चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ विविक्त और सतत वितरण I अभ्यास क्विज़
पेज के नीचे दिए गए क्विज़ से विविक्त और सतत प्रायिकता वितरणों के मुख्य विचारों का अभ्यास करें। यह विषय आँकड़ों और प्रायिकता के सबसे आम आधारों पर केंद्रित है: यादृच्छिक चर और वितरण की भाषा, विविक्त बनाम सतत वितरण, प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF), प्रायिकता घनत्व फलन (PDF), और संचयी वितरण फलन (CDF), द्विपद वितरण \(\mathrm{Bin}(n,p)\) जिसमें द्विपद सूत्र \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), पूरक नियम जैसी तेज प्रायिकता तकनीकें, \(\mathbb{E}[X]=np\) और \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\) जैसे माध्य और प्रसरण सूत्र, सतत समान वितरण \(\mathrm{Uniform}[a,b]\) में अंतराल प्रायिकताएँ, और सामान्य वितरण \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) जिसमें सममिति, वक्र के नीचे क्षेत्रफल का अर्थ और z-स्कोर \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) शामिल हैं। दोहराना हो तो हल किए गए उदाहरणों और छोटी जाँचों वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह वितरण अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: पृष्ठ के नीचे दिए गए विविक्त और सतत वितरणों के प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): साफ उदाहरणों के साथ PMF/PDF/CDF, द्विपद प्रायिकताएँ, समान अंतराल प्रायिकताएँ और सामान्य वितरण की सममिति दोहराएँ।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और वितरण नियम तुरंत लागू करें।
विविक्त और सतत वितरण I पाठ में आप क्या सीखेंगे
यादृच्छिक चर और वितरण फलन
विविक्त बनाम सतत यादृच्छिक चर (परिणाम गिनना बनाम किसी अंतराल पर मापना)
PMF बनाम PDF, क्यों \(\sum p(x)=1\) और \(\int f(x)\,dx=1\), और सतत \(X\) के लिए \(P(X=c)=0\) क्यों
CDF \(F(x)=P(X\le x)\) और यह प्रायिकताओं को कैसे समेटता है
विविक्त वितरण: बर्नूली और द्विपद
द्विपद शर्तें: निश्चित \(n\), स्वतंत्र प्रयास, दो परिणाम, स्थिर \(p\)
उद्देश्य:विविक्त और सतत प्रायिकता वितरणों की साफ समझ बनाना ताकि आप यादृच्छिक चरों को वर्गीकृत कर सकें, PMF, PDF और CDF की भाषा सही ढंग से इस्तेमाल कर सकें, द्विपद वितरणों और सतत समान वितरणों के लिए प्रायिकताएँ निकाल सकें, और सामान्य वितरण को सममिति तथा z-स्कोर से समझ सकें।
सफलता मानदंड
विविक्त और सतत यादृच्छिक चरों में अंतर करें।
विविक्त वितरणों के लिए PMF \(p(x)=P(X=x)\) का उपयोग करें और जानें कि \(\sum p(x)=1\)।
सतत वितरणों के लिए PDF \(f(x)\) का उपयोग करें और जानें कि \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1\)।
समझाएँ कि सतत \(X\) के लिए किसी भी एकल मान \(c\) पर \(P(X=c)=0\) क्यों होता है।
प्रायिकताओं को समेटने के लिए CDF \(F(x)=P(X\le x)\) का उपयोग करें।
द्विपद स्थितियाँ पहचानें और \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\) लागू करें।
द्विपद सूत्र \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) का उपयोग करें।
समान वितरण की प्रायिकताएँ और क्षण निकालें: \(P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{b-a}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)।
सामान्य सममिति का उपयोग करें: \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\), और \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) से मानकीकरण करें।
मुख्य शब्दावली
यादृच्छिक चर: ऐसा संख्यात्मक चर जिसका मान संयोग पर निर्भर करता है।
विविक्त: गिनने योग्य मान लेता है, जैसे \(0,1,2,\dots\)।
सतत: किसी अंतराल पर मान लेता है, जैसे समय, लंबाई या वजन।
PMF: विविक्त \(X\) के लिए \(p(x)=P(X=x)\)।
PDF: सतत \(X\) के लिए \(f(x)\ge 0\); प्रायिकताएँ क्षेत्रों से मिलती हैं।
CDF: \(F(x)=P(X\le x)\)।
अपेक्षित मान: \(\mathbb{E}[X]\), दीर्घकालिक औसत।
प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)\), माध्य के आसपास फैलाव; \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)।
द्विपद वितरण: सफलता प्रायिकता \(p\) वाले \(n\) स्वतंत्र प्रयासों में सफलताओं की संख्या गिनता है।
सामान्य वितरण: घंटी-आकार वितरण \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\); मानकीकरण के लिए z-स्कोर इस्तेमाल करें।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: कौन सा यादृच्छिक चर सतत है?
