Kuis Latihan Turunan & Aturan Diferensiasi dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di bagian bawah halaman untuk berlatih turunan dan aturan diferensiasi dengan keterampilan yang Anda butuhkan untuk Kalkulus: notasi turunan \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), dan \(\dfrac{d}{dx}[\,\cdot\,]\), makna turunan sebagai laju perubahan sesaat dan kemiringan garis singgung, aturan inti (aturan konstanta, aturan pangkat, aturan jumlah/selisih, aturan kelipatan konstanta), ditambah tiga aturan besar: aturan hasil kali, aturan hasil bagi, dan aturan rantai. Anda juga akan menguasai turunan penting dari fungsi trigonometri (\(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\), \(\csc x\)), eksponensial (\(e^x\), \(e^{x^2}\)), dan logaritma (\(\ln x\), \(\ln(x^2)\), \(\ln(\sin x)\)). Jika ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat untuk bentuk seperti \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(\sqrt{x+1}\), dan \((x^2+1)(x^3-1)\).
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan turunan ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal turunan dan aturan diferensiasi di bagian bawah halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau notasi turunan, definisi limit, dan aturan diferensiasi utama dengan contoh yang jelas.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan langsung terapkan aturan hasil kali, aturan hasil bagi, aturan rantai, serta aturan turunan trigonometri/log/eksponensial.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran turunan & aturan diferensiasi
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas dan siap ujian tentang turunan dan aturan diferensiasi agar Anda dapat menghitung turunan dengan cepat dan benar. Anda akan mempelajari notasi turunan \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx}[f(x)]\), menghubungkan turunan dengan kemiringan garis singgung dan laju perubahan sesaat, serta menguasai aturan yang paling sering muncul di kuis dan ujian: aturan konstanta, aturan pangkat, jumlah/selisih, kelipatan konstanta, aturan hasil kali, aturan hasil bagi, dan terutama aturan rantai untuk fungsi komposit. Anda juga akan berlatih turunan standar untuk fungsi trigonometri, eksponensial, dan logaritma, termasuk komposit seperti \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(\sqrt{x+1}\), \(\ln(\sin x)\), dan \(e^{x^2}\).
Kriteria keberhasilan
Membaca dan menulis notasi turunan: \(f'(x)\), \(\dfrac{dy}{dx}\), dan \(\dfrac{d}{dx}[\,\cdot\,]\).
Menggunakan aturan konstanta: \(\dfrac{d}{dx}[c]=0\) dan kelipatan konstanta: \(\dfrac{d}{dx}[cf]=c f'\).
Menggunakan aturan pangkat: \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}\) (termasuk pangkat negatif dan pecahan).
Menurunkan jumlah dan selisih dengan cepat: \((f\pm g)'=f'\pm g'\).
Menerapkan aturan hasil kali: \((uv)'=u'v+uv'\).
Menerapkan aturan hasil bagi: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \(v≠ 0\).
Menerapkan aturan rantai untuk fungsi komposit: \((f(g(x)))'=f'(g(x))\,g'(x)\).
Fungsi komposit: fungsi di dalam fungsi lain, seperti \(\cos(2x-1)\) atau \((3x-2)^4\).
Aturan rantai: aturan yang dipakai untuk turunan fungsi komposit.
Hasil kali/hasil bagi: bentuk seperti \(x\sin x\) atau \(\dfrac{x^2+1}{x}\) yang membutuhkan aturan hasil kali atau hasil bagi (atau penulisan ulang yang cerdas).
Cek awal cepat
Cek awal 1: Apa turunan dari fungsi konstan \(f(x)=7\)?
Petunjuk: Kemiringan fungsi konstan adalah nol di semua titik.
Cek awal 2: Berapa \(\dfrac{d}{dx}\bigl[x^5 + 2x\bigr]\)?
Petunjuk: Gunakan aturan pangkat pada \(x^5\), dan turunan dari \(2x\) adalah \(2\).
