चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ निर्देशांक ज्यामिति अभ्यास प्रश्नोत्तरी
पृष्ठ के ऊपर दिए प्रश्नोत्तरी से निर्देशांक ज्यामिति (जिसे विश्लेष्य ज्यामिति भी कहते हैं) का अभ्यास करें, निर्देशांक तल / Cartesian तल पर: क्रमित युग्म पहचानना, चतुर्थांश पढ़ना, बिंदु on t निर्देशांक grid आलेख और व्याख्या करना करना, ढाल (ढाल) गणना करना करना, समीकरण का a रेखा लिखना (ढाल-अवरोध रूप, बिंदु-ढाल रूप, और मानक रूप), x-अवरोध और y-अवरोध निकालना, समानांतर रेखाएँ और लंबवत रेखाएँ के साथ काम करना, और रेखा खंडs के लिए दूरी सूत्र तथा मध्यबिंदु सूत्र उपयोग करना। यदि आपको पुनरावृत्ति चाहिए, तो हल किया हुआ उदाहरण और त्वरित जाँचें वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
यह निर्देशांक ज्यामिति अभ्यास कैसे काम करता है
1. प्रश्नोत्तरी लें: पृष्ठ के ऊपर दिए निर्देशांक ज्यामिति प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): निर्देशांक तल, ढाल, रेखा समीकरण, अवरोध, दूरी, मध्यबिंदु, और समानांतर/लंबवत नियम दोहराएं।
3. दोबारा प्रयास करें: प्रश्नोत्तरी पर लौटें और निर्देशांक ज्यामिति सूत्र तुरंत लागू करें।
निर्देशांक ज्यामिति पाठ में आप क्या सीखेंगे
निर्देशांक तल आधारs
क्रमित युग्म \((x,y)\), मूलबिंदु, और x-अक्ष / y-अक्ष
द्विघातचतुर्थांशs और \((x,y)\) के चिह्न पैटर्न
परावर्तन across t x-अक्ष और y-अक्ष
ढाल (ढाल) और रेखा दिशा
ढाल सूत्र \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) और rise over run
विशेष cases: क्षैतिज रेखाएँ (ढाल \(0\)) और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ (ढाल अपरिभाषित)
ढाल मान से steepness और दिशा पढ़ना
रेखाएँ की समीकरण और अवरोध
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+b\) और y-अवरोध \((0,b)\)
बिंदु-ढाल रूप \(y-y_1=m(x-x_1)\), बिंदु और ढाल से
मानक रूप \(Ax+By=C\) से x-अवरोध और y-अवरोध निकालना
जब आप तैयार हों, पृष्ठ के ऊपर वाले प्रश्नोत्तरी पर लौटें और निर्देशांक ज्यामिति का अभ्यास जारी रखें।
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निर्देशांक ज्यामिति
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निर्देशांक ज्यामिति पाठ
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पाठ सारांश
पाठ सारांश
उद्देश्य:निर्देशांक ज्यामिति (विश्लेष्य ज्यामिति) की स्पष्ट समझ बनाएँ ताकि आप निर्देशांक तल पर विश्वास से काम कर सकें: बिंदु प्लॉट करें करना, चतुर्थांश पढ़ना, ढाल गणना करना करना, समीकरण का a रेखा लिखना, अवरोध निकालना, और दूरी तथा मध्यबिंदु सूत्र उपयोग करना।
सफलता मानदंड
निर्देशांक तल पर मूलबिंदु, x-अक्ष, y-अक्ष, और चतुर्थांश पहचानें।
क्रमित युग्म \((x,y)\) सही प्लॉट करें और व्याख्या करना करें।
दो बिंदु से रेखा की ढाल (ढाल) निकालें।
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ की ढाल पहचानें।
समीकरण का a रेखा को ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+b\) और बिंदु-ढाल रूप \(y-y_1=m(x-x_1)\) में लिखें।
समीकरण से x-अवरोध और y-अवरोध निकालें।
समानांतर और लंबवत रेखाएँ के लिए ढाल नियम उपयोग करें।
निर्देशांक तल पर रेखा खंडs के लिए दूरी सूत्र और मध्यबिंदु सूत्र उपयोग करें।
Axes across परावर्तन उपयोग करें: across x-अक्ष \((x,y)\to(x,-y)\) और across y-अक्ष \((x,y)\to(-x,y)\).
