नियत बिंदु सिद्धांत अभ्यास क्विज और चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ
नीचे दिए गए क्विज़ से नियत बिंदु सिद्धांतों का अभ्यास करें: \(f(x)=x\) हल करना, \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) और \(k<1\) वाले संकुचन पहचानना, स्थिरांक \(1\) वाले संकुचन और अविस्तारक प्रतिचित्रों में अंतर करना, पूर्ण मेट्रिक स्थानों पर बानाख प्रमेय लागू करना, पिकार्ड पुनरावृत्ति \(x_{n+1}=T(x_n)\) और एक-कदम त्रुटि-संकुचन समझना, स्व-प्रतिचित्र और पूर्णता की परिकल्पनाएं जाँचना, अंतराल और ब्राउवर-शैली के अस्तित्व परिणामों का उपयोग करना, और अद्वितीयता के जालों से बचना। दोहराना हो तो आसान उदाहरणों और छोटी जाँचों के लिए पाठ खोलें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह नियत बिंदु सिद्धांत अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज लें: नियत बिंदु समीकरणों, संकुचन, बानाख प्रमेय, ब्राउवर अस्तित्व और प्रतिउदाहरणों पर प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें: दोबारा कोशिश करने से पहले परिभाषाएं, प्रमेय की परिकल्पनाएं और छोटे उदाहरण दोहराएं।
3. फिर से करें: क्विज पर लौटें और हर समस्या को नियत बिंदु समीकरण या प्रमेय-जाँच सूची में बदलें।
नियत बिंदु सिद्धांत पाठ में आप क्या सीखेंगे
नियत बिंदु समीकरण
परिभाषा: \(x\), \(T\) का नियत बिंदु है जब \(T(x)=x\)।
गणना: जब तक प्रश्न को फिर से नहीं लिखा गया हो, \(f(x)=x\) हल करें, \(f(x)=0\) नहीं।
उदाहरण: ऐफ़ाइन प्रतिचित्र \(x\mapsto ax+b\), स्थिर प्रतिचित्र, कई नियत बिंदुओं वाला पहचान प्रतिचित्र, और \(x\mapsto \cos x\)।
संकुचन और बानाख
संकुचन: एक समान दूरी-संकुचन \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\), जहां \(k<1\)।
बानाख प्रमेय: पूर्ण मेट्रिक स्थान और संकुचन स्व-प्रतिचित्र मिलकर ठीक एक नियत बिंदु देते हैं।
पुनरावृत्ति और त्रुटियां: \(x_{n+1}=T(x_n)\) किसी भी आरंभिक बिंदु से नियत बिंदु तक अभिसरित होता है, और हर त्रुटि अधिकतम \(k\) से गुणित होती है।
परिकल्पनाएं और विफलताएं
पूर्णता: पुनरावृत्ति की कौशी सीमा को उसी स्थान के भीतर रखती है।
स्व-प्रतिचित्र: हर पुनरावृत्त बिंदु उसी स्थान में रहना चाहिए जहां प्रमेय लगाया जा रहा है।
तेज जाल: लिप्शिट्ज स्थिरांक \(1\) अविस्तारक है, लेकिन बानाख संकुचन के लिए पर्याप्त नहीं है।
ब्राउवर-शैली का अस्तित्व
अंतराल मामला: हर सतत प्रतिचित्र \([a,b]\to[a,b]\) का एक नियत बिंदु होता है।
सीमित-आयामी मामला: \(\mathbb{R}^n\) के संहत उत्तल उपसमुच्चयों के सतत स्व-प्रतिचित्रों के नियत बिंदु होते हैं।
महत्वपूर्ण अंतर: ब्राउवर अस्तित्व देता है, अद्वितीयता या पुनरावृत्ति का अभिसरण नहीं।
उद्देश्य: नियत बिंदुओं का भरोसेमंद औजार-समूह बनाना: प्रश्न को \(T(x)=x\) में बदलना, संकुचन अनुमानों को पहचानना, बानाख प्रमेय क्या निश्चित करता है यह ठीक-ठीक जानना, पुनरावृत्ति \(x_{n+1}=T(x_n)\) का उपयोग करना, पूर्णता और स्व-प्रतिचित्र परिकल्पनाएं जाँचना, ब्राउवर अस्तित्व और बानाख अद्वितीयता में अंतर करना, और सामान्य नियत बिंदु जालों से बचना।
सफलता मानदंड
नियत बिंदु को ऐसे बिंदु \(x\) के रूप में परिभाषित करें जिसके लिए \(T(x)=x\)।
ऐफ़ाइन, स्थिर, पहचान और मूलभूत प्रतिचित्रों के सरल नियत बिंदु समीकरण हल करें।
