Kuis Latihan Ruang Vektor & Subruang dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah

Ruang vektor, subruang, dan uji subruang

Ide utama

Ruang vektor \(V\) atas suatu lapangan (seperti \(\mathbb{R}\)) adalah himpunan dengan dua operasi: penjumlahan vektor dan perkalian skalar, yang memenuhi aksioma standar (asosiativitas, komutativitas penjumlahan, hukum distributif, identitas skalar, identitas aditif \(0\), invers aditif, dan ketertutupan).

Subset \(U\subseteq V\) adalah subruang jika ia merupakan ruang vektor memakai operasi yang sama. Dalam praktik, gunakan uji subruang.

Uji subruang

• Vektor nol: \(0 \in U\).
• Tertutup terhadap penjumlahan: jika \(u,v\in U\), maka \(u+v\in U\).
• Tertutup terhadap perkalian skalar: jika \(u\in U\) dan \(c\in \mathbb{R}\), maka \(cu\in U\).

Contoh umum

• \(\mathbb{R}^n\) dan setiap bidang melalui titik asal di \(\mathbb{R}^3\).
• Ruang matriks seperti \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\); himpunan yang didefinisikan oleh kendala linear sering merupakan subruang.
• Ruang fungsi seperti \(C[0,1]\); himpunan yang didefinisikan oleh syarat linear (misalnya \(f(0)=0\)) adalah subruang.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Subruang harus memuat \(0\) dan tertutup terhadap penjumlahan serta perkalian skalar.
• Himpunan seperti \(x+y=1\) biasanya afin (tergeser) dan gagal uji \(0\in U\).

Kombinasi linear, rentang, dan mendeskripsikan subruang

Ide utama

Kombinasi linear dari vektor \(v_1,\dots,v_k\) adalah setiap vektor berbentuk \[ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k \] dengan \(c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}\). Rentang adalah himpunan semua kombinasi seperti itu: \[ \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\{c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : c_i\in\mathbb{R}\}. \] Rentang selalu merupakan subruang.

Ruang solusi adalah subruang

Himpunan solusi dari sistem homogen \(Ax=0\) adalah ruang nol dari \(A\), \[ \mathcal{N}(A)=\{x: Ax=0\}, \] dan selalu merupakan subruang dari \(\mathbb{R}^n\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(\operatorname{span}(S)\) selalu merupakan subruang: memuat \(0\) dan tertutup terhadap kombinasi linear.
• Ruang solusi homogen (ruang nol) adalah subruang dan dimensinya sama dengan jumlah parameter bebas.

Basis, koordinat relatif terhadap basis, dan dimensi

Ide utama

Himpunan \(B=\{b_1,\dots,b_n\}\) adalah basis untuk ruang vektor \(V\) jika: (1) ia membentang \(V\), dan (2) ia bebas linear. Jika \(B\) adalah basis, setiap \(v\in V\) dapat ditulis secara unik sebagai \[ v = c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n. \] Skalar \((c_1,\dots,c_n)\) adalah koordinat \(v\) relatif terhadap basis \(B\).

Dimensi

Jika \(V\) berdimensi hingga, dimensi \(\dim V\) adalah jumlah vektor dalam basis apa pun dari \(V\). Contoh, \(\dim \mathbb{R}^n = n\), \(\dim P_n = n+1\), dan \(\dim M_{m\times n}(\mathbb{R}) = mn\). Jika \(V\) memiliki basis berukuran \(5\), maka \(\dim V = 5\) dan \(\dim V^* = 5\) juga.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Basis memberi representasi koordinat yang unik.
• Dimensi sama dengan jumlah vektor dalam basis (dan \(\dim V^*=\dim V\) untuk \(V\) berdimensi hingga).

Irisan, jumlah, gabungan, dan geometri subruang umum di \(\mathbb{R}^n\)

Irisan \(U\cap W\)

Jika \(U\) dan \(W\) adalah subruang dari \(V\), maka \(U\cap W\) selalu merupakan subruang dari \(V\). Alasannya: ia memuat \(0\) dan tertutup terhadap penjumlahan/perkalian skalar karena \(U\) dan \(W\) keduanya demikian.