मुख्य शब्दावली
निर्देशांक तल (Cartesian तल): लंबवत संख्या रेखाएँ (x-अक्ष और y-अक्ष) से बना grid।
क्रमित pair: \((x,y)\), जहां \(x\) क्षैतिज निर्देशांक और \(y\) ऊर्ध्वाधर निर्देशांक है।
आरंभ: बिंदु \((0,0)\), जहां axes मिलते हैं।
द्विघातचतुर्थांश: axes से भागd तल के चार regions में से एक (I, II, III, IV)।
ढाल (ढाल): \(m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\), \(x\) के संदर्भ में \(y\) का परिवर्तन दर।
y-अवरोध: जहां रेखा y-अक्ष cross करती है; \(y=mx+b\) में यह \(b\) है।
समानांतर रेखाएँ: समान ढाल वाली रेखाएँ।
लंबवत रेखाएँ: \(90^\circ\) पर मिलने वाली रेखाएँ; ढालें ऋणात्मक व्युत्क्रम होती हैं (जब परिभाषित करेंd हों)।
त्वरित पूर्व-जांच
पूर्व-जांच 1: बिंदु \((-2,3)\) किस चतुर्थांश में है?
संकेत: द्विघातचतुर्थांश II में \(x<0\) और \(y>0\) होता है।
पूर्व-जांच 2: \((1,1)\) और \((4,4)\) से गुजरने वाली रेखा की ढाल क्या है?
संकेत: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) उपयोग करें।
निर्देशांक तल
निर्देशांक तल और प्लॉट करना बिंदु
सीखने का लक्ष्य: क्रमित युग्म पढ़ें, चतुर्थांश पहचानें, और निर्देशांक तल पर reflection नियम लागू करें।
मुख्य विचार
निर्देशांक तल, x-अक्ष (क्षैतिज) और y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर) से बनता है। बिंदु क्रमित pair \((x,y)\) के रूप में लिखा जाता है। \(x\) और \(y\) का चिह्न चतुर्थांश बताता है। परावर्तन quick निर्देशांक changes हैं:
Across t x-अक्ष: \((x,y)\to(x,-y)\)
Across t y-अक्ष: \((x,y)\to(-x,y)\)
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \((-2,3)\) प्लॉट करें करें और उसे x-अक्ष across reflect करें।
\((-2,3)\) का अर्थ 2 left और 3 ऊपर है, इसलिए यह द्विघातचतुर्थांश II में है। x-अक्ष across reflection में केवल \(y\)-मान चिह्न बदलती है: \[ (-2,3)\to(-2,-3). \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \((-2,4)\) का x-अक्ष across reflection क्या है?
संकेत: x-अक्ष across, \(x\) समान रहता है और \(y\) चिह्न बदलता है।
खुद कोशिश 2: \((-3,2)\) से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा की समीकरण क्या है?
संकेत: ऊर्ध्वाधर रेखा पर हर बिंदु के लिए \(x\) स्थिरांक रहता है।
Axes across परावर्तन एक निर्देशांक का चिह्न flip करते हैं।
ढाल
ढाल (ढाल) और परिवर्तन दर
सीखने का लक्ष्य: दो बिंदु से ढाल गणना करना करें और ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज रेखाएँ की विशेष ढालें पहचानें।
मुख्य विचार
\((x_1,y_1)\) और \((x_2,y_2)\) से गुजरने वाली रेखा की ढाल \(m\) है: \[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \] ढाल बताता है कि \(x\) में 1 इकाई परिवर्तन के लिए \(y\) कितना बदलता है (rise over run)। क्षैतिज रेखा की ढाल \(0\) होती है। ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित होती है क्योंकि \(x_2-x_1=0\).
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \((-2,5)\) और \((4,-1)\) से गुजरने वाली रेखा की ढाल क्या है?
\[ m=\frac{-1-5}{4-(-2)}=\frac{-6}{6}=-1. \] ढाल \(-1\) का अर्थ है कि \(x\) 1 से बढ़ने पर \(y\) 1 से घटता है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \((1,2)\) और \((3,6)\) से गुजरने वाली रेखा की ढाल क्या है?
संकेत: \(m=\dfrac{6-2}{3-1}\).
खुद कोशिश 2: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=5\) की ढाल क्या है?
संकेत: ऊर्ध्वाधर रेखा के लिए \(\Delta x=0\), इसलिए \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) परिभाषित करेंd नहीं है।
सारांश
ढाल सूत्र: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
क्षैतिज ढाल \(=0\); ऊर्ध्वाधर ढाल अपरिभाषित है।
रेखा समीकरण
रेखा की समीकरण: ढाल-अवरोध और बिंदु-ढाल
सीखने का लक्ष्य: ढाल-अवरोध रूप और बिंदु-ढाल रूप से रेखा समीकरण लिखें, और समानांतर रेखाएँ पहचानें।
मुख्य विचार
सबसे साझा रेखा forms हैं:
ढाल-अवरोध रूप: \(\;y=mx+b\), जहां \(m\) ढाल और \(b\) y-अवरोध है।
बिंदु-ढाल रूप: \(\;y-y_1=m(x-x_1)\), बिंदु \((x_1,y_1)\) और ढाल \(m\) से।
समानांतर रेखाएँ की समान ढाल होती है। यदि ढाल और एक बिंदु पता हो, तो बिंदु-ढाल रूप भरोसेमंद शुरूing बिंदु है।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \((-2,1)\) और \((2,3)\) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण निकालें।
पहले ढाल निकालें: \[ m=\frac{3-1}{2-(-2)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}. \] \((-2,1)\) के साथ बिंदु-ढाल रूप उपयोग करें: \[ y-1=\frac{1}{2}(x+2). \] ढाल-अवरोध रूप में सरल करें करें: \[ y=\frac{1}{2}x+2. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: ढाल \(3\) वाली और मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा की समीकरण क्या है?
