Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Diagonalization - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.
Kuis Latihan Diagonalisasi dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di awal halaman untuk berlatih diagonalisasi: mengenali kapan suatu matriks memiliki basis eigen, membaca dan membangun \(A=PDP^{-1}\), mencocokkan vektor eigen dalam \(P\) dengan nilai eigen dalam \(D\), memakai nilai eigen berbeda sebagai uji cukup yang cepat, memeriksa nilai eigen berulang melalui multiplisitas geometrik, melihat jebakan blok Jordan, menghitung pangkat sebagai \(A^n=PD^nP^{-1}\), serta memakai nilai eigen untuk trace, determinan, rank, keterbalikan, proyeksi, kasus nilpoten, dan cek polinomial minimal. Jika Anda ingin penyegaran, buka pelajaran untuk contoh dan cek yang mudah diikuti secara mental.
Cara kerja latihan diagonalisasi ini
1. Kerjakan kuis: jawab soal basis eigen, kesebangunan, pangkat, nilai eigen berulang, dan invarian matriks di awal halaman.
2. Buka pelajaran: tinjau makna \(A=PDP^{-1}\), cara menguji kecukupan vektor eigen, dan cara memakai bentuk diagonal.
3. Coba lagi: kembali ke kuis dan tanyakan apakah matriks tersebut memiliki basis penuh dari vektor eigen.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran diagonalisasi
Makna \(A=PDP^{-1}\)
Dapat didiagonalisasi: ada basis yang tersusun dari vektor eigen
\(P\): kolom-kolomnya adalah vektor eigen dalam urutan yang dipilih
\(D\): entri diagonalnya adalah nilai eigen yang bersesuaian
Uji keterdiagonalisasian
Dalam dimensi \(n\), diagonalisasi memerlukan \(n\) vektor eigen yang bebas linear
Nilai eigen yang berbeda menjamin vektor eigen yang bebas
Nilai eigen berulang memerlukan dimensi ruang eigen, bukan hanya polinomial karakteristik
Menyusun dan memakai bentuknya
Bangun \(P\) dari basis eigen dan letakkan nilai eigen yang cocok pada \(D\)
Gunakan \(A^n=PD^nP^{-1}\) karena pangkat diagonal dihitung entri demi entri
Trace, determinan, rank, dan keterbalikan menjadi cek diagonal yang cepat
Struktur dan jebakan
Blok Jordan nontrivial memiliki terlalu sedikit vektor eigen dan tidak dapat didiagonalisasi
Matriks yang dapat didiagonalisasi dengan satu nilai eigen \(\lambda\) adalah \(\lambda I\)
Medan berpengaruh: sebagian matriks real baru dapat didiagonalisasi setelah vektor eigen kompleks diizinkan
Kembali ke kuis
Saat Anda siap, kembali ke kuis di awal halaman dan terus berlatih diagonalisasi.
Memuat...
Aljabar Linear Lanjut
Pelajaran Diagonalisasi
1 / 8
Ringkasan pelajaran
Tujuan: Pelajari cara menentukan apakah suatu matriks dapat didiagonalisasi, membangun bentuk \(A=PDP^{-1}\) bila mungkin, dan memakai bentuk diagonal untuk pangkat, invarian, serta kesimpulan struktural. Pertanyaan utamanya selalu: apakah ruang-ruang eigen menyediakan basis untuk seluruh ruang?
Kriteria keberhasilan
Nyatakan bahwa dapat didiagonalisasi berarti memiliki basis dari vektor eigen.
Jelaskan peran \(P\), \(D\), dan \(P^{-1}\) dalam \(A=PDP^{-1}\).
Gunakan nilai eigen berbeda sebagai uji cukup yang cepat.
Untuk nilai eigen berulang, bandingkan multiplisitas aljabar dan geometrik.
Susun \(P\) dan \(D\) dalam urutan yang cocok.
Hitung pangkat melalui \(A^n=PD^nP^{-1}\).
Gunakan entri diagonal untuk membaca trace, determinan, rank, keterbalikan, dan relasi polinomial sederhana.
