समान अभिसरण का अर्थ है पूरे प्रांत के लिए एक ही त्रुटि-सीमा

मुख्य विचार

अनुक्रम \(f_n:E\to\mathbb{R}\), \(f\) की ओर समान रूप से अभिसरित होता है यदि हर \(\varepsilon>0\) के लिए कोई \(N\) हो ताकि \(n\ge N\) से \(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\) हर \(x\in E\) के लिए मिले। समतुल्य रूप से, \(\|f_n-f\|_\infty\to0\)।

पहचान जाँच-सूची

• पहले बिंदुवार सीमा \(f\) पहचानें।
• त्रुटि \(|f_n(x)-f(x)|\) निकालें या उसका बंधन दें।
• पूरे प्रांत पर सुप्रीमम लें।
• यदि सुप्रीमम \(0\) की ओर जाता है, तो अभिसरण समान है।
• यदि सुप्रीमम \(0\) से दूर रहता है, या अनंत है, तो अभिसरण समान नहीं है।

हल किया हुआ उदाहरण

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अभिसरण समान है या नहीं, यह अक्सर प्रांत तय करता है

मुख्य विचार

समान अभिसरण वैश्विक होता है। कोई अनुक्रम छोटे अंतराल पर समान रूप से अभिसरित हो सकता है, लेकिन बड़े अंतराल पर असफल हो सकता है, क्योंकि सबसे खराब त्रुटि किसी अंत-बिंदु की ओर खिसकती है या अनंत की ओर निकल जाती है।

मानक उदाहरण

• \(x/n\to0\), \([0,1]\) पर समान रूप से होता है, क्योंकि सबसे बड़ी त्रुटि \(1/n\) है।
• \(x/n\), \(0\) की ओर \([0,\infty)\) पर समान रूप से अभिसरित नहीं होता, क्योंकि स्थिर \(n\) के लिए त्रुटि अपरिबद्ध है।
• \(x^n\to0\), \([0,a]\) पर \(0<a<1\) के लिए समान रूप से होता है, क्योंकि सबसे बड़ी त्रुटि \(a^n\) है।
• \(x^n\), \([0,1]\) पर अपनी बिंदुवार सीमा की ओर समान रूप से अभिसरित नहीं होता, क्योंकि सतत फलनों की समान सीमा सतत होती।

हल किया हुआ उदाहरण

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समान अभिसरण को सीमा पहले जाने बिना भी जाँचा जा सकता है

मुख्य विचार

अनुक्रम \(f_n\), \(E\) पर समान कौशी है यदि हर \(\varepsilon>0\) के लिए कोई \(N\) हो ताकि \(m,n\ge N\) से \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\) मिले। वास्तविक-मान फलनों के लिए, जब भी बिंदुवार सीमा मौजूद हो, यह समान अभिसरण के समतुल्य है।

पहचान जाँच-सूची

• \(|f_n(x)-f_m(x)|\) का आकलन करें, बिना कोई विशेष \(x\) चुने।
• \(E\) पर सुप्रीमम लें।
• उस सुप्रीमम को \(\varepsilon\) से छोटा करें सभी पर्याप्त बड़े \(m,n\) के लिए।
• फलन श्रेणियों के लिए यही विचार आंशिक योगों की पूंछों पर लागू करें।

हल किया हुआ उदाहरण

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श्रेणियों का समान अभिसरण समान पूंछ-नियंत्रण से आता है

मुख्य विचार

श्रेणी \(\sum u_n(x)\) के लिए समान अभिसरण का अर्थ है कि आंशिक योग समान रूप से अभिसरित हों। वायरस्ट्रास M-परीक्षण कहता है: यदि \(|u_n(x)|\le M_n\) हर \(x\) के लिए और \(\sum M_n\) अभिसरित है, तो \(\sum u_n\) समान रूप से और निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती है।

M-परीक्षण के चरण

• ऐसा बंधन \(|u_n(x)|\le M_n\) खोजें जो \(x\) पर निर्भर न हो।
• जाँचें कि \(\sum M_n\) संख्यात्मक श्रेणी के रूप में अभिसरित है।
• \(\sum u_n(x)\) के समान निरपेक्ष अभिसरण का निष्कर्ष निकालें।
• जब स्पष्ट त्रुटि-सीमा चाहिए, तो पूंछ आकलन \(\sum_{n>N}M_n\) उपयोग करें।

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समान सीमाएँ वह संरचना बचाती हैं जिसे बिंदुवार सीमाएँ खो सकती हैं

