Équations et inégalités linéaires : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.
Quiz d’entraînement sur les équations et inéquations linéaires avec leçon interactive étape par étape
Utilisez le quiz en haut de la page pour vous entraîner à résoudre des équations linéaires et des inéquations linéaires à une inconnue : isoler x à l’aide d’opérations inverses, simplifier avec la distributivité, réduire les termes semblables, résoudre des équations avec des variables des deux côtés et déterminer un ensemble de solutions correct pour les inéquations. Pour revoir la méthode, cliquez sur Commencer la leçon afin d’ouvrir un guide étape par étape avec des exemples guidés et de courts exercices.
Comment fonctionne cet entraînement aux équations et inéquations linéaires
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur les équations et inéquations linéaires en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon (facultatif) : revoyez les étapes de résolution, les erreurs fréquentes et de courts exercices.
3. Réessayez : revenez au quiz et appliquez immédiatement la méthode pour gagner en vitesse et en précision.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les équations et inéquations linéaires
Bases et vocabulaire
Variable, coefficient, constante (les parties d’une expression linéaire)
Équation linéaire : résoudre pour trouver la valeur qui rend les deux membres égaux
Vérification de la solution : remplacer la variable par votre réponse pour vérifier qu’elle fonctionne
Équations en une ou deux étapes
Opérations inverses : annuler \(+/-\) et \(\times/\div\)
Forme en deux étapes \(ax+b=c\) : soustraire \(b\), puis diviser par \(a\)
Décimaux et fractions : résoudre en multipliant pour éliminer le coefficient
Équations en plusieurs étapes
Distributivité : \(a(b+c)=ab+ac\)
Réduire les termes semblables avant d’isoler la variable
Variables des deux côtés : une solution, aucune solution ou une infinité de solutions
Inéquations linéaires et ensembles de solutions
Symboles d’inégalité : \( <, \le, >, \ge \)
Inverser le signe quand on multiplie ou divise par un nombre négatif
Notation par intervalles et représentations sur une droite graduée pour représenter l’ensemble des solutions
Retour au quiz
Quand vous êtes prêt, revenez au quiz en haut de la page et continuez à vous entraîner à résoudre des équations et inéquations linéaires.
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Équations et inéquations linéaires
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Leçon sur les équations et inéquations linéaires
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Vue d’ensemble de la leçon
Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : Construire une méthode claire et fiable pour résoudre des équations linéaires et résoudre des inéquations linéaires à une inconnue. Vous allez vous entraîner à isoler la variable, simplifier des expressions et écrire correctement les ensembles de solutions.
Critères de réussite
Repérer les parties d’une expression linéaire : variable, coefficient et constante.
Résoudre des équations en une étape avec les opérations inverses (annuler \(+/-\) ou \(\times/\div\)).
Résoudre des équations en deux étapes de la forme \(ax+b=c\).
Résoudre des équations linéaires en plusieurs étapes avec des parenthèses en utilisant la distributivité et la réduction des termes semblables.
Résoudre des équations avec des variables des deux côtés et reconnaître une solution, aucune solution ou une infinité de solutions.
Résoudre des inéquations linéaires et penser à inverser le signe de l’inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Écrire un ensemble de solutions avec une inégalité et avec la notation par intervalles (par exemple \(x<3\) ou \((-\infty,3)\)).
Vérifier une solution d’équation en la remplaçant dans l’équation de départ.
Vocabulaire essentiel
Variable : un symbole (souvent \(x\)) qui représente un nombre.
Coefficient : le nombre qui multiplie la variable (dans \(5x\), le coefficient est \(5\)).
Constante : un nombre sans variable.
Équation linéaire : une équation qui peut s’écrire \(ax+b=c\) (une variable, exposant 1).
Solution : une valeur qui rend l’équation vraie.
Opérations inverses : des opérations qui s’annulent entre elles (addition/soustraction, multiplication/division).
Distributivité : \(a(b+c)=ab+ac\).