Kenali jebakan umum yang melibatkan blok Jordan, pilihan medan, dan akar berulang.
Kosakata kunci
Dapat didiagonalisasi: sebangun dengan matriks diagonal, ekuivalen dengan diagonal dalam suatu basis eigen.
Basis eigen: basis yang seluruhnya terdiri dari vektor eigen dari \(A\).
Kesebangunan: \(A=PDP^{-1}\), artinya \(A\) dan \(D\) merepresentasikan pemetaan linear yang sama dalam basis berbeda.
Multiplisitas aljabar: multiplisitas suatu nilai eigen sebagai akar polinomial karakteristik.
Multiplisitas geometrik: dimensi ruang eigen \(E_\lambda\).
Uji polinomial minimal: dapat didiagonalisasi tepat ketika polinomial minimal terpecah tanpa akar berulang.
Cek awal cepat
Cek awal 1: Matriks \(A\) dapat didiagonalisasi ketika matriks itu memiliki:
Petunjuk: Diagonalisasi adalah tentang berpindah ke basis tempat matriks bekerja dengan menskalakan setiap vektor basis.
Cek awal 2: Jika \(A=PDP^{-1}\), apa entri diagonal dari \(D\)?
Petunjuk: Setiap kolom \(P\) diskalakan oleh entri diagonal yang bersesuaian.
Basis eigen membuat matriks menjadi diagonal
Tujuan pembelajaran: Hubungkan rumus \(A=PDP^{-1}\) dengan basis dari vektor eigen dan pahami mengapa urutan kolom penting.
Ide utama
Misalkan \(v_1,\dots,v_n\) adalah basis dan \(Av_i=\lambda_i v_i\). Masukkan vektor-vektor ini ke kolom-kolom \(P\), dan letakkan nilai eigen yang bersesuaian pada diagonal \(D\): \[P=\begin{pmatrix}|& &|\\ v_1&\cdots&v_n\\ |& &|\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).\] Maka \(AP=PD\), sehingga \(A=PDP^{-1}\). Rumus ini bukan trik ajaib: rumus ini mengatakan bahwa dalam basis eigen, \(A\) hanya menskalakan koordinat.
Daftar cek pengenalan
Cari nilai eigen dan ruang eigen.
Pilih cukup banyak vektor eigen bebas untuk membentuk basis.
Letakkan vektor eigen sebagai kolom \(P\).
Letakkan nilai eigen yang cocok dalam urutan yang sama pada \(D\).
Vektor \((1,1)\) dan \((1,-1)\) adalah vektor eigen: \(A(1,1)=(1,1)\) dan \(A(1,-1)=(-1,1)=-(1,-1)\). Jadi \(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) dan \(D=\operatorname{diag}(1,-1)\), dengan kolom yang cocok dengan entri diagonal. Karena kedua vektor eigen itu bebas, \(A=PDP^{-1}\).
Coba
Coba 1: Dalam \(A=PDP^{-1}\), apa isi kolom-kolom \(P\)?
Petunjuk: Mengalikan \(A\) dengan sebuah kolom \(P\) harus menskalakan kolom yang sama.
Coba 2: Jika kolom pertama \(P\) memiliki nilai eigen \(2\) dan kolom kedua memiliki nilai eigen \(5\), apa \(D\)?
Petunjuk: Pertahankan entri diagonal dalam urutan yang sama dengan vektor eigen dalam \(P\).
Dapat didiagonalisasi berarti memiliki cukup banyak vektor eigen bebas
Tujuan pembelajaran: Putuskan keterdiagonalisasian dengan menghitung vektor eigen bebas, bukan hanya dengan mencari nilai eigen.
Ide utama
Untuk matriks \(n\times n\), diagonalisasi memerlukan \(n\) vektor eigen yang bebas linear. Nilai eigen berbeda membantu karena vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen berbeda otomatis bebas linear. Karena itu, \(n\) nilai eigen berbeda dalam dimensi \(n\) menjamin keterdiagonalisasian. Nilai eigen berulang tidak otomatis buruk, tetapi memerlukan pengecekan dimensi ruang eigen.
