Questionário de Prática de Funções Complexas com Aula Interativa Passo a Passo

Números complexos, conjugados, módulo e álgebra rápida

Ideia principal

Um número complexo é \(z=x+iy\), onde \(x=\Re(z)\) e \(y=\Im(z)\). O conjugado complexo é \[ \overline{z}=x-iy. \] O módulo (valor absoluto) é \[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}. \] Uma identidade essencial é \[ z\overline{z}=|z|^2. \] É por isso que multiplicar pelo conjugado ajuda a simplificar frações como \(\frac{1}{a+bi}\).

Exemplo resolvido

Pratique

Resumo

• Conjugado: \(\overline{x+iy}=x-iy\).
• Módulo: \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\).
• Identidade: \(z\overline{z}=|z|^2\).

Fórmula de Euler, \(e^z\) e imagens de curvas

Ideia principal

A fórmula de Euler conecta exponenciais e trigonometria: \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \] Para um número complexo geral \(z=x+iy\), \[ e^z=e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y). \] Isso mostra dois efeitos importantes da aplicação:

• Mudar \(x\) escala a magnitude: \(|e^z|=e^x\).
• Mudar \(y\) gira o argumento por \(y\) (mod \(2\pi\)).

Além disso, a exponencial é periódica na direção imaginária: \[ e^{z+2\pi i}=e^z. \] Portanto, \(e^z\) não é injetiva em \(\mathbb{C}\).

Exemplo resolvido

Pratique

Resumo

• \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\): escala por \(e^x\), gira por \(y\).
• \(e^z\) não é injetiva em \(\mathbb{C}\) por causa da periodicidade \(2\pi i\).
• A inversão \(w=1/z\) envia \(|z|=1\) para \(|w|=1\).

Funções analíticas, equações de Cauchy-Riemann e não exemplos comuns

Ideia principal

Escreva uma função complexa como \[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy. \] Se \(u\) e \(v\) têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas e \(f\) é complexamente diferenciável, então as equações de Cauchy-Riemann devem valer: \[ u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x. \] Muitas funções deixam de ser holomorfas porque dependem de \(\overline{z}\) ou \(|z|\), o que mistura \(x\) e \(y\) de modo não analítico.

Exemplo resolvido

Pratique

Resumo

• Holomorfa \(\Rightarrow\) Cauchy-Riemann (sob hipóteses suaves).
• \(\overline{z}\) e \(|z|^2\) não são holomorfas em nenhum ponto de \(\mathbb{C}\).
• Funções multivaloradas (como \(z^z\)) exigem escolhas de ramo; elas não são analíticas em todo \(\mathbb{C}\).

Funções inteiras, séries de potências e séries geométricas em \(\mathbb{C}\)

Ideia principal

Uma função é inteira se é holomorfa em todo \(\mathbb{C}\). Exemplos clássicos incluem polinômios e \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\). Séries de potências no plano complexo se comportam como séries de potências reais: elas têm um raio de convergência \(R\), convergem absolutamente para \(|z-a|<R\) e divergem para \(|z-a|>R\).

Um exemplo essencial é a série geométrica: \[ \sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^n \] que converge exatamente quando \(|z-a|<1\) e, nesse caso, soma \(\frac{1}{1-(z-a)}\).

Exemplo resolvido

Pratique

Resumo

• Inteira significa holomorfa em todo \(\mathbb{C}\).
• \(e^z,\sin z,\cos z\) e polinômios são inteiras.
• \(\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^n\) converge exatamente quando \(|z-1|<1\).

Classificando singularidades: removíveis, polos e essenciais

Ideia principal

Uma singularidade isolada em \(z=a\) é um ponto onde \(f\) não é holomorfa em \(a\), mas é holomorfa em uma vizinhança perfurada \(0<|z-a|<r\). Três tipos principais:

• Singularidade removível: \(f\) pode ser redefinida em \(a\) para se tornar holomorfa (muitas vezes ocorre quando um fator cancela).
• Polo de ordem \(m\): \((z-a)^m f(z)\) é holomorfa e não nula em \(a\). Um polo simples tem \(m=1\).
• Singularidade essencial: nem removível nem polo; a série de Laurent tem infinitos termos com potências negativas.

Exemplo resolvido

Pratique

Resumo

• \(e^{1/z}\) e \(\sin(1/z)\) têm singularidades essenciais em \(z=0\).
• \(\frac{\sin z}{z}\) tem singularidade removível em \(0\) (defina o valor como \(1\)).
• \(\frac{\sin(1/z)}{z}\) tem singularidade essencial em \(0\).

Resíduos em polos simples e cálculos rápidos

Ideia principal

Se \(f\) tem um polo simples em \(z=a\), então seu resíduo é \[ \operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z). \] Uma função racional \(\frac{p(z)}{q(z)}\) costuma ter polos onde \(q(z)=0\) (se \(p(a)≠ 0\) e o zero é simples).

Exemplo resolvido

Pratique

Resumo

• Resíduo em polo simples: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• \(\tan z\) tem polos simples em \(\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Integrais de contorno, preservação de ângulos e recapitulação final

Fato central de integral de contorno

Para o círculo unitário \(|z|=1\), uma identidade fundamental é: \[ \oint_{|z|=1} z^n\,dz = \begin{cases} 2\pi i, & n=-1,\\ 0, & n≠ -1, \end{cases} \] onde \(n\) é um inteiro. Em particular, \[ \oint_{|z|=1} z^2\,dz = 0. \]

Preservação de ângulos (conformalidade)

Funções holomorfas com derivada não nula preservam ângulos entre curvas suaves (são conformes). A aplicação \(f(z)=\overline{z}\) não é holomorfa; ela reflete o plano e não preserva ângulos orientados, portanto não é conforme.

Exemplo resolvido

Pratique

Recapitulação final

• Conjugado e módulo: \(\overline{x+iy}=x-iy\), \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(z\overline{z}=|z|^2\).
• Exponencial: \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\), e \(e^{z+2\pi i}=e^z\) (não injetiva em \(\mathbb{C}\)).
• Holomorfa: verifique Cauchy-Riemann; \(\overline{z}\) e \(|z|^2\) não são holomorfas em nenhum ponto.
• Inteira: holomorfa em todo \(\mathbb{C}\); exemplos incluem \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), polinômios.
• Singularidades: removível (por exemplo, \(\sin z/z\) em \(0\)), polos, essencial (por exemplo, \(e^{1/z}\) em \(0\)).
• Resíduo em polo simples: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• Integral de contorno: \(\oint_{|z|=1} z^2\,dz=0\).