\(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) और एक ही \(k<1\) से संकुचन पहचानें।
संकुचन और उन अविस्तारक प्रतिचित्रों में अंतर करें जिनका सर्वोत्तम लिप्शिट्ज स्थिरांक \(1\) है।
बानाख प्रमेय कहें: पूर्ण मेट्रिक स्थान पर संकुचन स्व-प्रतिचित्र का ठीक एक नियत बिंदु होता है।
अद्वितीयता प्रमाण \(d(p,q)\le k d(p,q)\) का उपयोग करें, दो नियत बिंदुओं \(p,q\) के लिए।
समझाएं कि बानाख परिकल्पनाओं के अंतर्गत पिकार्ड पुनरावृत्ति नियत बिंदु तक क्यों अभिसरित होती है और एक-कदम त्रुटि अधिकतम \(k\) से क्यों घटती है।
अपूर्ण स्थानों, स्व-प्रतिचित्र शर्त की कमी या लिप्शिट्ज स्थिरांक \(1\) से होने वाली विफलताएं पहचानें।
अद्वितीयता के बिना अस्तित्व के लिए अंतराल नियत बिंदु परिणाम और ब्राउवर प्रमेय का उपयोग करें।
पहले परिकल्पनाएं पढ़कर बानाख और ब्राउवर में से चुनें।
मुख्य शब्दावली
नियत बिंदु: ऐसा \(x\in X\) जिसके लिए \(T(x)=x\)।
स्व-प्रतिचित्र: प्रतिचित्र \(T:X\to X\)।
संकुचन: ऐसा प्रतिचित्र जिसके लिए \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) सभी \(x,y\) पर, जहां \(0\le k<1\)।
अविस्तारक प्रतिचित्र: ऐसा प्रतिचित्र जिसका लिप्शिट्ज स्थिरांक अधिकतम \(1\) हो; हर संकुचन अविस्तारक होता है, पर इसका उल्टा जरूरी नहीं।
पूर्ण मेट्रिक स्थान: हर कौशी अनुक्रम स्थान के किसी बिंदु पर अभिसरित होता है।
पिकार्ड पुनरावृत्ति: अनुक्रम \(x_{n+1}=T(x_n)\)।
ब्राउवर अस्तित्व: \(\mathbb{R}^n\) के संहत उत्तल उपसमुच्चयों के सतत स्व-प्रतिचित्रों का कम से कम एक नियत बिंदु होता है।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच: कौन सा समीकरण \(T\) के नियत बिंदु के लिए पूछता है?
संकेत: नियत का मतलब है कि इनपुट वापस उसी पर भेजा जाता है।
नियत बिंदु \(T(x)=x\) हल करके मिलता है
सीखने का लक्ष्य: नियत बिंदु प्रश्न को समीकरण में बदलना और नियत बिंदुओं को शून्यों से भ्रमित किए बिना उसे हल करना।
मुख्य विचार
प्रतिचित्र \(T:X\to X\) के लिए, नियत बिंदु ऐसा कोई भी \(x\in X\) है जो \(T(x)=x\) संतुष्ट करे। वास्तविक रेखा पर यह ग्राफ \(y=T(x)\) और विकर्ण \(y=x\) का प्रतिच्छेद है। ऐफ़ाइन प्रतिचित्र \(T(x)=ax+b\) के लिए समीकरण \(x=ax+b\) है, इसलिए \((1-a)x=b\) जब \(a≠1\)।
उदाहरण
\(T(x)=x/2\) का नियत बिंदु \(0\) है।
\(T(x)=(x+1)/2\) का नियत बिंदु \(1\) है।
\(T(x)=2-x\) का नियत बिंदु \(1\) है, लेकिन यह सामान्य मेट्रिक में संकुचन नहीं है।
स्थिर प्रतिचित्र \(T(x)=c\) का नियत बिंदु \(c\) होता है जब \(c\in X\), और इसका दूरी-संकुचन \(0\) है।
\([0,1]\) पर पहचान प्रतिचित्र हर बिंदु को नियत रखता है, इसलिए केवल अस्तित्व से अद्वितीयता नहीं मिलती।
नियत बिंदु समीकरण
नियत बिंदु समीकरण आम तौर पर \(T(x)=0\) जैसा नहीं होता। कभी-कभी इसे \(F(x)=T(x)-x=0\) के रूप में लिखा जाता है, लेकिन मूल शर्त \(T(x)=x\) ही रहती है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(T(x)=1+x/4\) का \(\mathbb{R}\) पर नियत बिंदु खोजें।
\(x=1+x/4\) हल करें। तब \(3x/4=1\), इसलिए \(x=4/3\)। जाँचने पर \(T(4/3)=1+1/3=4/3\)।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश करें: \(T(x)=2+x/2\) का \(\mathbb{R}\) पर नियत बिंदु क्या है?