संकेत: सतत चर किसी अंतराल पर कोई भी मान ले सकते हैं, दशमलव सहित।
पूर्व-जाँच 2: मानक सामान्य यादृच्छिक चर \(Z\) के लिए \(P(Z<0)\) क्या है?
संकेत: मानक सामान्य वक्र \(0\) के बारे में सममित होता है।
वितरण की बुनियाद
यादृच्छिक चर, PMF बनाम PDF, और CDF
सीखने का लक्ष्य: जानें कि कब योग करना है (विविक्त) और कब समाकलन करना है (सतत), और प्रायिकताओं को वक्र के नीचे क्षेत्रफल के रूप में समझें।
मुख्य विचार
विविक्त यादृच्छिक चर का प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) \(p(x)=P(X=x)\) होता है, और प्रायिकताओं का योग होता है: \[\sum_x p(x)=1.\] सतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) \(f(x)\ge 0\) होता है, और कुल क्षेत्रफल \(1\) होता है: \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.\] सतत \(X\) के लिए प्रायिकता क्षेत्रफल से आती है: \[P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx,\] और किसी भी एक बिंदु की प्रायिकता \(0\) होती है: \(P(X=c)=0\)।
संचयी वितरण फलन (CDF) दोनों मामलों में काम करता है: \[F(x)=P(X\le x).\]
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(0\) से \(12\) तक के सतत समान वितरण में, यादृच्छिक रूप से चुना गया मान \(4\) और \(8\) के बीच होने की प्रायिकता क्या है?
यदि \(X\sim\mathrm{Uniform}[0,12]\), तो प्रायिकताएँ अंतराल की लंबाई के अनुपाती होती हैं: \[P(4\le X\le 8)=\frac{8-4}{12-0}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: सामान्य वितरण में, चर के ठीक माध्य के बराबर होने की प्रायिकता क्या है?
संकेत: सामान्य वितरण सतत होता है, इसलिए किसी भी एक बिंदु की प्रायिकता \(0\) होती है।
खुद कोशिश 2: सामान्य वितरण के वक्र के नीचे कुल क्षेत्रफल क्या दर्शाता है?
संकेत: किसी भी PDF के लिए कुल क्षेत्रफल \(1\) होता है।
सारांश
विविक्त: PMF का उपयोग करें और प्रायिकताओं का योग करें।
सतत: PDF का उपयोग करें और क्षेत्रफल (प्रायिकता) पाने के लिए समाकलन करें।
द्विपद वितरण
बर्नूली प्रयास और द्विपद वितरण
सीखने का लक्ष्य: द्विपद स्थितियाँ पहचानें और द्विपद सूत्र तथा पूरक नियम से प्रायिकताएँ निकालें।
मुख्य विचार
यादृच्छिक चर \(X\) द्विपद वितरण का अनुसरण करता है, जिसे \(X\sim \mathrm{Bin}(n,p)\) लिखा जाता है, जब:
प्रयासों की संख्या \(n\) निश्चित हो।
हर प्रयास स्वतंत्र हो।
हर प्रयास के दो परिणाम हों (सफलता/असफलता)।
सफलता की प्रायिकता स्थिर हो, \(p\)।
ठीक \(k\) सफलताओं की प्रायिकता है: \[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dots,n.\]
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: मान लें \(X\sim\mathrm{Bin}(n=2,p=0.5)\)। \(P(X \ge 1)\) क्या है?