संकेत: आरंभ से गुजरने का अर्थ \(y=mx+b\) में \(b=0\).
खुद कोशिश 2: \(y=5x-2\) के समानांतर और \((0,3)\) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण क्या है?
संकेत: समानांतर रेखाएँ की समान ढाल होती है। \((0,3)\) से \(b\) निकालें।
सारांश
जब ढाल और y-अवरोध पता हो (या मिल सकता हो), \(y=mx+b\) उपयोग करें।
जब ढाल और बिंदु पता हो, \(y-y_1=m(x-x_1)\) उपयोग करें।
समानांतर रेखाएँ समान ढाल share करती हैं।
अवरोध
अवरोध और मानक रूप \(Ax+By=C\)
सीखने का लक्ष्य: x-अवरोध और y-अवरोध जल्दी निकालें और निर्देशांक तल पर उनकी सही व्याख्या करें।
मुख्य विचार
अवरोध निकालने के लिए ये reliable "समुच्चय to शून्य" नियम उपयोग करें:
y-अवरोध: \(x=0\) रखें।
x-अवरोध: \(y=0\) रखें।
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+b\) में y-अवरोध \(b\) है। मानक रूप \(Ax+By=C\) में अक्सर \(x=0\) या \(y=0\) प्रतिस्थापित करें करना सबसे तेज है।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: रेखा \(y=-\tfrac{3}{4}x+2\) का y-अवरोध क्या है?
\(y=mx+b\) में y-अवरोध \(b\) होता है। यहां \(b=2\), इसलिए y-अवरोध \(2\) है (बिंदु \((0,2)\)). (Extra जाँचें: \(x=0\) रखें, तो \(y=2\).)
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: रेखा \(3x+4y=12\) का x-अवरोध क्या है?
संकेत: x-अवरोध के लिए \(y=0\) रखें और \(x\) हल करें करें।
खुद कोशिश 2: रेखा \(4x+3y=12\) का y-अवरोध क्या है?
संकेत: y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें और \(y\) हल करें करें।
सारांश
y-अवरोध: \(x=0\) रखें। x-अवरोध: \(y=0\) रखें।
\(y=mx+b\) में y-अवरोध \(b\) है।
समानांतर और लंबवत
समानांतर और लंबवत रेखाएँ
सीखने का लक्ष्य: निर्देशांक ज्यामिति में समानांतर और लंबवत रेखाएँ पहचानने और बनाने के लिए ढाल नियम उपयोग करें।
मुख्य विचार
दो non-ऊर्ध्वाधर रेखाएँ:
समानांतर होती हैं यदि उनकी समान ढाल हो।
लंबवत होती हैं यदि उनकी ढालें ऋणात्मक व्युत्क्रम हों, यानी \(m_1m_2=-1\).
विशेष cases: ऊर्ध्वाधर रेखा क्षैतिज रेखा के लंबवत होती है। (ऊर्ध्वाधर ढाल अपरिभाषित, क्षैतिज ढाल 0.)
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(y=\tfrac{3}{4}x+1\) के लंबवत रेखा की ढाल क्या है?
Given ढाल \(\tfrac{3}{4}\) है। ऋणात्मक reciprocal है: \[ -\frac{4}{3}. \] इसलिए \(y=\tfrac{3}{4}x+1\) के लंबवत किसी भी रेखा की ढाल \(-\tfrac{4}{3}\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(y=2x+1\) के लंबवत रेखा की ढाल क्या है?
संकेत: \(2\) का ऋणात्मक reciprocal लें।
खुद कोशिश 2: \((0,-2)\) से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा की समीकरण क्या है?
सीखने का लक्ष्य: निर्देशांक तल पर दूरी और मध्यबिंदु सूत्र सही उपयोग करें।
मुख्य विचार
\((x_1,y_1)\) और \((x_2,y_2)\) के बीच दूरी है: \[ d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. \] दोनों बिंदु को जोड़ने वाले खंड का मध्यबिंदु है: \[ M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right). \]
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \((0,0)\) और \((3,4)\) के बीच दूरी क्या है?
दूरी और मध्यबिंदु: \(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\) और \(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\).
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना प्रश्नोत्तरी फिर से आजमाएं। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक फिर खोलें और जिस निर्देशांक ज्यामिति कौशल की जरूरत हो, वही पृष्ठ दोहराएं।
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