सारणिक अभ्यास प्रश्नोत्तरी, चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ
पृष्ठ के ऊपर दिए गए प्रश्नोत्तरी से रैखिक Algebra के लिए ज़रूरी सारणिकों और सबसे महत्वपूर्ण सारणिक गुणों का अभ्यास करें: सारिणिक संकेतन \(\det(A)\) और यह क्या मापता है (signed क्षेत्रफल/आयतन स्केलिंग), ज़रूरी \(2\times 2\) सारिणिक सूत्र \(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\), \(3\times 3\) सारिणिक जिन्हें cकाactor (Laplace) विस्तार से निकाला जाता है और शून्य वाली पंक्ति/स्तंभ चुनी जाती है, पंक्ति reduction / Gaussian उन्मूलन से तेज़ विधियाँ, साथ में पंक्ति संक्रियाएँ ट्रैक करना (पंक्तियाँ बदलें करने से चिह्न बदलता है, पंक्ति पैमाना करने से सारिणिक पैमाना होता है, एक पंक्ति के गुणज को दूसरी में जोड़ने से सारिणिक नहीं बदलता), विकर्ण और त्रिभुजीय आव्यूह के तेज़ सारिणिक (विकर्ण प्रविष्टियाँ का गुणनफल), \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\det(A^T)=\det(A)\), और \(\det(kA)=k^n\det(A)\) जैसे मुख्य बीजगणित नियम, तथा सारिणिक और व्युत्क्रमणीयता का संबंध (मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय iff \det(A)≠ 0), जिसमें क्रमचय मैट्रिक्स सारिणिक (\(\pm 1\)) और चिह्न (सम/विषम क्रमचयs) शामिल हैं। यदि आपको पुनरावृत्ति चाहिए, तो हल उदाहरणों और तेज़ जाँचेंs वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए शुरू करें पाठ पर क्लिक करें।
यह सारणिक अभ्यास कैसे काम करता है
1. प्रश्नोत्तरी लें: पृष्ठ के ऊपर दिए गए सारिणिक प्रश्नों का उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): सूत्र, coगुणनखंड और पंक्ति संक्रियाएँ से सारिणिक निकालना दोहराएँ।
3. दोबारा प्रयास करें: प्रश्नोत्तरी पर लौटें और गति तथा शुद्धता बढ़ाने के लिए सारिणिक नियम तुरंत लागू करें।
सारणिक पाठ में आप क्या सीखेंगे
\(2\times 2\) सारिणिक और तेज़ व्याख्या
\(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) को तेज़ और सटीक निकालें
\(\det(A)=0\) को singular मैट्रिक्स और non-व्युत्क्रमणीयता के रूप में समझें
\(|\det(A)|\) को 2D में क्षेत्रफल स्केलिंग से जोड़ें
\(3\times 3\) सारिणिक coगुणनखंड के साथ
cकाactor (Laplace) विस्तार और चिह्न पैटर्न \((+,-,+)\) उपयोग करें
गणना सरल करने के लिए शून्य वाली पंक्ति/स्तंभ चुनें
शून्य सारिणिक जल्दी पहचानें (दोहराया हुआ/समानुपाती पंक्तियाँ या स्तंभ)
पंक्ति संक्रियाएँ और सारिणिक गुण
पंक्तियाँ बदलें करें \(\Rightarrow\) सारिणिक का चिह्न बदलता है
पंक्ति को \(k\) से पैमाना करें \(\Rightarrow\) सारिणिक \(k\) से पैमाना होता है
एक पंक्ति का गुणज दूसरी पंक्ति में जोड़ें \(\Rightarrow\) सारिणिक नहीं बदलता
विशेष आव्यूह, गुणनफल और व्युत्क्रमणीयता
विकर्ण/त्रिभुजीय आव्यूह: सारिणिक विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल है
गुणनफल नियम: \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)
व्युत्क्रमणीयता परीक्षण: \det(A)≠ 0 और \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\)
प्रश्नोत्तरी पर वापस
