Quiz d’entraînement sur les déterminants avec leçon interactive étape par étape
Utilisez le quiz en haut de la page pour vous entraîner aux déterminants et aux propriétés des déterminants les plus importantes en algèbre linéaire : la notation \(\det(A)\) et ce qu’elle mesure (facteur orienté d’aire/de volume), la formule indispensable du déterminant \(2\times 2\) \(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\), les déterminants \(3\times 3\) avec le développement par cofacteurs (Laplace) et le choix d’une ligne ou colonne avec des zéros, les méthodes rapides par réduction de lignes / élimination de Gauss en suivant les opérations sur les lignes (échanger deux lignes inverse le signe, multiplier une ligne par un scalaire multiplie le déterminant, ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant), les déterminants rapides des matrices diagonales et triangulaires (produit des coefficients diagonaux), les règles algébriques comme \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\det(A^T)=\det(A)\) et \(\det(kA)=k^n\det(A)\), ainsi que le lien entre déterminant et inversibilité (une matrice est inversible si et seulement si \det(A)≠ 0), y compris les déterminants des matrices de permutation (\(\pm 1\)) et le signe (permutations paires/impaires). Pour réviser, cliquez sur Commencer la leçon afin d’ouvrir un guide pas à pas avec exemples détaillés et vérifications rapides.
Fonctionnement de cet entraînement sur les déterminants
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur les déterminants en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon (facultatif) : revoyez comment calculer des déterminants avec les formules, les cofacteurs et les opérations sur les lignes.
3. Réessayez : retournez au quiz et appliquez immédiatement les règles des déterminants pour gagner en rapidité et en précision.
Ce que vous apprendrez dans la leçon sur les déterminants
Déterminants \(2\times 2\) et interprétation rapide
Calculer rapidement et précisément \(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\)
Comprendre que \(\det(A)=0\) correspond à une matrice singulière et à une non-inversibilité
Relier \(|\det(A)|\) au facteur d’aire en 2D
Déterminants \(3\times 3\) avec cofacteurs
Utiliser le développement par cofacteurs (Laplace) et le motif de signes \((+,-,+)\)
Choisir une ligne ou une colonne avec des zéros pour simplifier les calculs
Repérer rapidement les déterminants nuls (lignes ou colonnes répétées/proportionnelles)
Opérations sur les lignes et propriétés du déterminant
Échanger deux lignes \(\Rightarrow\) le déterminant change de signe
Multiplier une ligne par \(k\) \(\Rightarrow\) le déterminant est multiplié par \(k\)
Ajouter un multiple d’une ligne à une autre \(\Rightarrow\) le déterminant ne change pas
Matrices particulières, produits et inversibilité
Matrices diagonales/triangulaires : le déterminant est le produit des coefficients diagonaux
Règle du produit : \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)
Test d’inversibilité : \det(A)≠ 0 et \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\)
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Quand vous êtes prêt, retournez au quiz en haut de la page et continuez à vous entraîner sur les déterminants.
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Déterminants de matrices
Guide pas à pas
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Leçon sur les déterminants
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Vue d’ensemble
Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : construire une compréhension claire des déterminants afin de calculer le déterminant d’une matrice \(\det(A)\) pour des matrices carrées \(2\times 2\), \(3\times 3\) et de taille supérieure. Vous apprendrez la formule \(2\times 2\) \(ad-bc\), le développement par cofacteurs (Laplace) pour les matrices \(3\times 3\) lorsque c’est efficace, et les opérations sur les lignes / la réduction de lignes pour simplifier une matrice en forme triangulaire en suivant l’effet de chaque opération sur le déterminant. Vous appliquerez aussi des règles clés comme \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) et \(\det(kA)=k^n\det(A)\), relierez les déterminants à l’inversibilité (matrices singulières ou inversibles) et reconnaîtrez des cas rapides (matrices diagonales/triangulaires, matrices de permutation).
Critères de réussite
Calculer \(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) pour les matrices \(2\times 2\).
Calculer des déterminants \(3\times 3\) avec le développement par cofacteurs et des choix efficaces (lignes/colonnes avec des zéros).
