चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ रेखीय समीकरण और असमिकाएँ अभ्यास प्रश्नोत्तरी
पृष्ठ के ऊपर दिए प्रश्नोत्तरी से एक चर में रेखीय समीकरण हल करना और रेखीय असमिकाएँ हल करना अभ्यास करें: प्रतिलोम संक्रियाएँ से x के लिए हल करें, वितरण गुण से सरल करें, समान पदों को जोड़ें, दोनों तरफ चर वाले समीकरण हल करें, और असमिकाओं के लिए सही हल-समुच्चय निकालें। यदि आपको पुनरावृत्ति चाहिए, तो हल किए गए उदाहरणों और त्वरित जांचों वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
यह रेखीय समीकरण और असमिका अभ्यास कैसे काम करता है
1. प्रश्नोत्तरी लें: पृष्ठ के ऊपर दिए रेखीय समीकरण और रेखीय असमिका प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): हल के चरण, आम गलतियां, और त्वरित जांचें दोहराएं।
3. फिर प्रयास करें: प्रश्नोत्तरी पर लौटें और गति तथा सटीकता बढ़ाने के लिए विधि तुरंत लागू करें।
रेखीय समीकरण और असमिकाएँ पाठ में आप क्या सीखेंगे
आधार और शब्दावली
चर, गुणांक, नियतांक (रेखीय व्यंजक के भाग)
रेखीय समीकरण: वह मान खोजें जो दोनों पक्षों को बराबर बनाता है
हल की जांच: अपने उत्तर को रखकर जांचें कि वह काम करता है
एक-चरणीय और दो-चरणीय समीकरण
प्रतिलोम संक्रियाएँ: \(+/-\) और \(\times/\div\) को उलटना
दो-चरणीय रूप \(ax+b=c\): \(b\) घटाएं, फिर \(a\) से भाग दें
दशमलव और भिन्न: गुणांक हटाने के लिए गुणा करके हल करें
बहु-चरणीय समीकरण
वितरण गुण: \(a(b+c)=ab+ac\)
चर को अलग करने से पहले समान पद जोड़ें
दोनों तरफ चर: एक हल, कोई हल नहीं, या अनंत हल
रेखीय असमिकाएँ और हल-समुच्चय
असमिका चिह्न: \( <, \le, >, \ge \)
चिह्न उलटें जब ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करें
हल-समुच्चय दिखाने के लिए अंतराल संकेतन और संख्या रेखा ग्राफ
प्रश्नोत्तरी पर वापस
जब आप तैयार हों, पृष्ठ के ऊपर दिए प्रश्नोत्तरी पर लौटें और रेखीय समीकरण तथा असमिकाएँ हल करने का अभ्यास जारी रखें।
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रेखीय समीकरण & असमिकाएँ
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रेखीय समीकरण और असमिकाएँ पाठ
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पाठ सारांश
पाठ सारांश
उद्देश्य: एक चर में रेखीय समीकरण और रेखीय असमिकाएँ हल करने की स्पष्ट, भरोसेमंद विधि बनाएँ। आप चर को अलग करना, व्यंजक सरल करना, और सही हल-समुच्चय लिखना अभ्यास करेंगे।
सफलता मानदंड
रेखीय व्यंजक के भाग पहचानें: चर, गुणांक, और नियतांक।
प्रतिलोम संक्रियाएँ से एक-चरणीय समीकरण हल करें (\(+/-\) या \(\times/\div\) उलटें)।
\(ax+b=c\) रूप के दो-चरणीय समीकरण हल करें।
वितरण गुण और समान पदों को जोड़कर कोष्ठक वाले बहु-चरणीय रेखीय समीकरण हल करें।
दोनों तरफ चर वाले समीकरण हल करें और एक हल, कोई हल नहीं, या अनंत हल पहचानें।
रेखीय असमिकाएँ हल करें और याद रखें कि ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमिका चिह्न उलटना होता है।
असमिका संकेतन और अंतराल संकेतन से हल-समुच्चय लिखें (जैसे \(x<3\) या \((-\infty,3)\))।
मूल समीकरण में वापस रखकर समीकरण के हल की जांच करें।
मुख्य शब्दावली
चर: एक चिह्न (अक्सर \(x\)) जो किसी संख्या को दर्शाता है।
गुणांक: चर को गुणा करने वाली संख्या (\(5x\) में गुणांक \(5\) है)।
नियतांक: बिना चर पद की संख्या।
रेखीय समीकरण: ऐसा समीकरण जिसे \(ax+b=c\) के रूप में लिखा जा सके (एक चर, घात 1)।
हल: ऐसा मान जो समीकरण को सत्य बनाता है।
प्रतिलोम संक्रियाएँ: ऐसी क्रियाएँ जो एक-दूसरे को उलटती हैं (जोड़/घटाव, गुणा/भाग)।
वितरण गुण: \(a(b+c)=ab+ac\)।
समान पद: समान चर घात वाले पद (जैसे \(3x\) और \(-2x\))।
रेखीय असमिका: \(ax+b<c\) जैसी असमिका जिसका हल-समुच्चय होता है।
हल-समुच्चय: वे सभी संख्याएँ जो असमिका को सत्य बनाती हैं।
त्वरित पूर्व-जांच
पूर्व-जांच 1: \(x\) के लिए हल करें: \(-2x = 6\)।
संकेत: दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग दें।
पूर्व-जांच 2: जब आप असमिका के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा करते हैं तो क्या होता है?