Termes semblables : des termes avec la même puissance de la variable (par exemple \(3x\) et \(-2x\)).
Inéquation linéaire : une inéquation comme \(ax+b<c\), avec un ensemble de solutions.
Ensemble de solutions : tous les nombres qui rendent une inéquation vraie.
Petit test de départ
Question de départ 1 : Résoudre pour \(x\) : \(-2x = 6\).
Indice : divisez les deux membres par \(-2\).
Question de départ 2 : Que se passe-t-il quand on multiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif ?
Indice : c’est la plus grande différence entre résoudre une équation et résoudre une inéquation.
Équations en une étape
Résoudre des équations linéaires en une étape
Objectif d’apprentissage : Résoudre des équations en une étape en utilisant les opérations inverses pour isoler la variable.
Idée clé
Pour résoudre une équation linéaire, le but est de laisser la variable seule d’un côté. On utilise pour cela des opérations inverses : l’addition annule la soustraction, et la multiplication annule la division. Ce que l’on fait à un membre, on doit le faire à l’autre pour garder l’équation équilibrée.
Exemple guidé
Exemple : Résoudre \(\dfrac{x}{4}=2\).
On multiplie les deux membres par \(4\) : \[ \frac{x}{4}\cdot 4 = 2\cdot 4 \quad \Rightarrow \quad x=8. \]Vérification : \(8/4=2\) ✓
À vous
À vous 1 : Résoudre pour \(x\) : \(5 - x = 1\).
Indice : soustrayez \(5\) aux deux membres, puis multipliez par \(-1\).
À vous 2 : Résoudre l’équation \(x - 8 = 2\). Quelle est la valeur de \(x\) ?
Indice : ajoutez \(8\) aux deux membres.
Résumé
Utilisez les opérations inverses pour isoler la variable.
Gardez l’équation équilibrée en faisant la même chose aux deux membres.
Équations en deux étapes
Résoudre des équations linéaires en deux étapes
Objectif d’apprentissage : Résoudre des équations comme \(ax+b=c\) en annulant les opérations dans l’ordre inverse.
Idée clé
Dans une équation comme \(ax+b=c\), la variable \(x\) subit deux opérations : elle est d’abord multipliée par \(a\), puis \(b\) est ajouté. Pour résoudre, on effectue les opérations inverses dans l’ordre inverse : soustraire \(b\), puis diviser par \(a\).
Exemple guidé
Exemple : Résoudre \(3x - 4 = 5\).
On ajoute \(4\) aux deux membres : \[ 3x - 4 + 4 = 5 + 4 \quad \Rightarrow \quad 3x = 9. \] On divise les deux membres par \(3\) : \[ x = 3. \]Vérification : \(3(3)-4=9-4=5\) ✓
À vous
À vous 1 : Résoudre \(5x + 5 = 0\). Quelle est la valeur de \(x\) ?
Indice : soustrayez \(5\), puis divisez par \(5\).
À vous 2 : Résoudre \(0.2x + 1 = 3\). Quelle est la valeur de \(x\) ?
Indice : soustrayez \(1\). Puis divisez par \(0.2\), ce qui revient à multiplier par \(5\).
Résumé
Annulez d’abord l’addition ou la soustraction, puis la multiplication ou la division.
Avec les décimaux, la méthode est la même : isolez soigneusement la variable et gardez l’équation équilibrée.
Équations en plusieurs étapes
Équations en plusieurs étapes : parenthèses et termes semblables
Objectif d’apprentissage : Résoudre des équations linéaires en plusieurs étapes avec la distributivité et la réduction des termes semblables.
Idée clé
Quand une équation contient des parenthèses ou beaucoup de termes, on simplifie d’abord : (1) utiliser la distributivité pour enlever les parenthèses, (2) réduire les termes semblables, puis (3) isoler la variable avec des opérations inverses.
Exemple guidé
Exemple : Résoudre \(5x - (2x + 1) = 2\).