Utiliser correctement les opérations sur les lignes : échanger deux lignes \(\Rightarrow\) changement de signe ; multiplier une ligne par un scalaire \(\Rightarrow\) le déterminant est multiplié par ce scalaire ; ajouter à une ligne un multiple d’une autre \(\Rightarrow\) déterminant inchangé.
Calculer les déterminants de matrices triangulaires et diagonales comme le produit des coefficients diagonaux.
Appliquer les règles du déterminant : \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\det(A^T)=\det(A)\) et \(\det(kA)=k^n\det(A)\).
Utiliser \det(A)≠ 0 comme test d’inversibilité et comprendre que \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\) lorsque \(A\) est inversible.
Reconnaître les signaux rapides d’un « déterminant nul » (lignes ou colonnes répétées/proportionnelles, ou ligne/colonne nulle).
Vocabulaire essentiel
Déterminant : scalaire \(\det(A)\) associé à une matrice carrée \(A\) ; il encode le facteur d’échelle et l’orientation de la transformation linéaire.
Singulière / inversible : \(A\) est inversible si et seulement si \det(A)≠ 0 ; si \(\det(A)=0\), \(A\) est singulière.
Mineur : déterminant de la matrice plus petite obtenue en supprimant une ligne et une colonne.
Cofacteur : \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\), où \(M_{ij}\) est le déterminant mineur.
Développement de Laplace (par cofacteurs) : méthode de calcul de \(\det(A)\) en développant selon une ligne ou une colonne choisie.
Matrice de permutation : matrice qui permute la base canonique ; son déterminant vaut \(\pm 1\) (signe de la permutation).
Vérification rapide
Vérification 1 : quel est le déterminant de \(\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 7 & 1\end{pmatrix}\) ?
Vérification 2 : que devient le déterminant quand on échange deux lignes d’une matrice ?
Indice : un seul échange de lignes change le signe de \(\det(A)\).
Déterminants 2×2
Bases du déterminant : la formule \(2\times 2\) et son sens
Objectif d’apprentissage : calculer rapidement des déterminants \(2\times 2\) et reconnaître ce que signifie \(\det(A)=0\).
Idée clé
Pour une matrice \(2\times 2\) \[ A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, \] le déterminant est \[ \det(A)=ad-bc. \] Ce nombre indique si la transformation est inversible (elle l’est si et seulement si \det(A)≠ 0) et, en 2D, il représente le facteur d’aire orientée. Un déterminant négatif signifie que l’orientation est renversée (un « retournement »).
Exemple guidé
Exemple : trouver \(\det\!\begin{pmatrix}0 & 4\\9 & 0\end{pmatrix}\).
Utilisez \(ad-bc\) avec \(a=0\), \(b=4\), \(c=9\), \(d=0\) : \[ \det(A)=0\cdot 0 - 4\cdot 9 = -36. \] La valeur absolue \(|-36|=36\) est le facteur d’aire ; le signe négatif indique un renversement d’orientation.
À vous
À vous 1 : quel est le déterminant de \(\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) ?
Indice : calculez \(2\cdot 2-4\cdot 1\).
À vous 2 : quel est le déterminant de \(\begin{pmatrix}0 & 4 \\ 9 & 0\end{pmatrix}\) ?
Indice : utilisez \(ad-bc\). Les zéros rendent le calcul rapide.
\(\det(A)=0\) signifie que \(A\) est singulière (non inversible).
Déterminants 3×3
Déterminants \(3\times 3\) : développement par cofacteurs et choix efficaces
Objectif d’apprentissage : calculer des déterminants \(3\times 3\) correctement et efficacement avec les cofacteurs.
Idée clé
Pour une matrice \(3\times 3\), une méthode fiable est le développement par cofacteurs (Laplace). Le motif de signes est : \[ \begin{pmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{pmatrix}. \] Développer selon une ligne ou une colonne contenant des zéros réduit beaucoup le travail, car tout terme multiplié par une entrée \(0\) disparaît.
