Kuis Latihan Distribusi Diskret & Kontinu I dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di bagian bawah halaman untuk berlatih ide inti distribusi probabilitas diskret dan kontinu. Tema ini berfokus pada dasar paling umum yang Anda butuhkan untuk statistika dan probabilitas: variabel acak dan bahasa distribusi, distribusi diskret vs. kontinu, fungsi massa probabilitas (PMF), fungsi kepadatan probabilitas (PDF), dan fungsi distribusi kumulatif (CDF), distribusi binomial \(\mathrm{Bin}(n,p)\) dengan rumus binomial \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), teknik probabilitas cepat seperti aturan komplemen, rumus rata-rata dan varians seperti \(\mathbb{E}[X]=np\) dan \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\), distribusi uniform kontinu \(\mathrm{Uniform}[a,b]\) dengan probabilitas interval, serta distribusi normal \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) termasuk simetri, makna luas di bawah kurva, dan skor-z \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\). Jika Anda ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan distribusi ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal distribusi diskret dan kontinu di bagian bawah halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau PMF/PDF/CDF, probabilitas binomial, probabilitas interval uniform, dan simetri distribusi normal dengan contoh jelas.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan langsung terapkan aturan distribusi.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran Distribusi Diskret & Kontinu I
Variabel acak & fungsi distribusi
Variabel acak diskret vs. kontinu (menghitung hasil vs. mengukur pada interval)
PMF vs. PDF, mengapa \(\sum p(x)=1\) dan \(\int f(x)\,dx=1\), serta mengapa \(P(X=c)=0\) untuk \(X\) kontinu
CDF \(F(x)=P(X\le x)\) dan cara CDF merangkum probabilitas
Distribusi diskret: Bernoulli & binomial
Syarat binomial: \(n\) tetap, percobaan independen, dua hasil, \(p\) konstan
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas tentang distribusi probabilitas diskret dan kontinu agar Anda dapat mengklasifikasikan variabel acak, menggunakan bahasa PMF, PDF, dan CDF dengan benar, menghitung probabilitas untuk distribusi binomial dan distribusi uniform kontinu, serta menafsirkan distribusi normal menggunakan simetri dan skor-z.
Kriteria keberhasilan
Bedakan variabel acak diskret vs. kontinu.
Gunakan PMF \(p(x)=P(X=x)\) untuk distribusi diskret dan ketahui \(\sum p(x)=1\).
Gunakan PDF \(f(x)\) untuk distribusi kontinu dan ketahui \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1\).
Jelaskan mengapa untuk \(X\) kontinu, \(P(X=c)=0\) untuk nilai tunggal apa pun \(c\).
Gunakan CDF \(F(x)=P(X\le x)\) untuk merangkum probabilitas.
Kenali situasi binomial dan terapkan \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\).
Hitung probabilitas dan momen uniform: \(P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{b-a}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\).
Gunakan simetri normal: \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\), dan standarkan dengan \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\).
Kosakata kunci
Variabel acak: variabel numerik yang nilainya bergantung pada peluang.
Diskret: mengambil nilai yang dapat dihitung (seperti \(0,1,2,\dots\)).
Kontinu: mengambil nilai pada interval (seperti waktu, panjang, berat).
PMF: \(p(x)=P(X=x)\) untuk \(X\) diskret.
PDF: \(f(x)\ge 0\) untuk \(X\) kontinu; probabilitas berasal dari luas.
CDF: \(F(x)=P(X\le x)\).
Nilai harapan: \(\mathbb{E}[X]\), rata-rata jangka panjang.
Varians: \(\mathrm{Var}(X)\), penyebaran di sekitar mean; \(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).
Distribusi binomial: menghitung keberhasilan dalam \(n\) percobaan independen dengan probabilitas keberhasilan \(p\).
Distribusi normal: distribusi berbentuk lonceng \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\); gunakan skor-z untuk standardisasi.
Cek awal cepat
Cek awal 1: Variabel acak mana yang kontinu?
Petunjuk: Variabel kontinu dapat mengambil nilai apa pun pada interval (termasuk desimal).
Cek awal 2: Untuk variabel acak normal standar \(Z\), berapa \(P(Z<0)\)?
Petunjuk: Kurva normal standar simetris terhadap \(0\).
Dasar Distribusi
Variabel acak, PMF vs. PDF, dan CDF
Tujuan pembelajaran: Ketahui kapan harus menjumlahkan (diskret) dan kapan harus mengintegralkan (kontinu), serta tafsirkan probabilitas sebagai luas di bawah kurva.
