चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ सारिणिक अभ्यास क्विज़
पृष्ठ के नीचे दिए गए क्विज़ से सारिणिकों और रैखिक बीजगणित में जरूरी सारिणिक गुणों का अभ्यास करें: सारिणिक संकेत \(\det(A)\) और यह क्या मापता है (चिह्नित क्षेत्रफल/आयतन मापन), जरूरी \(2\times 2\) सारिणिक सूत्र \(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\), \(3\times 3\) सारिणिक जिन्हें सहगुणक (Laplace) प्रसार से निकाला जाता है और शून्य वाली पंक्ति/स्तंभ चुनी जाती है, पंक्ति लघुकरण / Gaussian उन्मूलन से तेज विधियां और साथ में पंक्ति संक्रियाओं का प्रभाव देखना (पंक्तियां बदलने से चिन्ह बदलता है, पंक्ति को गुणक से गुणा करने पर सारिणिक भी उसी गुणक से बदलता है, और एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ने से सारिणिक अपरिवर्तित रहता है), विकर्ण और त्रिभुजीय आव्यूहों के तेज सारिणिक (विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल), \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\det(A^T)=\det(A)\), और \(\det(kA)=k^n\det(A)\) जैसे मुख्य बीजगणितीय नियम, तथा सारिणिक और व्युत्क्रमणीयता का संबंध (आव्यूह ठीक तभी व्युत्क्रमणीय है जब \(\det(A)? 0\)), जिसमें क्रमचय आव्यूहों के सारिणिक (\(\pm 1\)) और चिन्ह (सम/विषम क्रमचय) भी शामिल हैं। दोहराना हो तो हल किए गए उदाहरणों और छोटी जाँचों वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह सारिणिक अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: पृष्ठ के नीचे दिए गए सारिणिक प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): सूत्रों, सहगुणकों और पंक्ति संक्रियाओं से सारिणिक निकालना दोहराएं।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और गति तथा सटीकता बढ़ाने के लिए सारिणिक नियमों को तुरंत लागू करें।
सारिणिक पाठ में आप क्या सीखेंगे
\(2\times 2\) सारिणिक और तेज व्याख्या
\(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) को तेज और सटीक निकालें
\(\det(A)=0\) को अव्युत्क्रमणीय आव्यूह और व्युत्क्रमणीय न होने के रूप में समझें
\(|\det(A)|\) को द्विविम में क्षेत्रफल मापन से जोड़ें
सहगुणकों के साथ \(3\times 3\) सारिणिक
सहगुणक (Laplace) प्रसार और चिन्ह पैटर्न \((+,-,+)\) उपयोग करें
गणना सरल करने के लिए शून्य वाली पंक्ति/स्तंभ चुनें
शून्य सारिणिक जल्दी पहचानें (दोहराई हुई/समानुपाती पंक्तियां या स्तंभ)
पंक्ति संक्रियाएं और सारिणिक गुण
पंक्तियां बदलें \(\Rightarrow\) सारिणिक का चिन्ह बदलता है
किसी पंक्ति को \(k\) से गुणा करें \(\Rightarrow\) सारिणिक \(k\) से गुणा होता है
एक पंक्ति का गुणज दूसरी पंक्ति में जोड़ें \(\Rightarrow\) सारिणिक अपरिवर्तित रहता है
विशेष आव्यूह, गुणनफल और व्युत्क्रमणीयता
विकर्ण/त्रिभुजीय आव्यूह: सारिणिक विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल होता है
गुणनफल नियम: \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)
व्युत्क्रमणीयता जाँच: \(\det(A)? 0\) और \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\)