Développez selon la troisième colonne. Les deux premières entrées de cette colonne valent \(0\), donc seule l’entrée \((3,3)\) contribue : \[ \det(A)=1\cdot \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}. \] Calculez ensuite le déterminant \(2\times 2\) : \[ \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2. \] Donc \(\det(A)=-2\).
À vous
À vous 1 : quel est le déterminant de \(\begin{pmatrix}2 & 3 & 5\\1 & 0 & 4\\0 & 1 & 2\end{pmatrix}\) ?
Indice : développez selon la première ligne : \(2\det\!\begin{pmatrix}0&4\\1&2\end{pmatrix}-3\det\!\begin{pmatrix}1&4\\0&2\end{pmatrix}+5\det\!\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).
À vous 2 : quel est le déterminant de \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\) ?
Indice : si deux lignes (ou deux colonnes) sont identiques, le déterminant vaut \(0\).
Résumé
Utilisez le développement par cofacteurs et choisissez une ligne/colonne avec des zéros quand c’est possible.
Des lignes/colonnes répétées ou proportionnelles \(\Rightarrow \det(A)=0\).
Opérations sur les lignes
Opérations sur les lignes et propriétés du déterminant
Objectif d’apprentissage : utiliser les opérations sur les lignes pour simplifier une matrice tout en suivant l’évolution de \(\det(A)\).
Idée clé
Ces trois opérations sur les lignes ont des effets prévisibles sur les déterminants :
Échanger deux lignes : multiplie le déterminant par \(-1\).
Multiplier une ligne par \(k\) : multiplie le déterminant par \(k\).
Ajouter \(k\) fois une ligne à une autre : ne change pas le déterminant.
Cela permet d’utiliser l’élimination pour créer des zéros, puis de calculer le déterminant d’une matrice triangulaire comme produit des coefficients diagonaux.
Exemple guidé
Exemple : calculer \(\det\!\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\0 & 3 & 4\\2 & 1 & 0\end{pmatrix}\) avec une opération sur les lignes.
Utilisez \(R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1\). Cette opération ne change pas le déterminant : \[ \begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\0 & 3 & 4\\2 & 1 & 0\end{pmatrix} \;\to\; \begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\0 & 3 & 4\\0 & -3 & -2\end{pmatrix}. \] Développez maintenant selon la première colonne (deux zéros sous le premier coefficient) : \[ \det(A)=1\cdot \det\!\begin{pmatrix}3 & 4\\-3 & -2\end{pmatrix} =1\cdot(3(-2)-4(-3))=-6+12=6. \]
À vous
À vous 1 : si chaque ligne d’une matrice \(3 \times 3\) est multipliée par \(2\), par quel facteur son déterminant est-il multiplié ?
Indice : multiplier une ligne par \(2\) multiplie \(\det\) par \(2\). Trois lignes \(\Rightarrow 2^3\).
À vous 2 : quelle opération sur les lignes multiplie le déterminant d’une matrice par \(-1\) ?
Indice : un échange renverse l’orientation, donc il change le signe du déterminant.
Résumé
Suivez les échanges de lignes et les multiplications de lignes ; utilisez librement les additions de lignes (elles ne changent pas \(\det\)).
Matrice triangulaire \(\Rightarrow\) le déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
Matrices particulières
Matrices diagonales, triangulaires et de permutation
Objectif d’apprentissage : reconnaître les modèles rapides de déterminants pour les matrices particulières.
Matrice triangulaire : pour les matrices triangulaires supérieures/inférieures, \(\det\) est le produit des coefficients diagonaux.
Matrice de permutation : \(\det(P)=+1\) pour une permutation paire et \(\det(P)=-1\) pour une permutation impaire.
Exemple guidé
Exemple : quel est le déterminant de \(\begin{pmatrix}5 & 0 & 0\\0 & -2 & 0\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}\) ?
Cette matrice est diagonale, donc multipliez les coefficients diagonaux : \[ \det(A)=5\cdot(-2)\cdot 3=-30. \]
À vous
À vous 1 : quel est le déterminant de \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\) ?
Indice : elle est triangulaire supérieure, donc multipliez les coefficients diagonaux.