संकेत: समीकरण हल करने और असमिकाएँ हल करने में यही सबसे बड़ा अंतर है।
एक-चरणीय समीकरण
एक-चरणीय रेखीय समीकरण हल करें
सीखने का लक्ष्य: प्रतिलोम संक्रियाएँ से चर को अलग करके एक-चरणीय समीकरण हल करें।
मुख्य विचार
रेखीय समीकरण हल करते समय लक्ष्य है कि चर एक तरफ अकेला रह जाए। आप यह प्रतिलोम संक्रियाएँ से करते हैं: जोड़ घटाव को उलटता है, और गुणा भाग को उलटता है। समीकरण संतुलित रखने के लिए एक तरफ जो करें, वही दूसरी तरफ भी करें।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(\dfrac{x}{4}=2\) हल करें।
दोनों पक्षों को \(4\) से गुणा करें: \[ \frac{x}{4}\cdot 4 = 2\cdot 4 \quad \Rightarrow \quad x=8. \]जांच: \(8/4=2\) ✓
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(x\) के लिए हल करें: \(5 - x = 1\)।
संकेत: दोनों पक्षों से \(5\) घटाएं, फिर \(-1\) से गुणा करें।
चर को अलग करने के लिए प्रतिलोम संक्रियाएँ का उपयोग करें।
दोनों पक्षों पर वही काम करके समीकरण को संतुलित रखें।
दो-चरणीय समीकरण
दो-चरणीय रेखीय समीकरण हल करें
सीखने का लक्ष्य: \(ax+b=c\) जैसे समीकरणों को क्रियाओं को उल्टे क्रम में हटाकर हल करें।
मुख्य विचार
\(ax+b=c\) जैसे समीकरण में चर \(x\) पर दो क्रियाएँ हैं: पहले उसे \(a\) से गुणा किया गया, फिर \(b\) जोड़ा गया। हल करने के लिए उल्टे क्रम में प्रतिलोम संक्रियाएँ करें: \(b\) घटाएं, फिर \(a\) से भाग दें।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(3x - 4 = 5\) हल करें।
दोनों पक्षों में \(4\) जोड़ें: \[ 3x - 4 + 4 = 5 + 4 \quad \Rightarrow \quad 3x = 9. \] दोनों पक्षों को \(3\) से भाग दें: \[ x = 3. \]जांच: \(3(3)-4=9-4=5\) ✓
संकेत: \(1\) घटाएं। फिर \(0.2\) से भाग दें (यह \(5\) से गुणा करने जैसा है)।
सारांश
पहले जोड़/घटाव हटाएं, फिर गुणा/भाग हटाएं।
दशमलव भी इसी तरह काम करते हैं: चर को सावधानी से अलग करें और समीकरण संतुलित रखें।
बहु-चरणीय समीकरण
बहु-चरणीय समीकरण: कोष्ठक और समान पद
सीखने का लक्ष्य: वितरण गुण और समान पदों को जोड़कर बहु-चरणीय रेखीय समीकरण हल करें।
मुख्य विचार
जब समीकरण में कोष्ठक या कई पद हों, पहले सरल करें: (1) कोष्ठक हटाने के लिए वितरण गुण उपयोग करें, (2) समान पद जोड़ें, फिर (3) प्रतिलोम संक्रियाएँ से चर को अलग करें।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(5x - (2x + 1) = 2\) हल करें।
ऋण चिह्न distribute करें और समान पद जोड़ें: \[ 5x - 2x - 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad 3x - 1 = 2. \] दोनों पक्षों में \(1\) जोड़ें, फिर \(3\) से भाग दें: \[ 3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x=1. \]जांच: \(5(1)-(2(1)+1)=5-(2+1)=2\) ✓
पहले distribute करें, फिर समान पद जोड़ें, फिर हल करें।
चिह्न की गलतियों से बचने के लिए साफ चरण लिखें।
दोनों तरफ चर
दोनों तरफ चर वाले समीकरण
सीखने का लक्ष्य: दोनों पक्षों में \(x\) वाले समीकरण हल करें और एक-हल, कोई-हल-नहीं, तथा सभी-वास्तविक-संख्याएँ स्थितियां पहचानें।