Dasar Turunan
Makna turunan, notasi, dan aturan diferensiasi inti
Tujuan pembelajaran: Turunkan polinom dan kombinasi dasar dengan cepat memakai aturan konstanta, aturan pangkat, dan linearitas.
Ide utama
Turunan mengukur seberapa cepat suatu fungsi berubah. Untuk grafik \(y=f(x)\), turunan \(f'(x)\) adalah kemiringan garis singgung. Notasi umum berikut berarti hal yang sama: \[ f'(x),\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{d}{dx}[f(x)]. \] Dalam kalkulus, turunan dapat didefinisikan memakai limit (hasil bagi selisih): \[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \] tetapi kebanyakan soal latihan diselesaikan memakai aturan diferensiasi di bawah.
Aturan yang akan sering Anda gunakan
Aturan konstanta: \(\dfrac{d}{dx}[c]=0\)
Aturan pangkat: \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}\) (berlaku untuk bilangan bulat, pecahan, dan negatif)
Jumlah/selisih: \((f\pm g)'=f'\pm g'\)
Kelipatan konstanta: \((cf)'=c f'\)
Contoh dikerjakan
Contoh: Turunkan \(f(x)=x^5+2x\).
Terapkan aturan pangkat suku demi suku: \[ \frac{d}{dx}[x^5]=5x^4,\qquad \frac{d}{dx}[2x]=2. \] Jadi \[ f'(x)=5x^4+2. \]
Coba
Coba 1: Berapa \(\dfrac{d}{dx}[\,1+\sin(x)\,]\)?
Petunjuk: Turunan dari \(1\) adalah \(0\), dan \((\sin x)'=\cos x\).
Coba 2: Berapa \(\dfrac{d}{dx}[x^{-1/2}]\)?
Petunjuk: Gunakan \(\dfrac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}\) dengan \(n=-\tfrac{1}{2}\).
Ringkasan
Turunkan suku demi suku memakai linearitas: konstanta, jumlah, dan kelipatan konstanta.
Aturan pangkat berlaku untuk pangkat negatif dan pecahan (di tempat fungsi terdefinisi).
Aturan Rantai
Aturan rantai untuk fungsi komposit (diferensiasi luar-ke-dalam)
Tujuan pembelajaran: Kenali fungsi komposit dan terapkan aturan rantai dengan rapi pada pangkat, akar, trigonometri, eksponensial, dan log.
Ide utama
Fungsi komposit memiliki fungsi "dalam" dan fungsi "luar". Jika \(y=f(g(x))\), maka aturan rantai mengatakan: \[ \frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x). \] Alur cepat: identifikasi bagian dalam \(u=g(x)\), turunkan bagian luar terhadap \(u\), lalu kalikan dengan \(\dfrac{du}{dx}\).
Petunjuk: \((\cos u)'=-\sin u\), lalu kalikan dengan \(u'=(2x-1)'=2\).
Coba 2: Apa turunan dari \(\sqrt{x+1}\)?
Petunjuk: Tulis ulang \(\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}\), lalu gunakan aturan pangkat + aturan rantai.
Ringkasan
Fungsi komposit? Gunakan aturan rantai: turunan luar \(\times\) turunan dalam.
Tulis ulang akar dan pecahan sebagai pangkat jika itu menyederhanakan aturan rantai.
Turunan trigonometri
Turunan trigonometri dan komposisi umum
Tujuan pembelajaran: Hafalkan turunan trigonometri inti dan gabungkan dengan aturan rantai untuk bentuk seperti \(\sin(2x)\) dan \(\tan^2(x)\).
Turunan trigonometri inti (hafalkan ini)
\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\tan x)'=\sec^2 x\)
\((\csc x)'=-\csc x\cot x\)
Contoh dikerjakan
Contoh: Turunkan \(\tan^2(x)\).