On distribue le signe moins et on réduit les termes semblables : \[ 5x - 2x - 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad 3x - 1 = 2. \] On ajoute \(1\) aux deux membres, puis on divise par \(3\) : \[ 3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x=1. \]Vérification : \(5(1)-(2(1)+1)=5-(2+1)=2\) ✓
À vous
À vous 1 : Résoudre \(4(x + 1) = 12\). Quelle est la valeur de \(x\) ?
Indice : distribuez \(4\) : \(4x+4=12\).
À vous 2 : Résoudre \(3(x + 2) = 12\). Quelle est la valeur de \(x\) ?
Indice : distribuez \(3\) : \(3x+6=12\).
Résumé
Distribuez d’abord, réduisez ensuite les termes semblables, puis résolvez.
Écrivez des étapes propres pour éviter les erreurs de signe.
Variables des deux côtés
Équations avec des variables des deux côtés
Objectif d’apprentissage : Résoudre des équations avec \(x\) des deux côtés et reconnaître les cas avec une solution, aucune solution ou tous les nombres réels.
Idée clé
Pour résoudre une équation avec \(x\) des deux côtés, regroupez tous les termes en \(x\) d’un côté et toutes les constantes de l’autre. Après simplification :
Si vous obtenez \(x = \text{number}\), il y a une solution.
Si vous obtenez une affirmation fausse comme \(1 = -2\), il n’y a aucune solution.
Si vous obtenez une affirmation vraie comme \(0=0\), il y a une infinité de solutions (tous les nombres réels).
Exemple guidé
Exemple : Résoudre \(3x - 4 = 2x + 6\).
On soustrait \(2x\) aux deux membres : \[ x - 4 = 6 \] On ajoute \(4\) aux deux membres : \[ x = 10. \]
À vous
À vous 1 : Résoudre pour \(x\) : \(4 - x = 2x + 1\).
Indice : mettez tous les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre.
À vous 2 : Résoudre : \(3x + 1 = 3x - 2\).
Indice : soustrayez \(3x\) aux deux membres. Si vous obtenez quelque chose de faux, il n’y a aucune solution.
Résumé
Déplacez les termes avec la variable d’un côté et les constantes de l’autre.
Surveillez les cas spéciaux : affirmation fausse (aucune solution) ou affirmation vraie (tous les nombres réels).
Bases des inéquations
Inéquations linéaires : résoudre et écrire l’ensemble de solutions
Objectif d’apprentissage : Résoudre des inéquations linéaires simples et décrire l’ensemble de solutions avec une inégalité et avec la notation par intervalles.
Idée clé
Résoudre une inéquation linéaire ressemble à résoudre une équation, mais la réponse est un ensemble de valeurs. On peut toujours ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres. La règle clé : quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le signe de l’inégalité.
Exemple guidé
Exemple : Résoudre l’inéquation \(x + 2 < 5\).
On soustrait \(2\) aux deux membres : \[ x < 3. \] Ensemble de solutions en notation par intervalles : \((-\infty,3)\). Sur une droite graduée, utilisez un point ouvert en \(3\) et hachurez vers la gauche.
À vous
À vous 1 : Résoudre : \(4x + 1 > 9\).
Indice : soustrayez \(1\), puis divisez par \(4\).
À vous 2 : Résoudre \(5 - 2x \le 1\). Quel est l’ensemble de solutions ?
Indice : après avoir obtenu \(-2x \le -4\), divisez par \(-2\) et inversez le signe.
Résumé
Les inéquations ont des ensembles de solutions, pas seulement un nombre.
Inversez le signe de l’inégalité seulement quand vous multipliez ou divisez par un nombre négatif.
Inéquations en plusieurs étapes
Inéquations en plusieurs étapes et cas particuliers
Objectif d’apprentissage : Résoudre des inéquations en plusieurs étapes, y compris avec des nombres négatifs, et reconnaître quand une inéquation n’a pas de solution.
Idée clé
Les inéquations en plusieurs étapes utilisent les mêmes techniques que les équations en plusieurs étapes : distribuer, réduire les termes semblables et isoler la variable. La règle clé reste valable : si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, inversez le signe de l’inégalité.
