La convergence uniforme signifie une borne d’erreur unique pour tout le domaine

Idée clé

La suite \(f_n:E\to\mathbb{R}\) converge uniformément vers \(f\) si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\) tel que \(n\ge N\) implique \(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\) pour tout \(x\in E\). De façon équivalente, \(\|f_n-f\|_\infty\to0\).

Liste de reconnaissance

• Commencez par identifier la limite simple \(f\).
• Calculez ou majorez l’erreur \(|f_n(x)-f(x)|\).
• Prenez le supremum sur tout le domaine.
• Si le supremum tend vers \(0\), la convergence est uniforme.
• Si le supremum reste éloigné de \(0\), ou est infini, la convergence n’est pas uniforme.

Exemple corrigé

À vous

Le domaine décide souvent si la convergence est uniforme

Idée clé

La convergence uniforme est globale. Une suite peut converger uniformément sur un intervalle plus petit mais échouer sur un intervalle plus grand parce que la pire erreur se déplace vers une extrémité ou s’échappe vers l’infini.

Exemples classiques

• \(x/n\to0\) uniformément sur \([0,1]\), car la plus grande erreur est \(1/n\).
• \(x/n\) ne converge pas uniformément vers \(0\) sur \([0,\infty)\), car l’erreur est non bornée pour \(n\) fixé.
• \(x^n\to0\) uniformément sur \([0,a]\) pour \(0<a<1\), car la plus grande erreur est \(a^n\).
• \(x^n\) ne converge pas uniformément vers sa limite simple sur \([0,1]\), puisque des fonctions continues auraient une limite uniforme continue.

Exemple corrigé

À vous

La convergence uniforme peut se tester sans connaître d’abord la limite

Idée clé

Une suite \(f_n\) est uniformément de Cauchy sur \(E\) si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\) tel que \(m,n\ge N\) implique \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\). Pour les fonctions à valeurs réelles, cela équivaut à la convergence uniforme lorsque la limite simple existe.

Liste de reconnaissance

• Estimez \(|f_n(x)-f_m(x)|\) sans choisir de \(x\) spécial.
• Prenez le supremum sur \(E\).
• Forcez ce supremum à être inférieur à \(\varepsilon\) pour tous les grands \(m,n\).
• Pour les séries de fonctions, appliquez la même idée aux queues des sommes partielles.

Exemple corrigé

À vous

La convergence uniforme des séries vient du contrôle uniforme des queues

Idée clé

Pour une série \(\sum u_n(x)\), la convergence uniforme signifie que les sommes partielles convergent uniformément. Le critère de Weierstrass dit : si \(|u_n(x)|\le M_n\) pour tout \(x\) et si \(\sum M_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge uniformément et absolument.

Étapes du critère de Weierstrass

• Trouvez une borne \(|u_n(x)|\le M_n\) qui ne dépend pas de \(x\).
• Vérifiez que \(\sum M_n\) converge comme série numérique.
• Concluez à la convergence uniforme absolue de \(\sum u_n(x)\).
• Utilisez les estimations de queue \(\sum_{n>N}M_n\) lorsqu’il faut une borne d’erreur explicite.

Exemple corrigé

À vous

Les limites uniformes préservent une structure que les limites simples peuvent perdre

Idée clé

La convergence uniforme permet à une même borne d’erreur de fonctionner près de chaque point, donc elle est assez forte pour préserver la continuité. Elle se comporte aussi bien avec l’addition, la soustraction, la multiplication par une fonction bornée et la conservation d’une constante de Lipschitz commune.

Propriétés préservées

• Si chaque \(f_n\) est continue et si \(f_n\to f\) uniformément, alors \(f\) est continue.
• Si \(f_n\to f\) et \(g_n\to g\) uniformément, alors \(f_n-g_n\to f-g\) uniformément.
• Si \(g\) est bornée et si \(f_n\to f\) uniformément, alors \(g f_n\to g f\) uniformément.
• Si chaque \(f_n\ge0\), alors la limite simple \(f\ge0\).
• Les limites uniformes de fonctions bornées sont bornées si un \(f_n\) assez tardif est borné.
• Si chaque \(f_n\) est lipschitzienne avec la même constante \(L\), alors la limite est lipschitzienne de constante \(L\).

Exemple corrigé

À vous

Les limites commutent plus facilement avec les intégrales qu’avec les dérivées

Idée clé

Si \(f_n\to f\) uniformément sur \([a,b]\), alors \(\int_a^b f_n\to\int_a^b f\), car l’intégrale de l’erreur vaut au plus \((b-a)\|f_n-f\|_\infty\). Les dérivées sont plus exigeantes : la convergence uniforme de \(f_n\) seule n’implique pas \(f_n^\prime\to f^\prime\).

Schémas de théorèmes

• Règle d’intégration : la convergence uniforme sur un intervalle borné permet \(\lim_n\int_a^b f_n=\int_a^b f\).
• Règle de dérivation : si \(f_n^\prime\to g\) uniformément et si \(f_n(x_0)\) converge en un point, alors \(f_n\) converge uniformément vers une fonction dérivable \(f\) telle que \(f^\prime=g\).
• Avertissement : dériver terme à terme une limite simple, ou seulement uniforme, demande plus que la convergence uniforme des fonctions.

Exemple corrigé

À vous

Éviter les pièges courants de la convergence uniforme

Pièges courants

• La convergence simple n’implique pas la convergence uniforme : \(x^n\) sur \([0,1]\) est l’avertissement classique.
• La convergence uniforme dépend du domaine : \(x/n\) fonctionne sur \([0,1]\) mais échoue sur \([0,\infty)\).
• La préservation de la continuité vaut seulement pour les limites uniformes : les limites simples peuvent être discontinues.
• Le critère de Weierstrass est suffisant, pas nécessaire : ne pas trouver de \(M_n\) ne prouve pas automatiquement la non-convergence uniforme.
• L’échange avec les dérivées demande de contrôler les dérivées : la convergence uniforme de \(f_n\) seule ne suffit pas.
• Les termes d’une série doivent s’annuler uniformément : si \(\sum u_n\) converge uniformément, alors \(u_n\to0\) uniformément.

Exemple corrigé

À vous

Récapitulatif final

• La convergence uniforme signifie \(\sup_x|f_n-f|\to0\).
• La convergence uniforme implique toujours la convergence simple, mais pas réciproquement.
• La même formule peut converger uniformément sur un domaine et échouer sur un domaine plus grand.
• Le critère de Cauchy uniforme contrôle \(\sup_x|f_n-f_m|\).
• Le critère de Weierstrass prouve la convergence uniforme absolue des séries de fonctions.
• Les limites uniformes de fonctions continues sont continues.
• La convergence uniforme préserve aussi la bornitude, la non-négativité, la multiplication par une fonction bornée et les constantes de Lipschitz communes sous les hypothèses usuelles.
• La convergence uniforme sur \([a,b]\) permet de faire passer les limites à travers les intégrales définies.
• Faire passer les limites à travers les dérivées exige la convergence uniforme des dérivées plus la convergence en un point.