Daftar cek pengenalan
Jika matriks memiliki \(n\) nilai eigen berbeda atas medan yang sedang digunakan, matriks itu dapat didiagonalisasi.
Jika nilai eigen berulang, hitung setiap ruang eigen \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\).
Jumlahkan dimensi ruang-ruang eigen.
Matriks dapat didiagonalisasi tepat ketika jumlah itu adalah \(n\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Matriks \(3\times3\) memiliki nilai eigen \(1\), \(2\), dan \(5\). Apa akibatnya?
Ketiga nilai eigen tersebut berbeda, jadi ada tiga vektor eigen bebas. Dalam dimensi \(3\), itu adalah basis eigen lengkap. Matriks tersebut dapat didiagonalisasi.
Coba
Coba 1: Jika matriks \(3\times3\) memiliki tiga nilai eigen berbeda, apa akibatnya?
Petunjuk: Vektor eigen untuk nilai eigen berbeda bersifat bebas linear.
Coba 2: Matriks \(4\times4\) yang dapat didiagonalisasi harus memiliki berapa banyak vektor eigen dalam suatu basis?
Petunjuk: Basis eigen dari ruang berdimensi 4 memiliki empat vektor basis.
Multiplisitas saja tidak cukup
Tujuan pembelajaran: Pisahkan multiplisitas aljabar dari multiplisitas geometrik dan kenali hambatan blok Jordan.
Ide utama
Nilai eigen berulang masih bisa dapat didiagonalisasi, tetapi hanya jika ruang eigennya cukup besar. Untuk setiap nilai eigen \(\lambda\), \[\dim E_\lambda\le \text{algebraic multiplicity of }\lambda.\] Diagonalisasi memerlukan kesamaan untuk setiap nilai eigen, sehingga multiplisitas geometriknya berjumlah \(n\). Blok Jordan nontrivial gagal karena hanya memiliki satu arah vektor eigen untuk nilai eigen berulang.
Jebakan umum
Akar berulang dari polinomial karakteristik tidak otomatis berarti tidak dapat didiagonalisasi.
Matriks segitiga tidak otomatis dapat didiagonalisasi.
Matriks dengan satu nilai eigen dapat didiagonalisasi hanya jika matriks itu sudah merupakan matriks skalar pada seluruh ruang.
Blok Jordan nontrivial memiliki terlalu sedikit vektor eigen.
Contoh dikerjakan
Contoh: Apakah \(J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) dapat didiagonalisasi?
Satu-satunya nilai eigen adalah \(1\). Selesaikan \((J-I)v=0\): \(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0\), sehingga \(y=0\). Ruang eigennya adalah \(\operatorname{span}\{(1,0)\}\), hanya berdimensi satu. Matriks \(2\times2\) memerlukan dua vektor eigen bebas, jadi \(J\) tidak dapat didiagonalisasi.
Coba
Coba 1: Apakah \(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) dapat didiagonalisasi?
Petunjuk: Hitung ruang eigen untuk nilai eigen berulang \(1\).
Coba 2: Matriks yang dapat didiagonalisasi dengan semua nilai eigen sama dengan \(5\) adalah:
Petunjuk: Dalam basis eigen, matriks diagonalnya adalah \(5I\), dan \(P(5I)P^{-1}=5I\).
Cocokkan setiap vektor eigen dengan nilai eigennya
Tujuan pembelajaran: Susun diagonalisasi dengan teliti dan hindari ketidakcocokan urutan \(P\) dan \(D\).
Ide utama
Setelah menemukan basis eigen, diagonalisasi terutama soal pencatatan yang rapi. Jika kolom-kolom \(P\) adalah \(v_1,\dots,v_n\), maka entri diagonal \(D\) harus \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\), dengan \(Av_i=\lambda_i v_i\). Mengubah urutan kolom diperbolehkan, tetapi \(D\) harus berubah dengan urutan yang sama.
