अवकलज और अवकलन नियम अभ्यास क्विज़
नीचे दिए गए क्विज़ से अवकलज और अवकलन नियमों का अभ्यास करें: संकेतन \(f^{\prime}(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}\), अवकलज का अर्थ, घात नियम, योग/अंतर, गुणांक नियम, गुणनफल नियम, भागफल नियम और श्रृंखला नियम। पाठ में \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(\sqrt{x+1}\), \(\ln(\sin x)\) और \(e^{x^2}\) जैसे उदाहरण मिलेंगे।
यह अवकलज अभ्यास कैसे काम करता है
- 1. क्विज़ हल करें: नीचे दिए अवकलज और नियमों वाले प्रश्नों का उत्तर दें।
- 2. पाठ खोलें: संकेतन, सीमा-परिभाषा और मुख्य नियम उदाहरणों के साथ दोहराएँ।
- 3. फिर से प्रयास करें: गुणनफल, भागफल, श्रृंखला और त्रिकोणमितीय/लघुगणक/exp नियम तुरंत लागू करें।
अवकलज पाठ में आप क्या सीखेंगे
अवकलज की मूल बातें
- अवकलज संकेतन: \(f^{\prime}(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}[f(x)]\)
- स्थिरांक और घात नियम: \(\dfrac{d}{dx}[c]=0\), \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1}\)
- योग/अंतर और स्थिर गुणांक नियम से तेज़ अवकलन करें।
संयुक्त फलनों के लिए श्रृंखला नियम
- अंदर से बाहर अवकलन करें: यदि \(y=f(g(x))\), तो \(y^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)\)।
- \((3x-2)^4\) जैसे घात और \(\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}\) जैसे मूल संभालें।
- \(\sin(2x)\), \(\cos(2x-1)\) और \(e^{x^2}\) जैसे संयुक्त फलनों का अवकलन करें।
गुणनफल और भागफल नियम
- गुणनफल नियम: \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\)।
- भागफल नियम: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\)।
- जब आसान हो, पहले पुनर्लेखन करें; जैसे \(1/x=x^{-1}\)।
त्रिकोणमितीय, घातांकीय और लघुगणकीय अवकलज
- त्रिकोणमितीय नियम: \((\sin x)^{\prime}=\cos x\), \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\), \((\tan x)^{\prime}=\sec^2 x\)।
- घातांकीय नियम: \((e^x)^{\prime}=e^x\), और \(e^{x^2}\) में श्रृंखला नियम।
- लॉग नियम: \((\ln x)^{\prime}=\dfrac{1}{x}\), और \(\ln(x^2)\), \(\ln(\sin x)\) में श्रृंखला नियम।
अभ्यास सेट
अवकलज एवं अवकलन के नियम अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
\((2x + 5)^2\) का अवकलज क्या है?
सही उत्तर: C. \(4(2x+5)\)
व्याख्या: श्रृंखला नियम लागू करें: \(u^2\) का अवकलज \(2u\) होता है, फिर \(u'=2\) से गुणा करें, जिससे \(4(2x+5)\) मिलता है।
\(7\) का अवकलज क्या है?
सही उत्तर: A. 0
व्याख्या: किसी भी नियतांक का अवकलज \(0\) होता है।
\(5x\) का अवकलज क्या है?
सही उत्तर: D. 5
व्याख्या: नियतांक गुणन नियम के अनुसार, \(5\) गुना \(x\) का अवकलज \(5\) होता है, क्योंकि \(x\) का अवकलज \(1\) है।
\(x^2\) का अवकलज क्या है?
सही उत्तर: A. \(2x\)
व्याख्या: घातांक नियम के अनुसार, घातांक को नीचे लाएँ: \(2x^{2-1}=2x\)।
\(x^3\) का अवकलज क्या है?
सही उत्तर: B. \(3x^2\)
व्याख्या: घातांक नियम: \(x^n\) का अवकलज \(n x^{n-1}\) होता है; यहाँ \(n=3\) है, इसलिए \(\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2\)।
\(2x^2 + 3\) का अवकलज क्या है?
सही उत्तर: C. \(4x\)
व्याख्या: योग नियम: \(2x^2\) का अवकलज \(4x\) है, और नियतांक \(+3\) का अवकलज 0 है, इसलिए \(\frac{d}{dx}(2x^2+3)=4x\)।
\(x^2 + x\) का अवकलज क्या है?
सही उत्तर: D. \(2x+1\)
व्याख्या: योग नियम: \(x^2\) का अवकलज \(2x\) है, \(x\) का अवकलज 1 है, इसलिए \(\frac{d}{dx}(x^2+x)=2x+1\)।
\((x-2)^2\) का अवकलज क्या है?
सही उत्तर: B. \(2(x-2)\)
व्याख्या: चेन नियम: \((x-2)^2\) के लिए, \(u = x-2\) मानें। तब \(d(u^2)/du = 2u\) और \(du/dx=1\) होता है, जिससे \(2(x-2)\) मिलता है।
\((2x)^3\) का अवकलज क्या है?
सही उत्तर: C. \(24x^2\)
व्याख्या: चेन नियम: \((2x)^3\) के लिए, \(u = 2x\) मानें। तब \(d(u^3)/du = 3u^2\) और \(du/dx=2\) होता है, इसलिए अवकलज \(3(2x)^2\cdot2 = 24x^2\) है।
\(3x^2 - x\) का अवकलज क्या है?
सही उत्तर: D. \(6x-1\)
व्याख्या: योग नियम: \(3x^2\) का अवकलज \(6x\) है, \(-x\) का अवकलज \(-1\) है, इसलिए \(6x - 1\) मिलता है।
परिणाम
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