Tulis \(\tan^2(x)=(\tan x)^2\). Misalkan \(u=\tan x\). Maka \(y=u^2\). \[ \frac{dy}{du}=2u,\qquad \frac{du}{dx}=\sec^2 x. \] Jadi \[ \frac{dy}{dx}=2u\cdot \sec^2 x=2\tan(x)\sec^2(x). \]
Coba
Coba 1: Apa turunan dari \(\sin(2x)\)?
Petunjuk: \((\sin u)'=\cos u\) dan \(u=2x\) memiliki turunan \(2\).
Coba 2: Apa turunan dari \(\csc(x)\)?
Petunjuk: Ini turunan standar: \((\csc x)'=-\csc x\cot x\).
Ringkasan
Hafalkan turunan trigonometri, lalu terapkan aturan rantai pada bentuk seperti \(\sin(2x)\) atau \((\tan x)^2\).
Hati-hati dengan tanda: \((\cos x)'=-\sin x\) dan \((\csc x)'=-\csc x\cot x\).
Hasil Kali & Hasil Bagi
Aturan hasil kali dan aturan hasil bagi (ditambah penulisan ulang cerdas)
Tujuan pembelajaran: Turunkan hasil kali seperti \(x\sin x\) dan hasil bagi seperti \(\dfrac{x^2+1}{x}\) dengan akurat dan efisien.
Aturan kunci
Aturan hasil kali: \((uv)'=u'v+uv'\)
Aturan hasil bagi: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \(v≠ 0\)
Contoh dikerjakan
Contoh: Turunkan \(y=x\sin(x)\).
Gunakan aturan hasil kali dengan \(u=x\) dan \(v=\sin x\): \[ u'=1,\qquad v'=\cos x. \] Lalu \[ y'=u'v+uv' = 1\cdot \sin x + x\cdot \cos x = \sin x + x\cos x. \]
Ini komposit: bagian luar adalah \(\ln(u)\), bagian dalam adalah \(u=\sin x\). \[ \frac{d}{dx}[\ln u]=\frac{1}{u}\cdot \frac{du}{dx},\qquad \frac{du}{dx}=\cos x. \] Jadi \[ \frac{d}{dx}[\ln(\sin x)]=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\cot x. \]
Coba
Coba 1: Berapa \(\dfrac{d}{dx}[\,e^{x^2}\,]\)?
Petunjuk: \((e^u)'=e^u\cdot u'\) dan \(u=x^2\) memiliki turunan \(2x\).
Coba 2: Berapa \(\dfrac{d}{dx}\bigl(\ln(x^2)\bigr)\) untuk \(x≠ 0\)?
Petunjuk: Aturan rantai: \(\dfrac{d}{dx}[\ln u]=\dfrac{u'}{u}\) dengan \(u=x^2\).
Ringkasan
Eksponensial: \((e^u)'=e^u\cdot u'\).
Log: \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) (di mana \(u>0\)).
Banyak turunan yang terlihat sulit sebenarnya hanya aturan rantai dengan rumus dasar ini.
Strategi
Strategi cepat: pilih aturan yang tepat dan hindari kesalahan umum
Tujuan pembelajaran: Bangun daftar periksa yang andal: sederhanakan, kenali struktur (jumlah/hasil kali/hasil bagi/komposit), lalu turunkan dengan akurat.
Ide utama
Sebagian besar soal turunan menjadi mudah jika Anda lebih dulu mengenali strukturnya: jumlah/selisih, kelipatan konstanta, pangkat, hasil kali, hasil bagi, atau komposit. Jika memungkinkan, tulis ulang ke bentuk yang lebih sederhana: \[ \frac{1}{x}=x^{-1},\qquad \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2},\qquad \frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}. \] Lalu terapkan aturan sesedikit mungkin.
Petunjuk: \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) dengan \(u=\sin x\) dan \(u'=\cos x\).
Rekap akhir
Aturan inti: konstanta \(\to 0\), pangkat \(\to nx^{n-1}\), linearitas untuk jumlah dan kelipatan konstanta.