उद्देश्य:सारिणिकों की स्पष्ट समझ बनाना ताकि आप \(2\times 2\), \(3\times 3\), और बड़े वर्ग आव्यूहों के लिए आव्यूह का सारिणिक \(\det(A)\) निकाल सकें। आप \(2\times 2\) सूत्र \(ad-bc\) सीखेंगे, \(3\times 3\) के लिए उपयोगी होने पर सहगुणक (Laplace) प्रसार उपयोग करेंगे, और पंक्ति संक्रियाओं / पंक्ति लघुकरण से आव्यूह को त्रिभुजीय रूप में सरल करेंगे तथा हर संक्रिया सारिणिक को कैसे बदलती है यह देखेंगे। आप \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) और \(\det(kA)=k^n\det(A)\) जैसे मुख्य नियम भी लागू करेंगे, सारिणिकों को व्युत्क्रमणीयता (अव्युत्क्रमणीय बनाम व्युत्क्रमणीय आव्यूह) से जोड़ेंगे, और तेज पैटर्न पहचानेंगे (विकर्ण/त्रिभुजीय आव्यूह, क्रमचय आव्यूह)।
सफलता मानदंड
\(2\times 2\) आव्यूहों के लिए \(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) निकालें।
सहगुणक प्रसार और चतुर चुनावों (शून्य वाली पंक्तियां/स्तंभ) से \(3\times 3\) सारिणिक निकालें।
पंक्ति संक्रियाएं सही ढंग से उपयोग करें: पंक्तियां बदलना \(\Rightarrow\) चिन्ह बदलता है; पंक्ति को गुणक से गुणा करना \(\Rightarrow\) सारिणिक उसी गुणक से बदलता है; एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ना \(\Rightarrow\) सारिणिक अपरिवर्तित रहता है।
त्रिभुजीय और विकर्ण आव्यूहों के सारिणिकों को विकर्ण प्रविष्टियों के गुणनफल के रूप में निकालें।
सारिणिक नियम लागू करें: \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\det(A^T)=\det(A)\), और \(\det(kA)=k^n\det(A)\)।
\(\det(A)? 0\) को व्युत्क्रमणीयता जाँच के रूप में उपयोग करें और समझें कि \(A\) व्युत्क्रमणीय होने पर \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\)।
तेज "शून्य सारिणिक" संकेत पहचानें (दोहराई हुई/समानुपाती पंक्तियां या स्तंभ, या शून्य पंक्ति/स्तंभ)।
मुख्य शब्दावली
सारिणिक: वर्ग आव्यूह \(A\) से जुड़ा अदिश \(\det(A)\); यह रैखिक रूपांतरण के मापन और अभिविन्यास को दर्शाता है।
अव्युत्क्रमणीय / व्युत्क्रमणीय: \(A\) ठीक तभी व्युत्क्रमणीय है जब \(\det(A)? 0\); यदि \(\det(A)=0\), तो \(A\) अव्युत्क्रमणीय है।
लघु सारिणिक: किसी पंक्ति और स्तंभ को हटाकर मिले छोटे आव्यूह का सारिणिक।
सहगुणक: \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\), जहां \(M_{ij}\) लघु सारिणिक है।
Laplace (सहगुणक) प्रसार: चुनी हुई पंक्ति या स्तंभ के साथ प्रसार करके \(\det(A)\) निकालने की विधि।
क्रमचय आव्यूह: ऐसा आव्यूह जो मानक आधार को क्रमचयित करता है; उसका सारिणिक \(\pm 1\) होता है (क्रमचय का चिन्ह)।
संकेत: \(\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\) के लिए, \(\det = ad-bc\)।
पूर्व-जाँच 2: जब किसी आव्यूह की दो पंक्तियां बदली जाती हैं, तो सारिणिक के साथ क्या होता है?
संकेत: एक पंक्ति-बदलाव \(\det(A)\) का चिन्ह उलट देता है।
2x2 सारणिक
सारिणिक मूल बातें: \(2\times 2\) सूत्र और उसका अर्थ
सीखने का लक्ष्य: \(2\times 2\) सारिणिक जल्दी निकालना और \(\det(A)=0\) का अर्थ पहचानना।
मुख्य विचार
\(2\times 2\) मैट्रिक्स \[ A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, \] के लिए सारिणिक है \[ \det(A)=ad-bc. \] यह संख्या बताती है कि रूपांतरण व्युत्क्रमणीय है या नहीं (यह तभी और केवल तभी व्युत्क्रमणीय है जब \(\det(A)? 0\)), और 2D में यह चिह्नित क्षेत्रफल पैमाना गुणनखंड दर्शाती है। ऋणात्मक सारिणिक का अर्थ है कि अभिविन्यास उलट गया है (एक "पलटाव")।
\(\det(A)=0\) का अर्थ है कि \(A\) सिंगुलर है (व्युत्क्रमणीय नहीं)।
3x3 सारिणिक
\(3\times 3\) सारिणिक: सहगुणक प्रसार और चतुर चुनाव
सीखने का लक्ष्य: सहगुणकों से \(3\times 3\) सारिणिकों को सटीक और कुशलता से निकालना।
मुख्य विचार