पूरक नियम इस्तेमाल करें: \[P(X\ge 1)=1-P(X=0).\] \(P(X=0)\) निकालें: \[P(X=0)=\binom{2}{0}(0.5)^0(0.5)^2=(0.5)^2=\frac{1}{4}.\] इसलिए: \[P(X\ge 1)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: एक निष्पक्ष सिक्का \(5\) बार उछाला जाता है। ठीक \(3\) हेड मिलने की प्रायिकता कौन सा व्यंजक देता है?
संकेत: \(n=5\), \(k=3\), \(p=\tfrac12\) के साथ \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) इस्तेमाल करें।
खुद कोशिश 2: द्विपद सूत्र इस्तेमाल करने के लिए कौन सी जानकारी पता होनी चाहिए?
संकेत: द्विपद प्रायिकताएँ प्रयासों की संख्या \(n\), सफलता प्रायिकता \(p\), और लक्ष्य संख्या \(k\) पर निर्भर करती हैं।
सारांश
द्विपद मॉडल: स्वतंत्र बर्नूली प्रयासों में सफलताओं की गिनती के लिए \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\)।
कम से कम एक के लिए पूरक नियम तेज है: \(P(X\ge 1)=1-P(X=0)\)।
द्विपद माध्य और प्रसरण
माध्य, प्रसरण और तेज द्विपद प्रायिकता शॉर्टकट
सीखने का लक्ष्य: \(\mathbb{E}[X]\), \(\mathrm{Var}(X)\), और \(P(X=0)\) तथा कम से कम शून्य जैसे सरल शॉर्टकट प्रायिकताओं का उपयोग करें।
मुख्य विचार
\(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\) के लिए माध्य और प्रसरण हैं: \[\mathbb{E}[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).\] दो आम शॉर्टकट:
शून्य सफलताएँ: \(P(X=0)=(1-p)^n\)।
कम से कम शून्य सफलताएँ: \(P(X\ge 0)=1\), क्योंकि सबसे छोटी संभव गिनती \(0\) है।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(X\sim\mathrm{Bin}(n=5,p=0.5)\) के लिए \(P(X=0)\) क्या है?
शून्य सफलता का मतलब है कि हर प्रयास असफल है: \[P(X=0)=(1-0.5)^5=(0.5)^5=\frac{1}{32}.\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: मान लें \(X\sim\mathrm{Bin}(10,0.3)\)। \(\mathrm{Var}(X)\) क्या है?
संकेत: \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=10(0.3)(0.7)\)।
खुद कोशिश 2: द्विपद वितरण में कम से कम शून्य सफलताएँ मिलने की प्रायिकता क्या है?
संकेत: द्विपद गिनती \(X\) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(X\ge 0\) हमेशा होता है।
सारांश
द्विपद माध्य: \(\mathbb{E}[X]=np\)।
द्विपद प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\)।
त्वरित तथ्य: \(P(X=0)=(1-p)^n\) और \(P(X\ge 0)=1\)।
समान वितरण
\([a,b]\) पर सतत समान वितरण
सीखने का लक्ष्य: अंतराल लंबाइयों का उपयोग करके समान वितरण की प्रायिकताएँ जल्दी निकालें और मुख्य माध्य/प्रसरण सूत्र जानें।
मुख्य विचार
यदि \(X\sim \mathrm{Uniform}[a,b]\), तो \([a,b]\) में हर मान समान रूप से संभाव्य है, इस अर्थ में कि घनत्व स्थिर है: \[f(x)=\frac{1}{b-a}\quad \text{for } a\le x\le b.\] प्रायिकताएँ अंतराल लंबाई के अनुपाती होती हैं: \[P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}\quad (a\le c\le d\le b).\]
सबसे छोटा संभव मान: \(a\)
सबसे बड़ा संभव मान: \(b\)
माध्य: \(\mathbb{E}[X]=\dfrac{a+b}{2}\)
प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \([0,10]\) पर सतत समान वितरण में, यादृच्छिक मान \(2\) और \(4\) के बीच होने की प्रायिकता क्या है?