जब आप तैयार हों, पृष्ठ के ऊपर दिए गए प्रश्नोत्तरी पर लौटें और सारणिकों का अभ्यास जारी रखें।
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आव्यूह सारणिक
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सारणिक पाठ
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पाठ अवलोकन
पाठ अवलोकन
उद्देश्य:सारणिकों की स्पष्ट समझ बनाना ताकि आप \(2\times 2\), \(3\times 3\), और बड़े वर्ग आव्यूह के लिए मैट्रिक्स का सारिणिक \(\det(A)\) निकाल सकें। आप \(2\times 2\) सूत्र \(ad-bc\) सीखेंगे, \(3\times 3\) के लिए cकाactor (Laplace) विस्तार उपयोग करेंगे जब वह efficient हो, और पंक्ति संक्रियाएँ / पंक्ति reduction से मैट्रिक्स को त्रिभुजीय रूप में सरल करेंगे, साथ ही हर संक्रिया सारिणिक को कैसे बदलता है, यह देखेंगे। आप \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) और \(\det(kA)=k^n\det(A)\) जैसे मुख्य नियम भी लागू करेंगे, सारिणिक को व्युत्क्रमणीयता (singular बनाम. व्युत्क्रमणीय आव्यूह) से जोड़ेंगे, और fast पैटर्न पहचानेंगे (विकर्ण/त्रिभुजीय आव्यूह, क्रमचय आव्यूह)।
सफलता मानदंड
\(2\times 2\) आव्यूह के लिए \(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) निकालें।
cकाactor विस्तार और smart choices (शून्य वाली पंक्तियाँ/स्तंभ) से \(3\times 3\) सारिणिक निकालें।
पंक्ति संक्रियाएँ सही उपयोग करें: पंक्तियाँ बदलें \(\Rightarrow\) चिह्न परिवर्तन; पंक्ति पैमाना \(\Rightarrow\) सारिणिक पैमाना; एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ना \(\Rightarrow\) सारिणिक unchanged।
त्रिभुजीय और विकर्ण आव्यूह के सारिणिक को विकर्ण प्रविष्टियाँ के गुणनफल के रूप में निकालें।
सारिणिक नियम लागू करें: \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\det(A^T)=\det(A)\), और \(\det(kA)=k^n\det(A)\)।
\det(A)≠ 0 को व्युत्क्रमणीयता परीक्षण के रूप में उपयोग करें और समझें कि \(A\) व्युत्क्रमणीय होने पर \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\)।
तेज़ "शून्य सारिणिक" संकेत पहचानें (दोहराया हुआ/समानुपाती पंक्तियाँ या स्तंभ, या शून्य पंक्ति/स्तंभ)।
मुख्य शब्दावली
सारिणिक: वर्ग मैट्रिक्स \(A\) से जुड़ा अदिश \(\det(A)\); यह रैखिक transformation की स्केलिंग और orientation बताता है।
Singular / व्युत्क्रमणीय: \(A\) व्युत्क्रमणीय iff \det(A)≠ 0; यदि \(\det(A)=0\), तो \(A\) singular है।
Minor: पंक्ति और स्तंभ हटाकर मिली छोटी मैट्रिक्स का सारिणिक।
Cकाactor: \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\), जहाँ \(M_{ij}\) minor सारिणिक है।
Laplace (cकाactor) विस्तार: चुनी हुई पंक्ति या स्तंभ के along विस्तार करें करके \(\det(A)\) निकालने की विधि।
Permutation मैट्रिक्स: ऐसी मैट्रिक्स जो मानक आधार को permute करती है; उसका सारिणिक \(\pm 1\) है (क्रमचय का चिह्न)।
संकेत: \(\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\) के लिए, \(\det = ad-bc\)।
पूर्व-जांच 2: जब मैट्रिक्स की दो पंक्तियाँ बदलें की जाती हैं, तो सारिणिक के साथ क्या होता है?