मुख्य विचार
दोनों तरफ \(x\) वाले समीकरण हल करने के लिए सभी \(x\)-पद एक तरफ और सभी नियतांक दूसरी तरफ ले जाएं। सरल करने के बाद:
यदि \(x = \text{number}\) मिले, तो एक हल है।
यदि \(1 = -2\) जैसा गलत कथन मिले, तो कोई हल नहीं है।
यदि \(0=0\) जैसा सत्य कथन मिले, तो अनंत हल हैं (सभी वास्तविक संख्याएँ)।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(3x - 4 = 2x + 6\) हल करें।
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाएं: \[ x - 4 = 6 \] दोनों पक्षों में \(4\) जोड़ें: \[ x = 10. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(x\) के लिए हल करें: \(4 - x = 2x + 1\)।
संकेत: सभी \(x\)-पद एक तरफ और नियतांक दूसरी तरफ ले जाएं।
खुद कोशिश 2: हल करें: \(3x + 1 = 3x - 2\)।
संकेत: दोनों पक्षों से \(3x\) घटाएं। यदि कुछ गलत मिले, तो कोई हल नहीं है।
सारांश
चर पद एक तरफ, नियतांक दूसरी तरफ ले जाएं।
विशेष परिणामों पर ध्यान दें: गलत कथन (कोई हल नहीं) या सत्य कथन (सभी वास्तविक संख्याएँ)।
असमिकाओं की मूल बातें
रेखीय असमिकाएँ: हल करें और हल-समुच्चय लिखें
सीखने का लक्ष्य: मूल रेखीय असमिकाएँ हल करें और असमिका संकेतन तथा अंतराल संकेतन से हल-समुच्चय बताएं।
मुख्य विचार
रेखीय असमिका हल करना समीकरण हल करने जैसा है, लेकिन उत्तर मानों का समुच्चय होता है। आप दोनों पक्षों में वही संख्या जोड़ या घटा सकते हैं। मुख्य नियम: जब आप ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते हैं, तो असमिका चिह्न उलटना जरूरी है।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: असमिका \(x + 2 < 5\) हल करें।
दोनों पक्षों से \(2\) घटाएं: \[ x < 3. \] अंतराल संकेतन में हल-समुच्चय: \((-\infty,3)\)। संख्या रेखा पर \(3\) पर खुला वृत्त लगाएं और बाईं ओर छायांकित करें।
संकेत: \(-2x \le -4\) मिलने के बाद, \(-2\) से भाग दें और चिह्न उलटें।
सारांश
असमिकाओं के हल समुच्चय होते हैं, केवल एक संख्या नहीं।
असमिका चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय उलटें।
बहु-चरणीय असमिकाएँ
बहु-चरणीय असमिकाएँ और विशेष स्थितियाँ
सीखने का लक्ष्य: ऋणात्मक संख्याओं सहित बहु-चरणीय असमिकाएँ हल करें और पहचानें कि कब असमिका का कोई हल नहीं होता।
मुख्य विचार
बहु-चरणीय असमिकाएँ उन्हीं कौशलों का उपयोग करती हैं जो बहु-चरणीय समीकरण करते हैं: distribute करें, समान पद जोड़ें, और चर अलग करें। मुख्य नियम फिर भी लागू है: यदि आप ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते हैं, तो असमिका चिह्न उलटें।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(-4x + 3 > 11\) हल करें।
दोनों पक्षों से \(3\) घटाएं: \[ -4x > 8. \] \(-4\) से भाग दें और चिह्न उलटें: \[ x < -2. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: हल करें: \(3x - 4 < 2\)।
संकेत: \(4\) जोड़ें, फिर \(3\) से भाग दें।
खुद कोशिश 2: हल करें: \(3x + 1 < 3x - 2\)।