Jumlah \(U+W\)

Jumlah subruang adalah \[ U+W=\{u+w: u\in U,\; w\in W\}. \] Ini adalah subruang terkecil yang memuat keduanya \(U\) dan \(W\).

Gabungan \(U\cup W\)

Secara umum, gabungan dua subruang bukan subruang. Ia hanya menjadi subruang dalam kasus khusus ketika salah satu subruang memuat yang lain: \[ U\cup W \text{ adalah subruang } \Longleftrightarrow U\subseteq W \text{ atau } W\subseteq U. \]

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(U\cap W\) dan \(U+W\) selalu merupakan subruang.
• \(U\cup W\) biasanya bukan subruang (kecuali salah satu memuat yang lain).

Dimensi dalam praktik: kendala, derajat kebebasan, dan dimensi tak hingga

Ide utama

Dimensi adalah hitungan “derajat kebebasan”. Setiap kendala linear independen biasanya mengurangi dimensi sebesar \(1\) (dalam konteks berdimensi hingga). Contoh, satu persamaan linear homogen di \(\mathbb{R}^3\) mendefinisikan subruang 2D (bidang melalui titik asal).

Dimensi hingga vs tak hingga

Ruang vektor berdimensi hingga jika memiliki basis hingga. Jika tidak ada basis hingga, ruang itu berdimensi tak hingga (misalnya, \(P\) = semua polinom, atau \(C[0,1]\)). Jika subruang \(S\) berdimensi tak hingga, maka ia tidak dapat dibentang oleh sejumlah vektor hingga (setiap himpunan pembentang harus tak hingga).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Dimensi menghitung parameter bebas (derajat kebebasan).
• Berdimensi tak hingga berarti tidak ada himpunan pembentang hingga.

Ruang hasil bagi \(V/W\): vektor modulo subruang

Ide utama

Misalkan \(W\) subruang dari \(V\). Dua vektor \(v\) dan \(u\) dianggap ekuivalen modulo \(W\) jika \[ v-u \in W. \] Kelas ekuivalensi dari \(v\) adalah koset \[ v+W = \{v+w : w\in W\}. \] Ruang hasil bagi \(V/W\) adalah himpunan semua koset: \[ V/W = \{v+W : v\in V\}. \]

Cara memikirkan \(V/W\)

• Anda “meruntuhkan” seluruh subruang \(W\) agar bertindak seperti elemen nol dalam hasil bagi.
• Vektor yang berbeda oleh elemen \(W\) menjadi titik yang sama dalam \(V/W\).
• Ini berguna untuk fokus pada arah yang “tidak berada dalam \(W\)” dan menyederhanakan struktur.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(V/W\) adalah himpunan koset \(v+W\), yaitu vektor modulo subruang \(W\).
• Hasil bagi “meruntuhkan” arah dalam \(W\) sehingga Anda fokus pada yang tersisa.

Mengapa ruang vektor dan subruang penting

Di mana ruang vektor dan subruang muncul

• Sistem linear: himpunan solusi \(Ax=0\) adalah subruang (ruang nol).
• Transformasi linear: kernel dan citra adalah subruang; dimensi berkaitan dengan peringkat dan nulitas.
• Geometri: garis/bidang melalui titik asal adalah subruang; jumlah dan irisan sesuai intuisi geometri.
• Data dan pembelajaran mesin: subruang memodelkan struktur berdimensi rendah dalam data berdimensi tinggi (PCA).
• Fungsi: banyak ruang fungsi adalah ruang vektor; kendala seperti \(f(0)=0\) mendefinisikan subruang.

Contoh dikerjakan: hitungan dimensi rapi dalam matriks

Coba

Rekap akhir

• Uji subruang: cek \(0\in U\), tertutup terhadap penjumlahan, tertutup terhadap perkalian skalar.
• Rentang: semua kombinasi linear; \(\operatorname{span}(S)\) selalu merupakan subruang.
• Basis: membentang + independen; memberi koordinat unik.
• Dimensi: jumlah vektor basis; menghitung derajat kebebasan.
• Operasi: \(U\cap W\) dan \(U+W\) adalah subruang; \(U\cup W\) biasanya bukan.
• Hasil bagi: \(V/W\) adalah koset \(v+W\), yaitu vektor modulo \(W\).