संकेत: \(x=2+x/2\) रखें और \(x\) को अलग करें।
संकुचन हर दूरी को \(1\) से छोटे समान गुणक से घटाता है
सीखने का लक्ष्य: पहचानना कि प्रतिचित्र कब संकुचन है और कब वह केवल दूरियां बनाए रखता है।
मुख्य विचार
मेट्रिक स्थान पर प्रतिचित्र \(T:X\to X\) संकुचन है यदि कोई संख्या \(k<1\) हो ताकि \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) हर जोड़े \(x,y\in X\) के लिए। वही \(k\) पूरे स्थान पर काम करना चाहिए। लिप्शिट्ज स्थिरांक \(1\) होना केवल अविस्तारक है, इसलिए बानाख प्रमेय जरूरी नहीं कि लागू हो।
पहचान जाँच-सूची
दूरी-संकुचन: \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) और \(k<1\)।
अवकलज शॉर्टकट: किसी अंतराल पर, \(\sup |T'(x)|\le k<1\) सामान्य मेट्रिक में संकुचन सिद्ध करता है।
स्थिर प्रतिचित्र: \(d(Tx,Ty)=0\), इसलिए स्थिर स्व-प्रतिचित्र \(k=0\) के साथ संकुचन है जब \(X\) में कम से कम दो बिंदु हों।
स्थानांतरण: \(T(x)=x+1\) दूरियां बनाए रखता है, इसलिए इसका लिप्शिट्ज स्थिरांक \(1\) है।
परावर्तन: \(T(x)=2-x\) का नियत बिंदु है लेकिन इसका लिप्शिट्ज स्थिरांक भी \(1\) है।
पहले स्व-प्रतिचित्र: प्रमेय लगाने से पहले जाँचें कि \(T(X)\subseteq X\)।
अवकलज शॉर्टकट
यदि \(T\) किसी अंतराल पर अवकलनीय है और हर जगह \(|T'(x)|\le k<1\), तो माध्य मान प्रमेय से \(|T(x)-T(y)|\le k|x-y|\) मिलता है। एक बिंदु पर छोटा स्थानीय अवकलज पर्याप्त नहीं है; सीमा पूरे उपयोग किए गए अंतराल पर लागू होनी चाहिए।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(T(x)=1+x/4\), \(\mathbb{R}\) पर संकुचन क्यों है?
किसी भी \(x,y\) के लिए \(|T(x)-T(y)|=|(1+x/4)-(1+y/4)|=|x-y|/4\)। इसलिए संकुचन स्थिरांक \(k=1/4\) लिया जा सकता है, जो \(1\) से कड़ाई से छोटा है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश करें: कौन सा कथन सिद्ध करता है कि \(T\), \(X\) पर संकुचन है?