Exemple guidé
Exemple : Résoudre \(-4x + 3 > 11\).
On soustrait \(3\) aux deux membres : \[ -4x > 8. \] On divise par \(-4\) et on inverse le signe : \[ x < -2. \]
À vous
À vous 1 : Résoudre : \(3x - 4 < 2\).
Indice : ajoutez \(4\), puis divisez par \(3\).
À vous 2 : Résoudre : \(3x + 1 < 3x - 2\).
Indice : soustrayez \(3x\) aux deux membres et décidez si l’affirmation restante est vraie ou fausse.
Solution détaillée
On soustrait \(3x\) aux deux membres : \[ 1 < -2. \] C’est faux, donc il n’existe aucune valeur de \(x\) qui rende l’inéquation vraie. L’ensemble de solutions est vide.
Résumé
Inversez le signe de l’inégalité seulement quand vous multipliez ou divisez par un nombre négatif.
Si votre travail se termine par une affirmation fausse, l’inéquation n’a aucune solution.
Applications et histoire
Pourquoi les équations et inéquations linéaires sont utiles
Objectif d’apprentissage : Relier la résolution d’équations et d’inéquations linéaires à des situations concrètes et gagner en confiance avec le raisonnement algébrique.
Où utilise-t-on les équations et inéquations linéaires ?
Argent et budget : problèmes avec coût fixe + tarif (abonnements, souscriptions, taxis).
Sciences : des formules comme \(d=vt\) (distance = vitesse × temps) mènent souvent à des équations linéaires.
Planification : les inéquations modélisent des limites et des contraintes (temps, coût, capacité).
Raisonnement quotidien : « au moins », « pas plus que » et « doit être supérieur à » se traduisent naturellement par des inéquations.
Exemple guidé : une inéquation de budget
Exemple : Une salle de sport facture $20 de frais d’inscription plus $15 par mois. Vous voulez dépenser au plus $80. Combien de mois pouvez-vous payer ?
On écrit et on résout une inéquation : \[ 15m + 20 \le 80 \]\[ 15m \le 60 \quad \Rightarrow \quad m \le 4 \] Vous pouvez payer jusqu’à 4 mois.
À vous
À vous 1 : Un taxi facture $4 plus $2 par kilomètre. Vous avez $16. Quel est le plus grand nombre de kilomètres que vous pouvez parcourir ?
Indice : modélisez avec \(2k+4 \le 16\), puis résolvez pour \(k\).
Vérification d’une erreur fréquente
À vous 2 : Quelle étape demande d’inverser le signe de l’inégalité ?
Indice : une seule opération peut changer le sens d’une inégalité.
Quelques faits amusants (un peu d’histoire)
Racines de l’algèbre : des méthodes systématiques de résolution d’équations ont été développées et consignées dans l’algèbre ancienne, notamment dans des travaux associés à al-Khwarizmi.
Symboles d’inégalité : les symboles \(<\) et \(>\) sont devenus standards en mathématiques pour comparer des nombres et des expressions, et ils sont aujourd’hui essentiels pour décrire des ensembles de solutions.
Grande idée : les équations linéaires modélisent un taux de variation constant, ce qui explique leur présence partout, de la finance à la physique.
Récapitulatif final
Équations : isoler la variable avec des opérations inverses et vérifier par substitution.
Équations en plusieurs étapes : distribuer, réduire les termes semblables, puis résoudre.
Variables des deux côtés : surveiller les cas avec une solution, aucune solution ou tous les nombres réels.
Inéquations : résoudre comme des équations, mais inverser le signe quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Ensembles de solutions : décrire avec une inégalité (comme \(x\ge 2\)) ou avec la notation par intervalles (comme \([2,\infty)\)).
Étape suivante : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Si vous ratez une question, rouvrez le livre et révisez la page correspondant à la compétence de résolution dont vous avez besoin (une étape, deux étapes, plusieurs étapes ou inéquations).
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