लंबाई अनुपात इस्तेमाल करें: \[P(2\le X\le 4)=\frac{4-2}{10-0}=\frac{2}{10}=0.2.\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: यदि \([a,b]\) से एक मान यादृच्छिक रूप से चुना जाए, तो उसके अंतराल के पहले आधे भाग में होने की प्रायिकता क्या है?
संकेत: दोनों आधों की लंबाई समान है, इसलिए हर आधे की प्रायिकता \(\tfrac12\) है।
खुद कोशिश 2: मान लें \(X\sim\mathrm{Uniform}[2,8]\)। \(\mathrm{Var}(X)\) क्या है?
समान प्रायिकता: \(P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{b-a}\)।
समान प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)।
सामान्य वितरण
सामान्य वितरण: सममिति, माध्य और मानक विचलन
सीखने का लक्ष्य: सामान्य वक्र को सही ढंग से समझें: प्रायिकताएँ क्षेत्रफल हैं, और सममिति माध्य के बारे में तेज उत्तर देती है।
मुख्य विचार
सामान्य यादृच्छिक चर को \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) लिखा जाता है। वक्र \(\mu\) के बारे में सममित होता है, और सामान्य वितरण के लिए:
माध्य = माध्यिका = बहुलक \(=\mu\)।
वक्र के नीचे कुल क्षेत्रफल \(1\) होता है।
सममिति से: \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\)।
क्योंकि यह सतत है: \(P(X=\mu)=0\)।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: सामान्य वितरण में, कोई मान माध्य से कम होने की प्रायिकता क्या है?
सामान्य वक्र माध्य \(\mu\) के बारे में सममित होता है, इसलिए ठीक आधा क्षेत्रफल बाईं ओर होता है: \[P(X<\mu)=\frac{1}{2}.\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: सामान्य वितरण में, कोई मान माध्य से ऊपर होने की प्रायिकता क्या है?
संकेत: \(\mu\) के बारे में सममिति क्षेत्रफल को दो समान भागों में बाँटती है।
खुद कोशिश 2: यदि सामान्य वितरण का मानक विचलन बढ़ता है, तो वक्र के आकार पर क्या असर पड़ता है?
संकेत: बड़ा \(\sigma\) मानों को अधिक फैलाता है, इसलिए कुल क्षेत्रफल \(1\) रखने के लिए शीर्ष नीचा होता है।
सारांश
सामान्य वितरण \(\mu\) के बारे में सममित होते हैं, इसलिए हर ओर आधी प्रायिकता होती है।
\(\sigma\) बढ़ने से वक्र चौड़ा और चपटा होता है, लेकिन कुल क्षेत्रफल \(1\) रहता है।
Z-स्कोर
मानक सामान्य वितरण और z-स्कोर
सीखने का लक्ष्य: सामान्य मानों को z-स्कोर में बदलें ताकि आप मानक सामान्य प्रायिकताओं का उपयोग कर सकें।
मुख्य विचार
यदि \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), तो हम z-स्कोर से मानकीकरण करते हैं: \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.\] मानकीकृत चर \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\) होता है। इससे आप मानक सामान्य CDF \(\Phi(z)=P(Z\le z)\), सममिति \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\), और z-तालिकाएँ या कैलकुलेटर इस्तेमाल कर सकते हैं।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: मान लें \(X\sim\mathcal{N}(50,4^2)\)। \(P(X<54)\) निकालें।
z-स्कोर निकालें: \[z=\frac{54-50}{4}=1.\] इसलिए \[P(X<54)=P(Z<1)=\Phi(1)\approx 0.8413.\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: यदि \(x=\mu+2\sigma\), तो z-स्कोर \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) क्या है?
संकेत: \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) में \(x=\mu+2\sigma\) रखें।
खुद कोशिश 2: मानक सामान्य यादृच्छिक चर \(Z\) के लिए माध्यिका क्या है?