Aturan rantai: aturan paling umum dalam fungsi komposit seperti \((3x-2)^4\), \(\cos(2x-1)\), \(e^{x^2}\), \(\ln(\sin x)\).
Hasil kali/hasil bagi: gunakan \((uv)'=u'v+uv'\) dan \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) (atau sederhanakan dulu).
Trigonometri/eksponensial/log: hafalkan turunan dasar, lalu terapkan aturan rantai ketika inputnya bukan hanya \(x\).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan aturan yang Anda butuhkan (aturan pangkat, aturan rantai, aturan hasil kali, aturan hasil bagi, turunan trigonometri, eksponensial, atau logaritma).
Set latihan
Soal latihan Turunan & Aturan Diferensiasi dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Berapakah turunan dari \((2x + 5)^2\)?
Jawaban benar: C. \(4(2x+5)\)
Penjelasan: Terapkan aturan rantai: turunan dari \(u^2\) adalah \(2u\), lalu kalikan dengan \(u'=2\), sehingga diperoleh \(4(2x+5)\).
Soal 2Belum dijawab
Berapakah turunan dari \(7\)?
Jawaban benar: A. 0
Penjelasan: Turunan dari konstanta apa pun adalah \(0\).
Soal 3Belum dijawab
Berapakah turunan dari \(5x\)?
Jawaban benar: D. 5
Penjelasan: Berdasarkan aturan konstanta, \(5\) dikali turunan dari \(x\) (yaitu \(1\)) menghasilkan \(5\).
Soal 4Belum dijawab
Berapakah turunan dari \(x^2\)?
Jawaban benar: A. \(2x\)
Penjelasan: Berdasarkan aturan pangkat, turunkan pangkatnya: \(2x^{2-1}=2x\).
Soal 5Belum dijawab
Berapakah turunan dari \(x^3\)?
Jawaban benar: B. \(3x^2\)
Penjelasan: Aturan pangkat: turunan dari \(x^n\) adalah \(n x^{n-1}\); di sini \(n=3\), jadi \(\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2\).
Soal 6Belum dijawab
Berapakah turunan dari \(2x^2 + 3\)?
Jawaban benar: C. \(4x\)
Penjelasan: Aturan penjumlahan: turunan dari \(2x^2\) adalah \(4x\), dan turunan konstanta \(+3\) adalah 0, sehingga \(\frac{d}{dx}(2x^2+3)=4x\).
Soal 7Belum dijawab
Berapakah turunan dari \(x^2 + x\)?
Jawaban benar: D. \(2x+1\)
Penjelasan: Aturan penjumlahan: turunan dari \(x^2\) adalah \(2x\), turunan dari \(x\) adalah 1, sehingga \(\frac{d}{dx}(x^2+x)=2x+1\).
Soal 8Belum dijawab
Berapakah turunan dari \((x-2)^2\)?
Jawaban benar: B. \(2(x-2)\)
Penjelasan: Aturan rantai: untuk \((x-2)^2\), misalkan \(u = x-2\). Maka \(d(u^2)/du = 2u\) dan \(du/dx=1\), sehingga diperoleh \(2(x-2)\).
Soal 9Belum dijawab
Berapakah turunan dari \((2x)^3\)?
Jawaban benar: C. \(24x^2\)
Penjelasan: Aturan rantai: untuk \((2x)^3\), misalkan \(u = 2x\). Maka \(d(u^3)/du = 3u^2\) dan \(du/dx=2\), sehingga turunannya adalah \(3(2x)^2\cdot2 = 24x^2\).
Soal 10Belum dijawab
Berapakah turunan dari \(3x^2 - x\)?
Jawaban benar: D. \(6x-1\)
Penjelasan: Aturan penjumlahan: turunan dari \(3x^2\) adalah \(6x\), turunan dari \(-x\) adalah \(-1\), jadi hasilnya \(6x - 1\).