संकेत: अनुमान को सभी प्रतिबिंब-युग्मों और सभी मूल युग्मों की दूरियों की तुलना कड़े संकुचन गुणक से करनी चाहिए।
बानाख प्रमेय अस्तित्व, अद्वितीयता और अभिसरण देता है
सीखने का लक्ष्य: संकुचन प्रतिचित्रण सिद्धांत की ठीक-ठीक परिकल्पनाएं और निष्कर्ष जानना।
मुख्य विचार
यदि \((X,d)\) पूर्ण है और \(T:X\to X\) संकुचन है, तो \(T\) का ठीक एक नियत बिंदु \(x^*\) होता है। इसके अलावा, किसी भी आरंभिक बिंदु \(x_0\in X\) से पुनरावृत्ति \(x_{n+1}=T(x_n)\), \(x^*\) तक अभिसरित होती है, और \(d(Tx,x^*)\le k\,d(x,x^*)\)।
प्रमेय क्या देता है
अस्तित्व: पुनरावृत्ति एक कौशी अनुक्रम बनाती है, और पूर्णता उसकी सीमा \(X\) के भीतर देती है।
अद्वितीयता: यदि \(p,q\) नियत हैं, तो \(d(p,q)=d(Tp,Tq)\le k d(p,q)\), जिससे \(p=q\) होना मजबूर होता है।
अभिसरण: \(x_n\to x^*\) हर आरंभिक बिंदु \(x_0\in X\) के लिए।
त्रुटि-संकुचन: \(d(Tx,x^*)\le k\,d(x,x^*)\), इसलिए हर कदम नियत बिंदु से दूरी को अधिकतम गुणक \(k\) तक रखता है।
सततता: संकुचन लिप्शिट्ज होता है, इसलिए सतत होता है; यदि \(x_{n+1}=T(x_n)\to L\), तो सततता \(T(L)=L\) देती है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(T(x)=(x+1)/2\) के लिए \(\mathbb{R}\) पर बानाख प्रमेय लागू करें।
\(\mathbb{R}\) पर सामान्य मेट्रिक पूर्ण है, \(T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), और \(|T(x)-T(y)|=|x-y|/2\)। बानाख प्रमेय लागू होता है। \(x=(x+1)/2\) हल करने पर अद्वितीय नियत बिंदु \(x=1\) मिलता है, और किसी भी \(x_0\) से पुनरावृत्ति \(1\) तक अभिसरित होती है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश करें: पूर्ण मेट्रिक स्थान पर संकुचन स्व-प्रतिचित्र के लिए पुनरावृत्ति \(x_{n+1}=T(x_n)\) किस तक अभिसरित होती है:
संकेत: प्रमेय एक अद्वितीय लक्ष्य और दोहराई गई पुनरावृत्ति का अभिसरण, दोनों देता है।
सीमा उसी स्थान में रहनी चाहिए जहां प्रमेय लगाया गया है
सीखने का लक्ष्य: समझना कि पूर्णता और स्व-प्रतिचित्र शर्त सजावटी मान्यताएं नहीं हैं।
मुख्य विचार
बानाख प्रमाण पुनरावृत्ति से कौशी अनुक्रम बनाता है। पूर्णता ही उस कौशी अनुक्रम को \(X\) के किसी बिंदु में बदलती है। स्व-प्रतिचित्र शर्त \(T:X\to X\) सभी पुनरावृत्त बिंदुओं को उसी स्थान में रखती है। इनमें से कोई भी शर्त विफल हो, तो नियत बिंदु स्थान के बाहर हो सकता है या पुनरावृत्ति क्षेत्र से बाहर जा सकती है।
महत्वपूर्ण परिकल्पनाएं
अपूर्ण स्थान में ऐसे कौशी अनुक्रम हो सकते हैं जिनकी सीमाएं गायब हों।
अपूर्ण स्थान पर संकुचन का उस स्थान में कोई नियत बिंदु नहीं भी हो सकता।
जो प्रतिचित्र स्व-प्रतिचित्र नहीं है, उसे अतिरिक्त काम के बिना \(X\) के भीतर पुनरावृत्त नहीं किया जा सकता।
पूर्णता, संहतता से अलग है; बानाख प्रमेय को संहतता की जरूरत नहीं होती।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(T(x)=x/2\) का \(X=(0,1)\) पर \(X\) में नियत बिंदु क्यों नहीं है?