\(3\times 3\) आव्यूह के लिए भरोसेमंद तरीका सहगुणक (Laplace) प्रसार है। चिन्ह पैटर्न है: \[ \begin{pmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{pmatrix}. \] शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ के साथ प्रसार करने से काम बहुत घट जाता है, क्योंकि \(0\) प्रविष्टि वाला कोई भी पद गायब हो जाता है।
तीसरे स्तंभ के साथ प्रसार करें। उस स्तंभ की पहली दो प्रविष्टियां \(0\) हैं, इसलिए केवल \((3,3)\) प्रविष्टि योगदान देती है: \[ \det(A)=1\cdot \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}. \] अब \(2\times 2\) सारिणिक निकालें: \[ \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2. \] इसलिए \(\det(A)=-2\)।
संकेत: पहली पंक्ति के साथ प्रसार करें: \(2\det\!\begin{pmatrix}0&4\\1&2\end{pmatrix}-3\det\!\begin{pmatrix}1&4\\0&2\end{pmatrix}+5\det\!\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)।
दूसरी पंक्ति \((3,6)\), पहली पंक्ति \((2,4)\) की \(\tfrac{3}{2}\) गुना है, इसलिए पंक्तियाँ आश्रित हैं। इससे \(\det(A)=0\) निश्चित है। आप \(ad-bc\) से भी जाँच सकते हैं: \[ \det(A)=2\cdot 6 - 4\cdot 3 = 12-12=0. \]
संकेत: पंक्तियाँ समानुपाती हैं, इसलिए सारिणिक \(0\) होना चाहिए।
खुद कोशिश 2: यदि \(2 \times 2\) मैट्रिक्स की दोनों पंक्तियाँ को \(2\) से गुणा किया जाए, तो सारिणिक के साथ क्या होता है?
संकेत: हर पंक्ति को \(2\) से स्केल करने पर सारिणिक \(2\) से गुणा होता है। दो पंक्तियाँ \(\Rightarrow 2^2=4\)।
सारांश
आश्रित पंक्तियाँ/स्तंभ \(\Rightarrow \det(A)=0\)।
हर पंक्ति को \(k\) से पैमाना करने पर सारिणिक हर बार \(k\) से पैमाना होता है।
अनुप्रयोग और बड़ी तस्वीर
सारणिक क्यों मायने रखते हैं
सीखने का लक्ष्य: सारणिक को ज्यामिति और रैखिक बीजगणित के मुख्य विचारों से जोड़ना, और अंतिम जाँच पूरी करना।
सारणिक कहाँ दिखाई देते हैं
व्युत्क्रमणीयता: \(A\) व्युत्क्रमणीय है ठीक तभी जब \(\det(A)? 0\)।
क्षेत्रफल और आयतन: \(|\det(A)|\), क्षेत्रफल/आयतन स्केलिंग गुणनखंड है।
प्रणालियाँ हल करना: सारणिक क्रैमर के नियम और प्रतिलोम वाले सूत्रों में आते हैं।
स्वमान: वर्ग आव्यूह के लिए सारणिक स्वमानों के गुणनफल के बराबर होता है (बहुलता सहित)।
हल किया हुआ उदाहरण: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
उदाहरण: सदिश \(\vec{u}=(2,1)\) और \(\vec{v}=(3,4)\) से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालें।
सदिशों को मैट्रिक्स के स्तंभ के रूप में रखें: \[ A=\begin{pmatrix}2 & 3\\1 & 4\end{pmatrix}. \] क्षेत्रफल \(|\det(A)|\) है: \[ |\det(A)|=\left|2\cdot 4 - 3\cdot 1\right|=\left|8-3\right|=5. \] इसलिए क्षेत्रफल \(5\) है।
\(3\times 3\): सहगुणक विस्तार उपयोग करें; संभव हो तो शून्य वाली पंक्तियाँ/स्तंभ चुनें।
पंक्ति संक्रियाएँ: अदला-बदली \(\Rightarrow\) चिह्न उलटता है; पंक्ति को स्केल करना \(\Rightarrow\) \(\det\) स्केल होता है; पंक्ति में दूसरी पंक्ति का गुणज जोड़ना \(\Rightarrow\) कोई बदलाव नहीं।
त्रिभुजीय/विकर्ण: सारणिक विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल है।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना क्विज़ फिर से आज़माएँ। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक दोबारा खोलें और जिस सारिणिक कौशल की ज़रूरत हो, वह पृष्ठ दोहराएँ।
अभ्यास सेट
निर्धारक अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
