Kuis Latihan Determinan dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di bagian bawah halaman untuk berlatih determinan dan sifat determinan terpenting yang Anda butuhkan dalam Aljabar linear: notasi determinan \(\det(A)\) dan apa yang diukurnya (penskalaan luas/volume bertanda), rumus determinan \(2\times 2\) yang wajib dikuasai \(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\), determinan \(3\times 3\) memakai ekspansi kofaktor (Laplace) dan memilih baris/kolom dengan nol, metode cepat dengan reduksi baris / eliminasi Gaussian sambil melacak operasi baris (menukar baris membalik tanda, mengalikan baris dengan skalar mengalikan determinan, menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain tidak mengubah determinan), determinan cepat untuk matriks diagonal dan segitiga (hasil kali entri diagonal), aturan aljabar penting seperti \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\det(A^T)=\det(A)\), dan \(\det(kA)=k^n\det(A)\), serta hubungan antara determinan dan invertibilitas (matriks dapat diinvers jika dan hanya jika \(\det(A)≠ 0\)), termasuk determinan matriks permutasi (\(\pm 1\)) dan tanda (permutasi genap/ganjil). Jika Anda ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan determinan ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal determinan di bagian bawah halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau cara menghitung determinan memakai rumus, kofaktor, dan operasi baris.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan langsung terapkan aturan determinan untuk meningkatkan kecepatan dan akurasi.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran determinan
Determinan \(2\times 2\) dan interpretasi cepat
Hitung \(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) dengan cepat dan akurat
Pahami \(\det(A)=0\) sebagai matriks singular dan tidak dapat diinvers
Hubungkan \(|\det(A)|\) dengan penskalaan luas di 2D
Determinan \(3\times 3\) dengan kofaktor
Gunakan ekspansi kofaktor (Laplace) dan pola tanda \((+,-,+)\)
Pilih baris/kolom dengan nol untuk menyederhanakan perhitungan
Kenali determinan nol dengan cepat (baris atau kolom berulang/sebanding)
Operasi baris dan sifat determinan
Tukar baris \(\Rightarrow\) determinan berubah tanda
Kalikan satu baris dengan \(k\) \(\Rightarrow\) determinan dikalikan \(k\)
Tambahkan kelipatan satu baris ke baris lain \(\Rightarrow\) determinan tidak berubah
Matriks khusus, hasil kali, dan invertibilitas
Matriks diagonal/segitiga: determinan adalah hasil kali entri diagonal
Aturan hasil kali: \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)
Uji invertibilitas: \(\det(A)≠ 0\) dan \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\)
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas tentang determinan agar Anda dapat menghitung determinan matriks \(\det(A)\) untuk matriks persegi \(2\times 2\), \(3\times 3\), dan yang lebih besar. Anda akan mempelajari rumus \(2\times 2\) \(ad-bc\), memakai ekspansi kofaktor (Laplace) untuk \(3\times 3\) saat efisien, dan memakai operasi baris / reduksi baris untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk segitiga sambil melacak bagaimana setiap operasi mengubah determinan. Anda juga akan menerapkan aturan penting seperti \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) dan \(\det(kA)=k^n\det(A)\), menghubungkan determinan dengan invertibilitas (matriks singular vs dapat diinvers), dan mengenali pola cepat (matriks diagonal/segitiga, matriks permutasi).
Kriteria keberhasilan
Hitung \(\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) untuk matriks \(2\times 2\).
Hitung determinan \(3\times 3\) memakai ekspansi kofaktor dan pilihan cerdas (baris/kolom dengan nol).
Gunakan operasi baris dengan benar: tukar baris \(\Rightarrow\) perubahan tanda; kalikan baris \(\Rightarrow\) determinan ikut dikalikan; tambahkan kelipatan satu baris ke baris lain \(\Rightarrow\) determinan tidak berubah.
Hitung determinan matriks segitiga dan diagonal sebagai hasil kali entri diagonal.
Terapkan aturan determinan: \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\det(A^T)=\det(A)\), dan \(\det(kA)=k^n\det(A)\).
Gunakan \(\det(A)≠ 0\) sebagai uji invertibilitas dan pahami \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\) saat \(A\) dapat diinvers.
Kenali sinyal cepat “determinan nol” (baris atau kolom berulang/sebanding, atau baris/kolom nol).