Daftar cek pengenalan
Pilih vektor eigen bebas sampai Anda memiliki basis.
Tulis vektor-vektor itu sebagai kolom \(P\).
Tulis nilai eigen yang cocok pada diagonal \(D\).
Cek \(AP=PD\), yang sering lebih cepat daripada mengalikan \(PDP^{-1}\).
Hitung \(P^{-1}\) hanya jika perhitungan berikutnya benar-benar membutuhkannya.
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\), bangun \(P\) dan \(D\).
Untuk \(\lambda=2\), \(A(1,0)=2(1,0)\), jadi ambil \(v_1=(1,0)\). Untuk \(\lambda=3\), selesaikan \((A-3I)v=0\), yang memberi \(y=x\), jadi ambil \(v_2=(1,1)\). Maka \[P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(2,3).\] Kolom-kolomnya bebas, dan \(AP=PD\), sehingga \(A=PDP^{-1}\).
Coba
Coba 1: Jika kolom pertama \(P\) adalah vektor eigen dengan nilai eigen \(4\) dan kolom kedua memiliki nilai eigen \(-1\), apa \(D\)?
Petunjuk: Entri diagonal pertama cocok dengan kolom pertama, dan entri diagonal kedua cocok dengan kolom kedua.
Coba 2: Jika \(A=PDP^{-1}\), maka \(P\) harus:
Petunjuk: Rumus tersebut memuat \(P^{-1}\).
Diagonalisasi mengubah pangkat menjadi pangkat entri demi entri
Tujuan pembelajaran: Gunakan diagonalisasi untuk menghitung pangkat dan membaca efek nilai eigen dengan cepat.
Ide utama
Jika \(A=PDP^{-1}\), maka perkalian berulang membatalkan faktor tengah: \[A^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}.\] Untuk \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\), \[D^n=\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_n^n).\] Gagasan yang sama berlaku untuk banyak polinomial dalam \(A\): terapkan polinomial pada setiap entri diagonal.
Contoh dikerjakan
Contoh: Jika \(D=\operatorname{diag}(2,-1)\), hitung \(D^3\).
Pangkat matriks diagonal dihitung entri demi entri: \[D^3=\operatorname{diag}(2^3,(-1)^3)=\operatorname{diag}(8,-1).\] Karena itu, jika \(A=PDP^{-1}\), maka \(A^3=P\operatorname{diag}(8,-1)P^{-1}\).
Coba
Coba 1: Jika \(A=PDP^{-1}\), apa \(A^3\)?
Petunjuk: Faktor tengah \(P^{-1}P\) saling membatalkan.
Coba 2: Jika \(A\) dapat didiagonalisasi dengan nilai eigen \(2\) dan \(3\), apa nilai eigen dari \(A^2\)?
Petunjuk: Menguadratkan \(A\) menguadratkan entri diagonal dalam bentuk diagonal.
Ringkasan
\(A^n=PD^nP^{-1}\), bukan \(P^nD^nP^{-n}\).
Pangkat diagonal dihitung entri demi entri.
Jika tidak ada nilai eigen yang \(0\), maka \(A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}\).
Gunakan entri diagonal untuk membaca struktur
Tujuan pembelajaran: Terjemahkan persamaan yang melibatkan matriks yang dapat didiagonalisasi menjadi persamaan untuk nilai eigennya.
Ide utama
Ketika \(A=PDP^{-1}\), banyak fakta struktural mereduksi menjadi entri diagonal. \(A\) dapat diinvers tepat ketika setiap nilai eigen tidak nol. Trace adalah jumlah nilai eigen, determinan adalah hasil kalinya, dan rank adalah banyaknya entri diagonal tak nol dalam \(D\). Jika \(A\) memenuhi persamaan polinomial seperti \(A^2=A\), maka setiap nilai eigen memenuhi persamaan skalar yang sama \(\lambda^2=\lambda\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Jika \(A\) dapat didiagonalisasi dan \(A^2=A\), apa nilai eigen yang mungkin?