संकेत: एक पंक्ति बदलें \(\det(A)\) का चिह्न उलट देती है।
2x2 सारणिक
सारिणिक मूल बातें: \(2\times 2\) सूत्र और उसका अर्थ
सीखने का लक्ष्य: \(2\times 2\) सारिणिक जल्दी निकालना और \(\det(A)=0\) का अर्थ पहचानना।
मुख्य विचार
\(2\times 2\) मैट्रिक्स \[ A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, \] के लिए सारिणिक है \[ \det(A)=ad-bc. \] यह संख्या बताती है कि transformation व्युत्क्रमणीय है या नहीं (यह व्युत्क्रमणीय iff \det(A)≠ 0), और 2D में यह signed क्षेत्रफल स्केलिंग गुणनखंड दर्शाती है। ऋणात्मक सारिणिक का अर्थ orientation reverse होना है (एक "flip")।
\(\det(A)=0\) का अर्थ है कि \(A\) singular है (व्युत्क्रमणीय नहीं)।
3x3 सारणिक
\(3\times 3\) सारिणिक: cकाactor विस्तार और smart choices
सीखने का लक्ष्य: coगुणनखंड से \(3\times 3\) सारिणिक को सटीक और कुशलता से निकालना।
मुख्य विचार
\(3\times 3\) मैट्रिक्स के लिए भरोसेमंद तरीका cकाactor (Laplace) विस्तार है। चिह्न पैटर्न है: \[ \begin{pmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{pmatrix}. \] शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ के along विस्तार करें करने से काम बहुत घट जाता है, क्योंकि \(0\) enकोशिश वाला कोई भी पद गायब हो जाता है।
तीसरे स्तंभ के along विस्तार करें करें। उस स्तंभ की पहली दो प्रविष्टियाँ \(0\) हैं, इसलिए केवल \((3,3)\) enकोशिश योगदान देती है: \[ \det(A)=1\cdot \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}. \] अब \(2\times 2\) सारिणिक निकालें: \[ \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2. \] इसलिए \(\det(A)=-2\)।
संकेत: पहली पंक्ति के along विस्तार करें करें: \(2\det\!\begin{pmatrix}0&4\\1&2\end{pmatrix}-3\det\!\begin{pmatrix}1&4\\0&2\end{pmatrix}+5\det\!\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)।
दूसरी पंक्ति \((3,6)\), पहली पंक्ति \((2,4)\) की \(\tfrac{3}{2}\) गुना है, इसलिए पंक्तियाँ आश्रित हैं। इससे \(\det(A)=0\) निश्चित है। आप \(ad-bc\) से भी जाँच सकते हैं: \[ \det(A)=2\cdot 6 - 4\cdot 3 = 12-12=0. \]
क्षेत्रफल और आयतन: \(|\det(A)|\), क्षेत्रफल/आयतन स्केलिंग गुणनखंड है।
प्रणालीs हल करना: सारिणिक Cramer नियम और प्रतिलोम वाले सूत्र में आते हैं।
Eigenvalues: वर्ग आव्यूह के लिए सारिणिक eigenvalues के गुणनफल के बराबर होता है (multiplicity सहित)।
हल किया हुआ उदाहरण: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
उदाहरण: सदिश \(\vec{u}=(2,1)\) और \(\vec{v}=(3,4)\) से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालें।
सदिशों को मैट्रिक्स के स्तंभ के रूप में रखें: \[ A=\begin{pmatrix}2 & 3\\1 & 4\end{pmatrix}. \] क्षेत्रफल \(|\det(A)|\) है: \[ |\det(A)|=\left|2\cdot 4 - 3\cdot 1\right|=\left|8-3\right|=5. \] इसलिए क्षेत्रफल \(5\) है।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना प्रश्नोत्तरी फिर से आज़माएँ। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक दोबारा खोलें और जिस सारिणिक कौशल की ज़रूरत हो, वह पृष्ठ दोहराएँ।
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