos los polinomios, o \(C[0,1]\)). Si un subespacio \(S\) tiene dimensión infinita, entonces no puede ser generado por una cantidad finita de vectores (todo conjunto generador debe ser infinito).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Las dimensiones cuentan parámetros libres (grados de libertad).
• Infinito-dimensional significa que no existe un conjunto generador finito.

Espacios cociente \(V/W\): vectores módulo un subespacio

Idea clave

Sea \(W\) un subespacio de \(V\). Dos vectores \(v\) y \(u\) se consideran equivalentes módulo \(W\) si \[ v-u \in W. \] La clase de equivalencia de \(v\) es la clase lateral \[ v+W = \{v+w : w\in W\}. \] El espacio cociente \(V/W\) es el conjunto de todas las clases laterales: \[ V/W = \{v+W : v\in V\}. \]

Cómo pensar en \(V/W\)

• "Colapsas" todo el subespacio \(W\) para que actúe como el elemento cero en el cociente.
• Los vectores que difieren por un elemento de \(W\) se vuelven el mismo punto en \(V/W\).
• Esto es útil para enfocarte en direcciones "que no están en \(W\)" y para simplificar estructura.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(V/W\) es el conjunto de clases laterales \(v+W\), es decir, vectores módulo el subespacio \(W\).
• Los cocientes "colapsan" direcciones en \(W\) para que te enfoques en lo que queda.

Por qué importan los espacios vectoriales y subespacios

Dónde aparecen espacios vectoriales y subespacios

• Sistemas lineales: los conjuntos solución de \(Ax=0\) son subespacios (espacios nulos).
• Transformaciones lineales: núcleos e imágenes son subespacios; la dimensión se relaciona con rango y nulidad.
• Geometría: rectas/planos que pasan por el origen son subespacios; sumas e intersecciones coinciden con la intuición geométrica.
• Datos y ML: los subespacios modelan estructura de baja dimensión dentro de datos de alta dimensión (PCA).
• funciones: muchos espacios de funciones son espacios vectoriales; restricciones como \(f(0)=0\) definen subespacios.

Ejemplo resuelto: un conteo limpio de dimensión en matrices

Inténtalo

Repaso final

• Prueba de subespacio: comprueba \(0\in U\), cerradura bajo suma, cerradura bajo multiplicación escalar.
• Span: todas las combinaciones lineales; \(\text{span}(S)\) siempre es un subespacio.
• Base: genera + independiente; da coordenadas únicas.
• Dimensión: número de vectores de una base; cuenta grados de libertad.
• Operaciones: \(U\cap W\) y \(U+W\) son subespacios; \(U\cup W\) usualmente no lo es.
• Cociente: \(V/W\) son clases laterales \(v+W\), es decir, vectores módulo \(W\).