Dalam bentuk diagonal, \(D^2=D\). Jadi setiap entri diagonal \(\lambda\) memenuhi \(\lambda^2=\lambda\), atau \(\lambda(\lambda-1)=0\). Satu-satunya nilai eigen yang mungkin adalah \(0\) dan \(1\).
Coba
Coba 1: Jika \(A\) dapat didiagonalisasi dan \(A^2=0\), maka \(A\) adalah:
Petunjuk: Setiap nilai eigen \(\lambda\) memenuhi \(\lambda^2=0\), jadi \(D\) harus matriks diagonal nol.
Coba 2: Jika \(D=\operatorname{diag}(0,1,2)\), berapa rank dari \(D\)?
Petunjuk: Hitung entri diagonal yang tidak nol.
Keterpecahan dan akar berulang penting
Tujuan pembelajaran: Pahami ketergantungan pada medan, uji polinomial minimal, dan akhiri dengan daftar cek final yang andal.
Ide utama
Diagonalisasi bergantung pada medan. Atas \(\mathbb{R}\), matriks dengan nilai eigen nonreal tidak dapat memiliki basis eigen real. Atas \(\mathbb{C}\), nilai eigen tersebut bisa tersedia. Uji tingkat tinggi yang ringkas adalah: suatu matriks dapat didiagonalisasi atas suatu medan tepat ketika polinomial minimalnya terpecah atas medan itu dan tidak memiliki akar berulang.
Jebakan umum
Matriks sebangun memiliki trace, determinan, polinomial karakteristik, dan nilai eigen yang sama, tetapi tidak memiliki entri yang sama.
Dapat didiagonalisasi tidak berarti diagonal dalam basis awal.
Memiliki nilai eigen saja tidak cukup; ruang-ruang eigen harus menyediakan basis.
Nilai eigen berbeda adalah cukup, bukan perlu.
Polinomial minimal harus terpecah menjadi faktor linear berbeda atas medan yang dipilih.
Contoh dikerjakan
Contoh: Bandingkan rotasi \(R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) atas \(\mathbb{R}\) dan atas \(\mathbb{C}\).
Persamaan karakteristiknya adalah \(\lambda^2+1=0\). Atas \(\mathbb{R}\), persamaan ini tidak memiliki akar, sehingga tidak ada basis eigen real dan tidak ada diagonalisasi real. Atas \(\mathbb{C}\), nilai eigennya adalah \(i\) dan \(-i\), berbeda, sehingga matriks tersebut dapat didiagonalisasi atas \(\mathbb{C}\).
Coba
Coba 1: Jika suatu matriks dapat didiagonalisasi, polinomial minimalnya memiliki:
Petunjuk: Diagonalisasi menyingkirkan perilaku blok Jordan berulang.
Coba 2: Apakah blok Jordan \(2\times2\) nontrivial dapat didiagonalisasi?
Petunjuk: Blok itu hanya memiliki satu arah vektor eigen untuk nilai eigen berulang.
Rekap akhir
Dapat didiagonalisasi berarti ada basis eigen.
\(A=PDP^{-1}\) dengan kolom \(P\) berupa vektor eigen dan entri diagonal \(D\) berupa nilai eigen yang cocok.
\(n\) nilai eigen berbeda dalam dimensi \(n\) menjamin keterdiagonalisasian.
Nilai eigen berulang memerlukan cek dimensi ruang eigen.
Blok Jordan nontrivial tidak dapat didiagonalisasi.
Pangkat memenuhi \(A^n=PD^nP^{-1}\).
Trace, determinan, rank, keterbalikan, dan persamaan polinomial dapat dibaca dari bentuk diagonal.
Medan dan polinomial minimal berpengaruh.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis lagi. Untuk setiap soal, putuskan dahulu apakah yang diminta adalah uji basis eigen, penyusunan \(P\) dan \(D\), jebakan nilai eigen berulang, atau konsekuensi dari entri diagonal.
Rentetan 5+
Rentetan 10+
Rentetan 15+
Rentetan 20+
Rentetan 25+