À vous 2 : quel est le déterminant de la matrice de permutation cyclique \(4\times 4\) associée à \((1\to 2\to 3\to 4\to 1)\) ?
Indice : un 4-cycle est une permutation impaire (il peut s’écrire comme 3 échanges de lignes), donc le déterminant vaut \(-1\).
Résumé
Matrices diagonales/triangulaires : le déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
Matrices de permutation : le déterminant vaut \(\pm 1\) selon la parité (permutation paire/impaire).
Règles du déterminant
Algèbre des déterminants : \(\det(AB)\), \(\det(kA)\) et \(\det(A^{-1})\)
Objectif d’apprentissage : utiliser les principales règles du déterminant pour simplifier les problèmes sans tout recalculer.
Idée clé
Règle du produit : \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\).
Multiplication par un scalaire : si \(A\) est de taille \(n\times n\), alors \(\det(kA)=k^n\det(A)\).
Inverse : si \(A\) est inversible, alors \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\).
Transposée : \(\det(A^T)=\det(A)\).
Exemple guidé
Exemple : si \(\det(A)=-2\) pour une matrice \(2\times 2\) \(A\), que vaut \(\det(2A)\) ?
Ici \(n=2\), donc \[ \det(2A)=2^2\det(A)=4(-2)=-8. \]
À vous
À vous 1 : si les matrices \(A\) et \(B\) sont toutes deux \(3 \times 3\), quel est le déterminant de \(AB\) ?
Indice : les déterminants transforment la multiplication de matrices en multiplication de nombres.
À vous 2 : si vous échangez à la fois les lignes et les colonnes d’une matrice \(2 \times 2\), que devient son déterminant ?
Indice : échanger les lignes change le signe, et échanger les colonnes change encore le signe. Deux changements de signe s’annulent.
Résumé
\(\det(AB)=\det(A)\det(B)\).
\(\det(kA)=k^n\det(A)\) pour les matrices \(n\times n\).
Déterminants nuls
Quand a-t-on \(\det(A)=0\) ? Vérifications rapides pour les matrices singulières
Objectif d’apprentissage : repérer rapidement un déterminant nul grâce à la structure et aux relations entre lignes/colonnes.
Idée clé
Si deux lignes (ou colonnes) sont égales, alors \(\det(A)=0\).
Si une ligne (ou colonne) est un multiple d’une autre, alors \(\det(A)=0\).
Si une ligne ou une colonne ne contient que des zéros, alors \(\det(A)=0\).
\(\det(A)=0\) signifie que les lignes/colonnes sont linéairement dépendantes, donc \(A\) n’est pas inversible.
Exemple guidé
Exemple : que vaut \(\det\!\begin{pmatrix}2 & 4\\3 & 6\end{pmatrix}\) ?
La deuxième ligne \((3,6)\) vaut \(\tfrac{3}{2}\) fois la première ligne \((2,4)\), donc les lignes sont dépendantes. Cela garantit que \(\det(A)=0\). On peut aussi le vérifier avec \(ad-bc\) : \[ \det(A)=2\cdot 6 - 4\cdot 3 = 12-12=0. \]
À vous
À vous 1 : quel est le déterminant de \(\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 3 & 6\end{pmatrix}\) ?
Indice : les lignes sont proportionnelles, donc le déterminant doit valoir \(0\).
À vous 2 : que devient le déterminant d’une matrice \(2 \times 2\) si les deux lignes sont multipliées par \(2\) ?
Indice : chaque multiplication d’une ligne par \(2\) multiplie le déterminant par \(2\). Deux lignes \(\Rightarrow 2^2=4\).
\(3\times 3\) : utilisez le développement par cofacteurs ; choisissez des lignes/colonnes avec des zéros quand c’est possible.
Opérations sur les lignes : échange \(\Rightarrow\) changement de signe ; multiplication d’une ligne \(\Rightarrow\) multiplication de \(\det\) ; addition de ligne \(\Rightarrow\) aucun changement.
Triangulaire/diagonale : le déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
Étape suivante : fermez cette leçon et refaites le quiz. Si vous manquez une question, rouvrez le livre et relisez la page qui correspond à la compétence sur les déterminants à travailler.
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