Ide utama
Variabel acak diskret memiliki fungsi massa probabilitas (PMF) \(p(x)=P(X=x)\), dan probabilitasnya dijumlahkan: \[\sum_x p(x)=1.\] Variabel acak kontinu memiliki fungsi kepadatan probabilitas (PDF) \(f(x)\ge 0\), dan total luasnya \(1\): \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.\] Untuk \(X\) kontinu, probabilitas berasal dari luas: \[P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx,\] dan setiap titik tunggal memiliki probabilitas \(0\): \(P(X=c)=0\).
Fungsi distribusi kumulatif (CDF) berlaku untuk kedua kasus: \[F(x)=P(X\le x).\]
Contoh dikerjakan
Contoh: Dalam distribusi uniform kontinu dari \(0\) sampai \(12\), berapa probabilitas nilai yang dipilih acak berada antara \(4\) dan \(8\)?
Jika \(X\sim\mathrm{Uniform}[0,12]\), maka probabilitas sebanding dengan panjang interval: \[P(4\le X\le 8)=\frac{8-4}{12-0}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.\]
Coba
Coba 1: Dalam distribusi normal, berapa probabilitas variabel tepat sama dengan mean?
Petunjuk: Distribusi normal bersifat kontinu, sehingga titik tunggal apa pun memiliki probabilitas \(0\).
Coba 2: Apa yang diwakili total luas di bawah kurva distribusi normal?
Petunjuk: Untuk PDF apa pun, total luasnya \(1\).
Ringkasan
Diskret: gunakan PMF dan jumlahkan probabilitas.
Kontinu: gunakan PDF dan integralkan untuk mendapat luas (probabilitas).
Distribusi Binomial
Percobaan Bernoulli dan distribusi binomial
Tujuan pembelajaran: Kenali situasi binomial dan hitung probabilitas dengan rumus binomial dan aturan komplemen.
Ide utama
Variabel acak \(X\) mengikuti distribusi binomial, ditulis \(X\sim \mathrm{Bin}(n,p)\), jika:
Ada jumlah percobaan tetap \(n\).
Setiap percobaan independen.
Setiap percobaan memiliki dua hasil (berhasil/gagal).
Coba 2: Berapa probabilitas mendapatkan setidaknya nol keberhasilan dalam distribusi binomial?
Petunjuk: Hitungan binomial \(X\) tidak pernah negatif, jadi \(X\ge 0\) selalu terjadi.
Ringkasan
Mean binomial: \(\mathbb{E}[X]=np\).
Varians binomial: \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Fakta cepat: \(P(X=0)=(1-p)^n\) dan \(P(X\ge 0)=1\).
Distribusi Uniform
Distribusi uniform kontinu pada \([a,b]\)
Tujuan pembelajaran: Hitung probabilitas uniform dengan cepat menggunakan panjang interval, dan ketahui rumus mean/varians utama.
Ide utama
Jika \(X\sim \mathrm{Uniform}[a,b]\), maka setiap nilai dalam \([a,b]\) sama mungkinnya dalam arti kepadatannya konstan: \[f(x)=\frac{1}{b-a}\quad \text{untuk } a\le x\le b.\] Probabilitas sebanding dengan panjang interval: \[P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}\quad (a\le c\le d\le b).\]
Nilai terkecil yang mungkin: \(a\)
Nilai terbesar yang mungkin: \(b\)
Mean: \(\mathbb{E}[X]=\dfrac{a+b}{2}\)
Varians: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)
Contoh dikerjakan
Contoh: Dalam distribusi uniform kontinu pada \([0,10]\), berapa probabilitas nilai acak berada antara \(2\) dan \(4\)?
Distribusi normal: simetri, mean, dan simpangan baku
Tujuan pembelajaran: Tafsirkan kurva normal dengan benar: probabilitas adalah luas, dan simetri memberi jawaban cepat tentang mean.
Ide utama
Variabel acak normal ditulis \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\). Kurvanya simetris terhadap \(\mu\), dan untuk distribusi normal:
Mean = median = modus \(=\mu\).
Total luas di bawah kurva adalah \(1\).
Dengan simetri: \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\).
Karena kontinu: \(P(X=\mu)=0\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Dalam distribusi normal, berapa probabilitas sebuah nilai kurang dari mean?
Kurva normal simetris terhadap mean \(\mu\), jadi tepat separuh luas berada di kiri: \[P(X<\mu)=\frac{1}{2}.\]
Coba
Coba 1: Dalam distribusi normal, berapa probabilitas sebuah nilai berada di atas mean?
Petunjuk: Simetri terhadap \(\mu\) membagi luas menjadi dua bagian sama besar.
Coba 2: Jika simpangan baku distribusi normal meningkat, apa yang terjadi pada bentuk kurva?
Petunjuk: \(\sigma\) yang lebih besar menyebarkan nilai lebih jauh, jadi puncak harus lebih rendah agar total luas tetap \(1\).
Ringkasan
Distribusi normal simetris terhadap \(\mu\), jadi separuh probabilitas berada di tiap sisi.