यह संकुचन है क्योंकि \(|T(x)-T(y)|=|x-y|/2\), और यह \((0,1)\) को \((0,1)\) में भेजता है। लेकिन नियत बिंदु समीकरण \(x=x/2\) से \(x=0\) मिलता है, जो \((0,1)\) में नहीं है। गायब सिरा दिखाता है कि पूर्णता क्यों महत्वपूर्ण है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश करें: अपूर्ण मेट्रिक स्थान पर संकुचन में किस चीज की कमी हो सकती है:
संकेत: पुनरावृत्ति ऐसी सीमा के पास जा सकती है जो उस स्थान का बिंदु नहीं है।
संहत उत्तल समुच्चयों पर सततता अस्तित्व देती है, अद्वितीयता नहीं
सीखने का लक्ष्य: जब संकुचन अनुमान उपलब्ध न हों, तब ब्राउवर-शैली की परिकल्पनाओं का उपयोग करना।
मुख्य विचार
एक आयाम में, हर सतत प्रतिचित्र \(f:[a,b]\to[a,b]\) का एक नियत बिंदु होता है। \(g(x)=f(x)-x\) लें। चूंकि \(f(a)\ge a\) और \(f(b)\le b\), मध्य मान प्रमेय कोई \(c\) देता है जिसके लिए \(g(c)=0\), इसलिए \(f(c)=c\)। \(\mathbb{R}^n\) में, ब्राउवर प्रमेय कहता है कि संहत उत्तल समुच्चय के सतत स्व-प्रतिचित्र का कम से कम एक नियत बिंदु होता है।
व्यावहारिक जाँचें
सततता: ब्राउवर-शैली के अस्तित्व के लिए आवश्यक।
स्व-प्रतिचित्र: समुच्चय को अपने ही भीतर प्रतिचित्रित होना चाहिए।
संहत उत्तल समुच्चय: ब्राउवर प्रमेय का मानक सीमित-आयामी संदर्भ।
केवल अस्तित्व: अद्वितीयता के लिए संकुचन जैसी मजबूत मान्यताओं की जरूरत होती है।
पुनरावृत्ति का वादा नहीं: केवल ब्राउवर यह नहीं कहता कि बार-बार की पुनरावृत्ति अभिसरित होगी।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(f(x)=1-x\) का \([0,1]\) पर एक नियत बिंदु खोजें।
प्रतिचित्र सतत है और \([0,1]\) को अपने भीतर भेजता है, इसलिए अस्तित्व सुनिश्चित है। \(x=1-x\) हल करने पर \(x=1/2\) मिलता है। यह प्रतिचित्र सामान्य मेट्रिक में संकुचन नहीं है क्योंकि \(|f(x)-f(y)|=|x-y|\)।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश करें: एक सतत प्रतिचित्र \([0,1]\to[0,1]\) के लिए क्या सुनिश्चित है:
संकेत: \(f(x)-x\) पर एक-आयामी नियत बिंदु तर्क लागू करें।
बानाख या ब्राउवर चुनने से पहले परिकल्पनाएं पढ़ें
सीखने का लक्ष्य: तय करना कि किसी समस्या के दिए गए तथ्यों पर कौन सा नियत बिंदु सिद्धांत फिट बैठता है।
मुख्य विचार
बानाख प्रमेय मेट्रिक और मात्रात्मक है: इसे पूर्ण मेट्रिक स्थान पर संकुचन चाहिए और यह अद्वितीय नियत बिंदु तथा पुनरावृत्ति का अभिसरण देता है। ब्राउवर प्रमेय टोपोलॉजिकल और सीमित-आयामी है: इसे संहत उत्तल समुच्चय का सतत स्व-प्रतिचित्र चाहिए और यह कम से कम एक नियत बिंदु देता है।
महत्वपूर्ण परिकल्पनाएं
बानाख का उपयोग करें जब आप वैश्विक संकुचन गुणक \(k<1\) सिद्ध कर सकें।
ब्राउवर का उपयोग करें जब आपके पास सततता, संहतता, उत्तलता और स्व-प्रतिचित्र हो, पर संकुचन न हो।
अंतराल समस्याएं अक्सर मध्य मान प्रमेय तक घट जाती हैं।
अद्वितीयता आम तौर पर संकुचन या एकतानता तर्क से आती है, केवल ब्राउवर से नहीं।
पुनरावृत्ति अभिसरण बानाख का निष्कर्ष है, ब्राउवर का निष्कर्ष नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(f(x)=\cos x\) का \([0,1]\) में नियत बिंदु क्यों है?
