Une base propre rend la matrice diagonale

Idée clé

Supposons que \(v_1,\dots,v_n\) soit une base et que \(Av_i=\lambda_i v_i\). Placez ces vecteurs dans les colonnes de \(P\), et placez les valeurs propres correspondantes sur la diagonale de \(D\) : \[P=\begin{pmatrix}|& &|\\ v_1&\cdots&v_n\\ |& &|\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).\] Alors \(AP=PD\), donc \(A=PDP^{-1}\). La formule n’a rien de magique : elle dit que, dans la base propre, \(A\) ne fait que multiplier les coordonnées.

Liste de reconnaissance

• Trouvez les valeurs propres et les espaces propres.
• Choisissez assez de vecteurs propres indépendants pour former une base.
• Placez les vecteurs propres comme colonnes de \(P\).
• Placez les valeurs propres correspondantes dans le même ordre sur \(D\).
• Vérifiez \(AP=PD\) avant de calculer \(P^{-1}\).

Exemple corrigé

À vous

Diagonalisable signifie assez de vecteurs propres indépendants

Idée clé

Pour une matrice \(n\times n\), la diagonalisation nécessite \(n\) vecteurs propres linéairement indépendants. Les valeurs propres distinctes sont utiles, car les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont automatiquement linéairement indépendants. Ainsi, \(n\) valeurs propres distinctes en dimension \(n\) garantissent la diagonalisabilité. Les valeurs propres répétées ne posent pas automatiquement problème, mais elles exigent de vérifier les dimensions des espaces propres.

Liste de reconnaissance

• Si la matrice possède \(n\) valeurs propres distinctes sur le corps utilisé, elle est diagonalisable.
• Si des valeurs propres se répètent, calculez chaque espace propre \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\).
• Additionnez les dimensions des espaces propres.
• La matrice est diagonalisable exactement lorsque cette somme vaut \(n\).

Exemple corrigé

À vous

La multiplicité ne suffit pas

Idée clé

Une valeur propre répétée peut quand même être diagonalisable, mais seulement si son espace propre est assez grand. Pour chaque valeur propre \(\lambda\), \[\dim E_\lambda\le \text{multiplicité algébrique de }\lambda.\] La diagonalisation exige l’égalité pour chaque valeur propre, donc les multiplicités géométriques s’additionnent en \(n\). Un bloc de Jordan non trivial échoue parce qu’il n’a qu’une seule direction propre pour une valeur propre répétée.

Pièges courants

• Une racine répétée du polynôme caractéristique ne signifie pas automatiquement que la matrice n’est pas diagonalisable.
• Une matrice triangulaire n’est pas automatiquement diagonalisable.
• Une matrice avec une seule valeur propre ne peut être diagonalisable que si elle est déjà une matrice scalaire sur tout l’espace.
• Un bloc de Jordan non trivial a trop peu de vecteurs propres.

Exemple corrigé

À vous

Associer chaque vecteur propre à sa valeur propre

Idée clé

Après avoir trouvé une base propre, la diagonalisation est surtout une affaire de bonne organisation. Si les colonnes de \(P\) sont \(v_1,\dots,v_n\), alors les entrées diagonales de \(D\) doivent être \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\), où \(Av_i=\lambda_i v_i\). Changer l’ordre des colonnes est permis, mais \(D\) doit changer dans le même ordre.

Liste de reconnaissance

• Choisissez des vecteurs propres indépendants jusqu’à obtenir une base.
• Écrivez-les comme colonnes de \(P\).
• Écrivez les valeurs propres correspondantes sur la diagonale de \(D\).
• Vérifiez \(AP=PD\), ce qui est souvent plus rapide que de multiplier \(PDP^{-1}\).
• Ne calculez \(P^{-1}\) que lorsqu’un calcul ultérieur en a vraiment besoin.

Exemple corrigé

À vous

La diagonalisation transforme les puissances en puissances entrée par entrée

Idée clé

Si \(A=PDP^{-1}\), alors les facteurs du milieu s’annulent dans les multiplications répétées : \[A^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}.\] Pour \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\), \[D^n=\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_n^n).\] La même idée fonctionne pour beaucoup de polynômes en \(A\) : on applique le polynôme à chaque entrée diagonale.

Exemple corrigé

À vous

Résumé

• \(A^n=PD^nP^{-1}\), et non \(P^nD^nP^{-n}\).
• Les puissances diagonales se calculent entrée par entrée.
• Si aucune valeur propre n’est \(0\), alors \(A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}\).
• Par exemple, \(\operatorname{diag}(1,2)^{-1}=\operatorname{diag}(1,1/2)\).

Utiliser les entrées diagonales pour lire la structure

Idée clé

Lorsque \(A=PDP^{-1}\), beaucoup de faits structurels se réduisent aux entrées diagonales. \(A\) est inversible exactement lorsque chaque valeur propre est non nulle. La trace est la somme des valeurs propres, le déterminant est leur produit et le rang est le nombre d’entrées diagonales non nulles dans \(D\). Si \(A\) vérifie une équation polynomiale comme \(A^2=A\), alors chaque valeur propre vérifie la même équation scalaire \(\lambda^2=\lambda\).

Exemple corrigé

À vous

La décomposition et les racines répétées comptent

Idée clé

La diagonalisation dépend du corps. Sur \(\mathbb{R}\), une matrice avec des valeurs propres non réelles ne peut pas avoir de base propre réelle. Sur \(\mathbb{C}\), ces valeurs propres peuvent devenir disponibles. Un test compact de haut niveau est le suivant : une matrice est diagonalisable sur un corps exactement lorsque son polynôme minimal se scinde sur ce corps et n’a aucune racine répétée.

Pièges courants

• Les matrices semblables partagent la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique et les valeurs propres, mais pas les mêmes entrées.
• Diagonalisable ne signifie pas diagonale dans la base de départ.
• Avoir des valeurs propres ne suffit pas ; les espaces propres doivent fournir une base.
• Les valeurs propres distinctes sont suffisantes, pas nécessaires.
• Le polynôme minimal doit se scinder en facteurs linéaires distincts sur le corps choisi.

Exemple corrigé

À vous

Récapitulatif final

• Diagonalisable signifie qu’il existe une base propre.
• \(A=PDP^{-1}\), avec les colonnes de \(P\) égales aux vecteurs propres et les entrées diagonales de \(D\) égales aux valeurs propres correspondantes.
• \(n\) valeurs propres distinctes en dimension \(n\) garantissent la diagonalisabilité.
• Les valeurs propres répétées exigent de vérifier les dimensions des espaces propres.
• Les blocs de Jordan non triviaux ne sont pas diagonalisables.
• Les puissances vérifient \(A^n=PD^nP^{-1}\).
• La trace, le déterminant, le rang, l’inversibilité et les équations polynomiales se lisent sur la forme diagonale.
• Le corps et le polynôme minimal comptent.