Meningkatkan \(\sigma\) membuat kurva lebih lebar dan lebih datar (tetapi total luas tetap \(1\)).
Skor-Z
Distribusi normal standar dan skor-z
Tujuan pembelajaran: Ubah nilai normal menjadi skor-z agar Anda dapat memakai probabilitas normal standar.
Ide utama
Jika \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), kita menstandarkan dengan skor-z: \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.\] Variabel yang distandarkan memenuhi \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\). Ini memungkinkan Anda memakai CDF normal standar \(\Phi(z)=P(Z\le z)\), simetri \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\), dan tabel-z atau kalkulator.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(X\sim\mathcal{N}(50,4^2)\). Cari \(P(X<54)\).
Hitung skor-z: \[z=\frac{54-50}{4}=1.\] Jadi \[P(X<54)=P(Z<1)=\Phi(1)\approx 0.8413.\]
Coba
Coba 1: Jika \(x=\mu+2\sigma\), berapa skor-z \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\)?
Petunjuk: Substitusikan \(x=\mu+2\sigma\) ke \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\).
Coba 2: Untuk variabel acak normal standar \(Z\), berapa mediannya?
Petunjuk: Untuk \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\), kurva simetris terhadap \(0\), jadi mediannya \(0\).
Ringkasan
Standarkan dengan \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\).
Distribusi normal standar berpusat di \(0\), jadi mediannya \(0\).
Aplikasi & Gambaran Besar
Memilih distribusi yang tepat dan berlatih soal campuran
Tujuan pembelajaran: Pilih model distribusi yang sesuai (binomial vs. uniform vs. normal) dan akhiri dengan cek akhir.
Di mana distribusi ini muncul
Binomial: kontrol kualitas (lulus/gagal), uji A/B (konversi), dan percobaan berulang dengan probabilitas keberhasilan \(p\).
Uniform: pemilihan acak pada interval (waktu, posisi, atau rentang pengukuran acak).
Normal: galat pengukuran, tinggi badan, nilai tes, dan banyak variasi alami berbentuk lonceng.
Contoh dikerjakan: probabilitas uniform pada \([0,9]\)
Contoh: Sebuah nilai dipilih acak dari \([0,9]\). Berapa probabilitas nilai itu lebih besar dari \(6\)?
Untuk \(X\sim\mathrm{Uniform}[0,9]\), \[P(X>6)=\frac{9-6}{9-0}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\]
Coba
Coba 1: Sebuah nilai dipilih acak dari \([0,9]\). Berapa probabilitas nilai itu lebih besar dari \(6\)?
Petunjuk: Untuk uniform pada \([0,9]\), probabilitas adalah rasio panjang \(\dfrac{9-6}{9-0}\).
Coba 2: Pernyataan mana yang benar tentang distribusi uniform kontinu pada \([a,b]\)?
Petunjuk: Uniform berarti kepadatan konstan pada \([a,b]\), dan distribusi kontinu memiliki \(P(X=c)=0\) untuk titik tunggal apa pun.
Rekap akhir
Diskret vs. kontinu: diskret memakai PMF (penjumlahan); kontinu memakai PDF (luas/integral).
Simetri normal: \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=\tfrac12\) dan \(P(X=\mu)=0\).
Skor-z: \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) untuk memakai probabilitas normal standar.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan keterampilan distribusi yang Anda butuhkan.
Set latihan
Soal latihan Distribusi Diskret & Kontinu I dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Sebuah koin adil dilempar sebanyak \(5\) kali. Ekspresi mana yang menyatakan peluang mendapatkan tepat \(3\) sisi gambar?
Jawaban benar: C. \(\binom{5}{3}\,0.5^{3}\,0.5^{2}\)
Penjelasan: Dengan rumus binomial, \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\). Di sini \(n=5, k=3, p=0.5\), sehingga \(P(X=3)=\binom{5}{3}(0.5)^3(0.5)^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125\).
Soal 2Belum dijawab
Pernyataan mana tentang distribusi normal yang benar?
Jawaban benar: C. Rata-rata, median, dan modus sama
Penjelasan: Kurva normal simetris terhadap rata-ratanya; karena itu rata-rata, median, dan modus berimpit.
Soal 3Belum dijawab
Situasi berikut yang \(\textbf{tidak}\) dideskripsikan oleh distribusi binomial adalah?
Jawaban benar: C. Mengukur tinggi \(30\) siswa
Penjelasan: Tinggi badan adalah pengukuran kontinu; model binomial hanya untuk hitungan diskret sukses/gagal.
Soal 4Belum dijawab
Rumus mana yang menyatakan peluang tepat \(k\) keberhasilan dalam \(n\) percobaan independen (peluang sukses \(p\))?
Jawaban benar: B. \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)