संकेत: दोनों पक्षों से \(3x\) घटाएं और तय करें कि बचा हुआ कथन सत्य है या गलत।
हल किया गया समाधान
दोनों पक्षों से \(3x\) घटाएं: \[ 1 < -2. \] यह गलत है, इसलिए ऐसे \(x\) के कोई मान नहीं हैं जो असमिका को सत्य बनाएँ। हल-समुच्चय खाली है।
सारांश
असमिका चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय उलटें।
यदि आपका काम किसी गलत कथन पर खत्म हो, तो असमिका का कोई हल नहीं है।
अनुप्रयोग और इतिहास
रेखीय समीकरण और असमिकाएँ क्यों महत्वपूर्ण हैं
सीखने का लक्ष्य: रेखीय समीकरण और असमिकाएँ हल करने को वास्तविक स्थितियों से जोड़ें और बीजगणितीय तर्क में आत्मविश्वास बनाएँ।
आप रेखीय समीकरण और असमिकाएँ कहां उपयोग करते हैं
धन और बजट: fixed fee + दर वाली समस्याएँ (membership fees, subscriptions, taxis)।
विज्ञान: \(d=vt\) जैसे सूत्र (दूरी = गति × समय) अक्सर रेखीय समीकरण देते हैं।
Planning: असमिकाएँ सीमाएँ और constraints मॉडल करती हैं (समय, लागत, क्षमता)।
दैनिक तर्क: “पर least,” “नहीं more than,” और “must be greater than” स्वाभाविक रूप से असमिकाओं में बदलते हैं।
हल किया गया उदाहरण: बजट असमिका
उदाहरण: एक gym $20 signup fee और $15 प्रति माह लेता है। आप $80 से अधिक खर्च नहीं करना चाहते। आप कितने महीनों का खर्च उठा सकते हैं?
असमिका लिखें और हल करें: \[ 15m + 20 \le 80 \]\[ 15m \le 60 \quad \Rightarrow \quad m \le 4 \] आप अधिकतम 4 महीने afford कर सकते हैं।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: एक taxi $4 plus $2 प्रति kilometer लेती है। आपके पास $16 हैं। आप अधिकतम कितने kilometers जा सकते हैं?
संकेत: \(2k+4 \le 16\) से मॉडल करें, फिर \(k\) के लिए हल करें।
बीजगणित की जड़ें: व्यवस्थित समीकरण-हल विधियाँ प्रारंभिक बीजगणित में विकसित और लिखे गए, जिनमें al-Khwarizmi से जुड़ा काम भी शामिल है।
असमिका चिह्न: \(<\) और \(>\) चिह्न गणित में संख्याओं और व्यंजकों की तुलना के लिए मानक बने, और अब हल-समुच्चय बताने के लिए आवश्यक हैं।
बड़ा विचार: रेखीय समीकरण स्थिरांक परिवर्तन दर को मॉडल करते हैं, इसलिए वे finance से भौतिकी तक हर जगह दिखाई देते हैं।
अंतिम पुनरावलोकन
समीकरण: प्रतिलोम संक्रियाएँ से चर को अलग करें और प्रतिस्थापन से जांचें।
बहु-चरणीय समीकरण: distribute करें, समान पद जोड़ें, फिर हल करें।
दोनों तरफ चर: एक हल, कोई हल नहीं, या सभी वास्तविक संख्याओं पर ध्यान दें।
असमिकाएँ: समीकरणों की तरह हल करें, लेकिन ऋणात्मक से गुणा/भाग करते समय चिह्न उलटें।
हल-समुच्चय: असमिका संकेतन (जैसे \(x\ge 2\)) या अंतराल संकेतन (जैसे \([2,\infty)\)) से बताएं।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना प्रश्नोत्तरी फिर से आजमाएं। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक फिर खोलें और जिस हल-कौशल की जरूरत हो उस पृष्ठ को दोहराएं (एक-चरणीय, दो-चरणीय, बहु-चरणीय, या असमिकाएँ)।
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