Kosakata kunci
Determinan: skalar \(\det(A)\) yang terkait dengan matriks persegi \(A\); ia mengodekan penskalaan dan orientasi transformasi linear.
Singular / dapat diinvers: \(A\) dapat diinvers jika dan hanya jika \(\det(A)≠ 0\); jika \(\det(A)=0\), \(A\) singular.
Minor: determinan dari matriks lebih kecil yang diperoleh dengan menghapus satu baris dan satu kolom.
Kofaktor: \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\), dengan \(M_{ij}\) determinan minor.
Ekspansi Laplace (kofaktor): metode menghitung \(\det(A)\) dengan ekspansi sepanjang baris atau kolom yang dipilih.
Cek awal 1: Berapa determinan dari \(\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 7 & 1\end{pmatrix}\)?
Petunjuk: Untuk \(\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\), \(\det = ad-bc\).
Cek awal 2: Apa yang terjadi pada determinan ketika dua baris matriks ditukar?
Petunjuk: Satu pertukaran baris membalik tanda \(\det(A)\).
Determinan 2x2
Dasar determinan: rumus \(2\times 2\) dan maknanya
Tujuan pembelajaran: Hitung determinan \(2\times 2\) dengan cepat dan kenali arti \(\det(A)=0\).
Ide utama
Untuk matriks \(2\times 2\) \[ A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, \] determinannya adalah \[ \det(A)=ad-bc. \] Angka ini memberi tahu apakah transformasi dapat diinvers (dapat diinvers jika dan hanya jika \(\det(A)≠ 0\)), dan di 2D menyatakan faktor penskalaan luas bertanda. Determinan negatif berarti orientasi dibalik.
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari \(\det\!\begin{pmatrix}0 & 4\\9 & 0\end{pmatrix}\).
Gunakan \(ad-bc\) dengan \(a=0\), \(b=4\), \(c=9\), \(d=0\): \[ \det(A)=0\cdot 0 - 4\cdot 9 = -36. \] Besarnya \(|-36|=36\) adalah faktor penskalaan luas; tanda negatif menunjukkan pembalikan orientasi.
\(\det(A)=0\) berarti \(A\) singular (tidak dapat diinvers).
Determinan 3x3
Determinan \(3\times 3\): ekspansi kofaktor dan pilihan cerdas
Tujuan pembelajaran: Hitung determinan \(3\times 3\) secara akurat dan efisien dengan kofaktor.
Ide utama
Untuk matriks \(3\times 3\), metode andal adalah ekspansi kofaktor (Laplace). Pola tandanya: \[ \begin{pmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{pmatrix}. \] Mengekspansi sepanjang baris atau kolom dengan nol sangat mengurangi pekerjaan, karena setiap suku dengan entri \(0\) hilang.
Ekspansi sepanjang kolom ketiga. Dua entri pertama pada kolom itu adalah \(0\), jadi hanya entri \((3,3)\) yang berkontribusi: \[ \det(A)=1\cdot \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}. \] Sekarang hitung determinan \(2\times 2\): \[ \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2. \] Jadi \(\det(A)=-2\).
Petunjuk: Ekspansi sepanjang baris pertama: \(2\det\!\begin{pmatrix}0&4\\1&2\end{pmatrix}-3\det\!\begin{pmatrix}1&4\\0&2\end{pmatrix}+5\det\!\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).
Baris kedua \((3,6)\) adalah \(\tfrac{3}{2}\) kali baris pertama \((2,4)\), jadi baris-barisnya bergantung. Itu menjamin \(\det(A)=0\). Anda juga dapat memverifikasi dengan \(ad-bc\): \[ \det(A)=2\cdot 6 - 4\cdot 3 = 12-12=0. \]
\(3\times 3\): gunakan ekspansi kofaktor; pilih baris/kolom dengan nol jika mungkin.
Operasi baris: tukar \(\Rightarrow\) tanda berbalik; kalikan baris \(\Rightarrow\) \(\det\) ikut dikalikan; penjumlahan baris \(\Rightarrow\) tidak berubah.
Segitiga/diagonal: determinan adalah hasil kali entri diagonal.
Aturan: \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\det(kA)=k^n\det(A)\), \(\det(A)≠ 0\) \(\Leftrightarrow\) dapat diinvers.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan keterampilan determinan yang Anda butuhkan.
Set latihan
Soal latihan Determinan dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
