सम्मिश्र विश्लेषण सम्मिश्र संख्याओं को ज्यामिति, अवकलनीयता और समाकलन से जोड़ता है। इस पाठ में आप \(z=x+iy\), घातांकीय रूप, होलोमॉर्फिकता, विलक्षणताएँ और अवशेष की मूल भाषा सीखेंगे।
सफलता मानदंड
सम्मिश्र संख्या को आयताकार और ध्रुवीय रूप में लिखना।
संयुग्म, मापांक और कोणांक निकालना।
ऑयलर सूत्र और घातांकीय प्रतिचित्र समझना।
कॉशी-रीमान समीकरण जाँचना।
विलक्षणता प्रकार और अवशेष पहचानना।
मुख्य शब्दावली
सम्मिश्र संख्या: \(z=x+iy\)।
संयुग्म: \(\bar z=x-iy\)।
मापांक: \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)।
होलोमॉर्फिक: खुले समुच्चय पर सम्मिश्र अवकलनीय।
अवशेष: लॉरां विस्तार में \((z-a)^{-1}\) का गुणांक।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: \(z=3+4i\) का मापांक क्या है?
संकेत: \(|z|=\sqrt{3^2+4^2}\)।
पूर्व-जाँच 2: \(w=e^{it}\) किस समुच्चय पर चलता है?
संकेत: \(e^{it}=\cos t+i\sin t\)।
सम्मिश्र संख्याएँ
आयताकार, ध्रुवीय और संयुग्म रूप
लक्ष्य: \(z=x+iy\), \(\bar z\), \(|z|\) और कोणांक को समझना।
मुख्य विचार
सम्मिश्र संख्या तल में बिंदु \((x,y)\) जैसा है। \(z=x+iy\), संयुग्म \(\bar z=x-iy\), और \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(z=1-i\) का संयुग्म और मापांक।
\(\bar z=1+i\), और \(|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\)।
स्वयं प्रयास करें
प्रयास 1: \(z=2+3i\) का संयुग्म?
संकेत: काल्पनिक भाग का चिह्न बदलें।
प्रयास 2: \(z=6+8i\) का मापांक?
संकेत: \(\sqrt{6^2+8^2}\)।
सारांश
संयुग्म काल्पनिक भाग का चिह्न बदलता है।
मापांक मूलबिंदु से दूरी है।
कोणांक कोण है।
सम्मिश्र घातांक
ऑयलर सूत्र और घातांकीय प्रतिचित्र
लक्ष्य: \(e^{z}\) और \(e^{i\theta}\) का ज्यामितीय अर्थ समझना।
मुख्य विचार
ऑयलर सूत्र कहता है \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)। इसलिए काल्पनिक घातांक घूर्णन देता है।
