Kuis Latihan Prinsip Titik Tetap dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kumpulan soal di bagian bawah halaman untuk berlatih prinsip titik tetap: menyelesaikan \(f(x)=x\), mengenali kontraksi \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) dengan \(k<1\), menerapkan teorema Banach pada ruang metrik lengkap, memahami iterasi Picard \(x_{n+1}=T(x_n)\), memeriksa hipotesis pemetaan diri dan kelengkapan, menggunakan hasil eksistensi interval dan bergaya Brouwer, serta menghindari kesalahan keunikan. Jika Anda perlu penyegaran, buka pelajaran untuk contoh yang jelas dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan prinsip titik tetap ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal tentang persamaan titik tetap, kontraksi, teorema Banach, eksistensi Brouwer, dan contoh tandingan.
2. Buka pelajaran: tinjau definisi, hipotesis teorema, dan contoh singkat sebelum mencoba lagi.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan terjemahkan setiap soal menjadi persamaan titik tetap atau daftar cek teorema.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran prinsip titik tetap
Persamaan titik tetap
Definisi: \(x\) merupakan titik tetap bagi \(T\) ketika \(T(x)=x\).
Perhitungan: selesaikan \(f(x)=x\), bukan \(f(x)=0\), kecuali soal sudah ditulis ulang.
Contoh: pemetaan afin \(x\mapsto ax+b\), pemetaan konstan, dan \(x\mapsto \cos x\).
Kontraksi dan Banach
Kontraksi: penyusutan jarak seragam \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) dengan \(k<1\).
Teorema Banach: ruang metrik lengkap ditambah pemetaan diri kontraksi menghasilkan tepat satu titik tetap.
Iterasi: \(x_{n+1}=T(x_n)\) konvergen ke titik tetap dari titik awal mana pun.
Hipotesis dan kegagalan
Kelengkapan: menjaga limit Cauchy dari iterasi tetap berada di dalam ruang.
Pemetaan diri: setiap iterasi harus tetap berada dalam ruang yang sama tempat teorema diterapkan.
Kesalahan tajam: konstanta Lipschitz \(1\) tidak cukup untuk kontraksi Banach.
Eksistensi bergaya Brouwer
Kasus interval: setiap pemetaan kontinu \([a,b]\to[a,b]\) memiliki titik tetap.
Kasus berdimensi hingga: pemetaan diri kontinu pada subhimpunan kompak konveks dari \(\mathbb{R}^n\) memiliki titik tetap.
Pembedaan penting: Brouwer memberi eksistensi, bukan keunikan atau konvergensi iterasi.
Tujuan: Bangun perangkat titik tetap yang andal: terjemahkan soal menjadi \(T(x)=x\), kenali estimasi kontraksi, ketahui dengan tepat apa yang dijamin teorema Banach, gunakan iterasi \(x_{n+1}=T(x_n)\), periksa hipotesis kelengkapan dan pemetaan diri, bedakan eksistensi Brouwer dari keunikan Banach, dan hindari kesalahan umum titik tetap.
Kriteria keberhasilan
Definisikan titik tetap sebagai titik \(x\) dengan \(T(x)=x\).
Selesaikan persamaan titik tetap sederhana untuk pemetaan afin dan elementer.
Kenali kontraksi melalui \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) dengan satu \(k<1\).
Nyatakan teorema Banach: pemetaan diri kontraksi pada ruang metrik lengkap memiliki tepat satu titik tetap.
Gunakan bukti keunikan \(d(p,q)\le k d(p,q)\) untuk dua titik tetap \(p,q\).
Jelaskan mengapa iterasi Picard konvergen ke titik tetap di bawah hipotesis Banach.
Temukan kegagalan yang disebabkan oleh ruang tak lengkap, syarat pemetaan diri yang hilang, atau konstanta Lipschitz \(1\).
Gunakan hasil titik tetap interval dan teorema Brouwer untuk eksistensi tanpa keunikan.
Pilih antara Banach dan Brouwer dengan membaca hipotesis lebih dahulu.
Kosakata kunci
Titik tetap: \(x\in X\) sedemikian sehingga \(T(x)=x\).
Pemetaan diri: pemetaan \(T:X\to X\).
Kontraksi: pemetaan dengan \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) untuk semua \(x,y\), dengan \(0\le k<1\).
Ruang metrik lengkap: setiap barisan Cauchy konvergen ke titik dalam ruang tersebut.
Iterasi Picard: barisan \(x_{n+1}=T(x_n)\).
Eksistensi Brouwer: pemetaan diri kontinu pada subhimpunan kompak konveks dari \(\mathbb{R}^n\) memiliki setidaknya satu titik tetap.
Cek awal cepat
Cek awal: Persamaan mana yang meminta titik tetap dari \(T\)?
Petunjuk: Titik tetap berarti input dikirim kembali ke dirinya sendiri.
Titik tetap ditemukan dengan menyelesaikan \(T(x)=x\)
Tujuan pembelajaran: Ubah soal titik tetap menjadi persamaan dan selesaikan tanpa mencampuradukkan titik tetap dengan nol.
Ide utama
Untuk pemetaan \(T:X\to X\), titik tetap adalah setiap \(x\in X\) yang memenuhi \(T(x)=x\). Pada garis real, ini adalah perpotongan grafik \(y=T(x)\) dengan diagonal \(y=x\). Untuk pemetaan afin \(T(x)=ax+b\), persamaannya adalah \(x=ax+b\), sehingga \((1-a)x=b\) ketika \(a≠1\).
Contoh
\(T(x)=x/2\) memiliki titik tetap \(0\).
\(T(x)=(x+1)/2\) memiliki titik tetap \(1\).