प्रतिचित्र सतत है, और \(\cos x\in[\cos 1,1]\subset[0,1]\) जब \(x\in[0,1]\), इसलिए अंतराल प्रमेय एक नियत बिंदु देता है। वास्तव में \(|f'(x)|=|\sin x|\le \sin 1<1\) \([0,1]\) पर, इसलिए बानाख प्रमेय अद्वितीयता और पुनरावृत्ति का अभिसरण भी देता है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश करें: \(\mathbb{R}^n\) का संहत उत्तल उपसमुच्चय और उसका सतत स्व-प्रतिचित्र किसका संदर्भ है:
संकेत: यह प्रमेय सीमित-आयामी यूक्लिडीय स्थान में संहत उत्तल समुच्चयों के सतत स्व-प्रतिचित्रों के बारे में है।
अधिकतर गलतियां सही प्रमेय को किसी गायब परिकल्पना के साथ लगा देती हैं
सीखने का लक्ष्य: उन अंतरों के साथ समाप्त करना जो सामान्य नियत बिंदु त्रुटियों से बचाते हैं।
सामान्य जाल
नियत बिंदु बनाम शून्य: \(T(x)=x\) हल करें, अपने आप \(T(x)=0\) नहीं।
नियत बिंदु बनाम संकुचन: किसी प्रतिचित्र का नियत बिंदु हो सकता है और फिर भी वह संकुचन न हो।
लिप्शिट्ज \(1\): अविस्तारक होना संकुचन होने जैसा नहीं है।
कई नियत बिंदु: \([0,1]\) पर पहचान प्रतिचित्र अनंत रूप से कई बिंदु नियत रखता है, इसलिए अद्वितीयता के लिए मजबूत तर्क चाहिए।
पूर्णता: अपूर्ण स्थानों में संकुचन नियत बिंदु से चूक सकते हैं।
स्व-प्रतिचित्र: प्रमेय लगाने से पहले \(T(X)\subseteq X\) जाँचें।
ब्राउवर: अस्तित्व से अद्वितीयता नहीं निकलती।
पुनरावृत्ति: \(x_{n+1}=T(x_n)\) के अभिसरण की गारंटी बानाख परिकल्पनाओं से मिलती है, हर नियत बिंदु प्रमेय से नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: समझाएं कि \(T(x)=2-x\) का \(\mathbb{R}\) पर नियत बिंदु है लेकिन यह संकुचन नहीं है।
नियत बिंदु समीकरण \(x=2-x\) से \(x=1\) मिलता है। लेकिन \(|T(x)-T(y)|=|(2-x)-(2-y)|=|x-y|\), इसलिए सर्वोत्तम लिप्शिट्ज स्थिरांक \(1\) है, \(1\) से छोटा नहीं। बानाख प्रमेय लागू नहीं होता।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश करें: क्या ब्राउवर प्रमेय अपने आप नियत बिंदु की अद्वितीयता की गारंटी देता है?
संकेत: सतत स्व-प्रतिचित्र के कई नियत बिंदु हो सकते हैं, जैसे संहत अंतराल पर पहचान प्रतिचित्र।
अंतिम सार
नियत बिंदु \(T(x)=x\) हल करता है।
संकुचन के लिए \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) होता है, किसी एक \(k<1\) के साथ।
अविस्तारक का अर्थ है लिप्शिट्ज स्थिरांक अधिकतम \(1\); बानाख को \(1\) से कड़ाई से छोटा चाहिए।
स्थिर प्रतिचित्र सभी दूरियों को \(0\) तक घटाते हैं, जबकि पहचान प्रतिचित्रों के कई नियत बिंदु हो सकते हैं।
बानाख प्रमेय को पूर्ण मेट्रिक स्थान और संकुचन स्व-प्रतिचित्र चाहिए।
बानाख प्रमेय अस्तित्व, अद्वितीयता और पिकार्ड पुनरावृत्ति का अभिसरण देता है।
एक-कदम त्रुटि \(d(Tx,x^*)\le k\,d(x,x^*)\) संतुष्ट करती है।
अद्वितीयता प्रमाण दो नियत बिंदुओं की तुलना करता है और उनकी दूरी को \(0\) होने पर मजबूर करता है।