संकेत: \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\) के लिए वक्र \(0\) के बारे में सममित है, इसलिए माध्यिका \(0\) है।
सारांश
\(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) से मानकीकरण करें।
मानक सामान्य वितरण \(0\) पर केंद्रित होता है, इसलिए इसकी माध्यिका \(0\) है।
अनुप्रयोग और समग्र दृष्टि
सही वितरण चुनना और मिश्रित प्रश्नों का अभ्यास
सीखने का लक्ष्य: उपयुक्त वितरण मॉडल चुनें (द्विपद बनाम समान बनाम सामान्य) और अंतिम जाँच से अभ्यास पूरा करें।
ये वितरण कहाँ दिखाई देते हैं
द्विपद: गुणवत्ता नियंत्रण (पास/फेल), A/B परीक्षण (रूपांतरण), और सफलता प्रायिकता \(p\) वाले दोहराए गए प्रयास।
समान: किसी अंतराल पर यादृच्छिक चयन, जैसे यादृच्छिक समय, स्थिति या मापन सीमा।
सामान्य: मापन त्रुटि, ऊँचाइयाँ, टेस्ट स्कोर और कई प्राकृतिक घंटी-आकार बदलाव।
\([0,9]\) पर समान प्रायिकता: हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \([0,9]\) से एक मान यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। उसके \(6\) से बड़ा होने की प्रायिकता क्या है?
\(X\sim\mathrm{Uniform}[0,9]\) के लिए, \[P(X>6)=\frac{9-6}{9-0}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \([0,9]\) से एक मान यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। उसके \(6\) से बड़ा होने की प्रायिकता क्या है?
संकेत: \([0,9]\) पर समान वितरण के लिए प्रायिकता लंबाई अनुपात \(\dfrac{9-6}{9-0}\) है।
खुद कोशिश 2: \([a,b]\) पर सतत समान वितरण के बारे में कौन सा कथन सही है?
संकेत: समान का अर्थ है \([a,b]\) पर स्थिर घनत्व, और सतत वितरणों में किसी भी एक बिंदु \(c\) के लिए \(P(X=c)=0\) होता है।
अंतिम सारांश
विविक्त बनाम सतत: विविक्त में PMF (योग) इस्तेमाल होता है; सतत में PDF (क्षेत्रफल/समाकलन)।
सामान्य सममिति: \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\) और \(P(X=\mu)=0\)।
Z-स्कोर: मानक सामान्य प्रायिकताओं के लिए \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\)।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना क्विज़ फिर से हल करें। यदि कोई प्रश्न छूटता है, तो पुस्तक फिर से खोलें और उस पेज को दोहराएँ जो आपकी जरूरी वितरण-कौशल से मेल खाता है।
अभ्यास सेट
विच्छिन्न एवं सतत वितरण I अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
एक निष्पक्ष सिक्का \(5\) बार उछाला जाता है। कौन-सा व्यंजक ठीक \(3\) हेड्स आने की प्रायिकता देता है?
सही उत्तर: C. \(\binom{5}{3}\,0.5^{3}\,0.5^{2}\)
व्याख्या: द्विपद सूत्र के अनुसार, \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\). यहाँ \(n=5, k=3, p=0.5\) है, इसलिए \(P(X=3)=\binom{5}{3}(0.5)^3(0.5)^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125\).
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
नॉर्मल वितरण के बारे में कौन-सा कथन सत्य है?
सही उत्तर: C. माध्य, माध्यिका और बहुलक समान होते हैं
व्याख्या: नॉर्मल वक्र अपने माध्य के बारे में सममित होता है; इसलिए माध्य, माध्यिका और बहुलक एक ही होते हैं।
प्रश्न 3उत्तर नहीं दिया
निम्नलिखित में से कौन-सी स्थिति \(\textbf{not}\) द्विपद वितरण द्वारा वर्णित होती है?
सही उत्तर: C. \(30\) छात्रों की ऊँचाइयों को मापना
व्याख्या: ऊँचाइयाँ सतत मापन होती हैं; द्विपद मॉडल केवल विच्छिन्न सफलता/असफलता गणनाओं पर लागू होते हैं।
प्रश्न 4उत्तर नहीं दिया
ठीक \(k\) सफलताओं की प्रायिकता को \(n\) स्वतंत्र परीक्षणों में (सफलता प्रायिकता \(p\)) कौन-सा सूत्र दर्शाता है?