मुख्य विचार

समान अभिसरण हर बिंदु के पास एक ही त्रुटि-सीमा को काम करने देता है, इसलिए यह सततता को बचाने के लिए पर्याप्त मजबूत है। यह जोड़, घटाव, परिबद्ध फलन से गुणन और साझा लिप्शिट्ज़ नियतांक के संरक्षण में भी अच्छा व्यवहार करता है।

संरक्षित गुण

• यदि प्रत्येक \(f_n\) सतत है और \(f_n\to f\) समान रूप से, तो \(f\) सतत है।
• यदि \(f_n\to f\) और \(g_n\to g\) समान रूप से, तो \(f_n-g_n\to f-g\) समान रूप से।
• यदि \(g\) परिबद्ध है और \(f_n\to f\) समान रूप से, तो \(g f_n\to g f\) समान रूप से।
• यदि प्रत्येक \(f_n\ge0\), तो बिंदुवार सीमा \(f\ge0\)।
• परिबद्ध फलनों की समान सीमाएँ परिबद्ध होती हैं, यदि कोई पर्याप्त बाद वाला \(f_n\) परिबद्ध हो।
• यदि हर \(f_n\) समान नियतांक \(L\) के साथ लिप्शिट्ज़ है, तो सीमा भी नियतांक \(L\) के साथ लिप्शिट्ज़ है।

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सीमाएँ समाकलों के साथ अवकलजों की तुलना में आसानी से अदलती हैं

मुख्य विचार

यदि \(f_n\to f\), \([a,b]\) पर समान रूप से, तो \(\int_a^b f_n\to\int_a^b f\), क्योंकि त्रुटि का समाकल अधिकतम \((b-a)\|f_n-f\|_\infty\) है। अवकलज अधिक कठोर हैं: केवल \(f_n\) का समान अभिसरण \(f_n^\prime\to f^\prime\) नहीं देता।

प्रमेय पैटर्न

• समाकल नियम: परिबद्ध अंतराल पर समान अभिसरण \(\lim_n\int_a^b f_n=\int_a^b f\) की अनुमति देता है।
• अवकलज नियम: यदि \(f_n^\prime\to g\) समान रूप से और \(f_n(x_0)\) किसी एक बिंदु पर अभिसरित है, तो \(f_n\) एक अवकलनीय \(f\) की ओर समान रूप से अभिसरित होता है और \(f^\prime=g\)।
• चेतावनी: किसी बिंदुवार या केवल समान सीमा का पद-दर-पद अवकलन करने के लिए फलनों के समान अभिसरण से अधिक चाहिए।

हल किया हुआ उदाहरण

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समान अभिसरण की सामान्य भूलों से बचें

सामान्य भूलें

• बिंदुवार से समान जरूरी नहीं: \(x^n\) \([0,1]\) पर मानक चेतावनी है।
• समानता प्रांत पर निर्भर करती है: \(x/n\), \([0,1]\) पर ठीक है लेकिन \([0,\infty)\) पर असफल है।
• सततता का संरक्षण केवल समान सीमाओं के लिए काम करता है: बिंदुवार सीमाएँ असतत हो सकती हैं।
• M-परीक्षण पर्याप्त है, आवश्यक नहीं: \(M_n\) न मिलना अपने-आप असमान अभिसरण सिद्ध नहीं करता।
• अवकलजों की अदला-बदली के लिए अवकलज-नियंत्रण चाहिए: केवल \(f_n\) का समान अभिसरण पर्याप्त नहीं।
• श्रेणी के पद समान रूप से शून्य होने चाहिए: यदि \(\sum u_n\) समान रूप से अभिसरित है, तो \(u_n\to0\) समान रूप से।

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अंतिम पुनरावलोकन

• समान अभिसरण का अर्थ है \(\sup_x|f_n-f|\to0\)।
• समान अभिसरण हमेशा बिंदुवार अभिसरण देता है, लेकिन उल्टा हमेशा नहीं।
• वही सूत्र एक प्रांत पर समान हो सकता है और बड़े प्रांत पर असफल हो सकता है।
• समान कौशी कसौटी \(\sup_x|f_n-f_m|\) को नियंत्रित करती है।
• M-परीक्षण फलन श्रेणियों का समान निरपेक्ष अभिसरण सिद्ध करता है।
• सतत फलनों की समान सीमाएँ सतत होती हैं।
• सामान्य परिकल्पनाओं के अधीन समान अभिसरण परिबद्धता, अऋणात्मकता, परिबद्ध गुणन और साझा लिप्शिट्ज़ नियतांकों को भी सुरक्षित रखता है।
• \([a,b]\) पर समान अभिसरण निश्चित समाकलों के भीतर सीमा ले जाने देता है।
• अवकलजों के भीतर सीमा ले जाने के लिए अवकलजों का समान अभिसरण और एक बिंदु पर अभिसरण चाहिए।