पूर्णता कौशी सीमा को स्थान के भीतर रखती है।
सतत प्रतिचित्र \([a,b]\to[a,b]\) का एक नियत बिंदु होता है।
ब्राउवर प्रमेय \(\mathbb{R}^n\) के संहत उत्तल उपसमुच्चयों के सतत स्व-प्रतिचित्रों के लिए अस्तित्व देता है।
ब्राउवर प्रमेय अपने आप अद्वितीयता या पुनरावृत्ति अभिसरण नहीं देता।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और क्विज फिर से करें। हर प्रश्न में पहले पूछें कि वह \(T(x)=x\) समीकरण, संकुचन असमता, अविस्तारक बनाम संकुचन, बानाख परिकल्पनाएं, ब्राउवर अस्तित्व, या किसी गायब परिकल्पना के जाल की जाँच कर रहा है।
अभ्यास सेट
Fixed Point Principles अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
किसी प्रतिचित्रण \(f\) का स्थिर बिंदु वह बिंदु \(x\) है जिसके लिए:
सही उत्तर: C. \(f(x)=x\)
व्याख्या: स्थिर का अर्थ है कि प्रतिचित्रण बिंदु को उसी पर भेजता है।
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
\(\mathbb{R}\) पर \(f(x)=x/2\) का स्थिर बिंदु क्या है?
सही उत्तर: B. \(0\)
व्याख्या: \(x/2=x\) हल करने पर \(x=0\) मिलता है।
प्रश्न 3उत्तर नहीं दिया
बानाख के स्थिर बिंदु प्रमेय के लिए स्थान का कैसा होना आवश्यक है:
सही उत्तर: C. पूर्ण
व्याख्या: यह प्रमेय पूर्ण मेट्रिक स्थानों पर संकुचन प्रतिचित्रणों पर लागू होता है।
प्रश्न 4उत्तर नहीं दिया
एक संकुचन प्रतिचित्रण मोटे तौर पर संतुष्ट करता है:
सही उत्तर: B. \(d(f(x),f(y))\le k d(x,y)\) जहाँ \(k
व्याख्या: एक संकुचन सभी दूरियों को \(1\) से छोटे समान गुणक से घटाता है।
प्रश्न 5उत्तर नहीं दिया
पूर्ण मेट्रिक स्थान पर एक संकुचन के कितने स्थिर बिंदु होते हैं?
सही उत्तर: A. ठीक एक
व्याख्या: बानाख का प्रमेय अस्तित्व और अद्वितीयता देता है।
प्रश्न 6उत्तर नहीं दिया
संकुचन के लिए पुनरावृत्ति \(x_{n+1}=f(x_n)\) सामान्यतः किसमें अभिसरित होती है:
सही उत्तर: C. \(f\) का स्थिर बिंदु
व्याख्या: क्रमिक पुनरावृत्ति अद्वितीय स्थिर बिंदु की ओर अभिसरित होती है।
प्रश्न 7उत्तर नहीं दिया
सामान्य दूरी के साथ \(\mathbb{R}\) पर क्या \(f(x)=x+1\) संकुचन है?
सही उत्तर: D. नहीं
व्याख्या: यह दूरियाँ सुरक्षित रखता है, इसलिए इसका लिप्शिट्ज़ नियतांक \(1\) है, \(1\) से कम नहीं।
प्रश्न 8उत्तर नहीं दिया
सामान्य दूरी के साथ \(\mathbb{R}\) पर क्या \(f(x)=x/3\) संकुचन है?
सही उत्तर: A. हाँ
व्याख्या: दूरियाँ \(1/3\) से गुणित होती हैं, जो \(1\) से कम है।
प्रश्न 9उत्तर नहीं दिया
कौन-सा समीकरण \(f\) के स्थिर बिंदु की माँग करता है?
सही उत्तर: D. \(f(x)=x\)
व्याख्या: स्थिर बिंदु \(f(x)=x\) को हल करते हैं।
प्रश्न 10उत्तर नहीं दिया
संकुचनों के लिए अद्वितीयता क्यों सही है?
सही उत्तर: B. दो स्थिर बिंदु \(d(x,y)
व्याख्या: यदि दो स्थिर बिंदु हों, तो उनकी दूरी स्वयं से सख्ती से छोटी हो जाएगी।