\(T(x)=2-x\) memiliki titik tetap \(1\), tetapi bukan kontraksi dalam metrik biasa.
Pemetaan konstan \(T(x)=c\) memiliki titik tetap \(c\) ketika \(c\in X\).
Persamaan titik tetap
Persamaan titik tetap biasanya tidak sama dengan \(T(x)=0\). Kadang persamaan itu ditulis ulang sebagai \(F(x)=T(x)-x=0\), tetapi syarat asalnya tetap \(T(x)=x\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari titik tetap dari \(T(x)=1+x/4\) pada \(\mathbb{R}\).
Selesaikan \(x=1+x/4\). Maka \(3x/4=1\), sehingga \(x=4/3\). Pengecekan memberi \(T(4/3)=1+1/3=4/3\).
Coba
Coba: Apa titik tetap dari \(T(x)=2+x/2\) pada \(\mathbb{R}\)?
Petunjuk: Tetapkan \(x=2+x/2\) dan pisahkan \(x\).
Kontraksi menyusutkan setiap jarak dengan faktor yang sama di bawah \(1\)
Tujuan pembelajaran: Kenali kapan suatu pemetaan adalah kontraksi dan kapan ia hanya mempertahankan jarak.
Ide utama
Pemetaan \(T:X\to X\) pada ruang metrik adalah kontraksi jika ada bilangan \(k<1\) sedemikian sehingga \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) untuk setiap pasangan \(x,y\in X\). Satu \(k\) yang sama harus berlaku secara global. Konstanta Lipschitz yang sama dengan \(1\) tidak cukup untuk teorema Banach.
Daftar cek pengenalan
Penyusutan jarak: \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) dengan \(k<1\).
Pintasan turunan: pada sebuah interval, \(\sup |T'(x)|\le k<1\) membuktikan kontraksi dalam metrik biasa.
Translasi: \(T(x)=x+1\) mempertahankan jarak, sehingga konstanta Lipschitz-nya adalah \(1\).
Refleksi: \(T(x)=2-x\) memiliki titik tetap tetapi juga memiliki konstanta Lipschitz \(1\).
Pemetaan diri dulu: sebelum menerapkan teorema, periksa \(T(X)\subseteq X\).
Pintasan turunan
Jika \(T\) terdiferensialkan pada sebuah interval dan \(|T'(x)|\le k<1\) di mana-mana, teorema nilai rata-rata memberi \(|T(x)-T(y)|\le k|x-y|\). Turunan kecil secara lokal di satu titik tidak cukup; batas tersebut harus berlaku pada seluruh interval yang digunakan.
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa \(T(x)=1+x/4\) merupakan kontraksi pada \(\mathbb{R}\)?
Untuk sembarang \(x,y\), \(|T(x)-T(y)|=|(1+x/4)-(1+y/4)|=|x-y|/4\). Jadi konstanta kontraksinya dapat berupa \(k=1/4\), yang benar-benar kurang dari \(1\).
Coba
Coba: Pernyataan mana yang membuktikan bahwa \(T\) adalah kontraksi pada \(X\)?
Petunjuk: Estimasi harus membandingkan jarak antara semua pasangan citra dan semua pasangan asal dengan faktor penyusutan yang ketat.
Teorema Banach memberi eksistensi, keunikan, dan konvergensi
Tujuan pembelajaran: Ketahui hipotesis dan kesimpulan yang tepat dari prinsip pemetaan kontraksi.
Ide utama
Jika \((X,d)\) lengkap dan \(T:X\to X\) adalah kontraksi, maka \(T\) memiliki tepat satu titik tetap \(x^*\). Selain itu, dari titik awal mana pun \(x_0\in X\), iterasi \(x_{n+1}=T(x_n)\) konvergen ke \(x^*\).
Yang diberikan teorema
Eksistensi: iterasi menghasilkan barisan Cauchy, dan kelengkapan menyediakan limitnya di dalam \(X\).
Keunikan: jika \(p,q\) titik tetap, maka \(d(p,q)=d(Tp,Tq)\le k d(p,q)\), yang memaksa \(p=q\).
Konvergensi: \(x_n\to x^*\) untuk setiap titik awal \(x_0\in X\).
Kontinuitas: kontraksi bersifat Lipschitz, sehingga kontinu.
Contoh dikerjakan
Contoh: Terapkan teorema Banach pada \(T(x)=(x+1)/2\) di \(\mathbb{R}\).
Metrik biasa pada \(\mathbb{R}\) lengkap, \(T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), dan \(|T(x)-T(y)|=|x-y|/2\). Teorema Banach berlaku. Menyelesaikan \(x=(x+1)/2\) memberi titik tetap unik \(x=1\), dan iterasi dari sembarang \(x_0\) konvergen ke \(1\).
Coba
Coba: Untuk pemetaan diri kontraksi pada ruang metrik lengkap, iterasi \(x_{n+1}=T(x_n)\) konvergen ke:
Petunjuk: Teorema memberikan target unik sekaligus konvergensi dari iterasi berulang.
Limit harus tetap berada di ruang tempat teorema digunakan
Tujuan pembelajaran: Lihat mengapa kelengkapan dan syarat pemetaan diri bukan asumsi hiasan.
Ide utama
Bukti Banach membangun barisan Cauchy dari iterasi. Kelengkapanlah yang mengubah barisan Cauchy itu menjadi titik di \(X\). Syarat pemetaan diri \(T:X\to X\) menjaga semua iterasi tetap di ruang yang sama. Jika salah satu syarat gagal, titik tetap dapat berada di luar ruang atau iterasi dapat meninggalkan domain.
Hipotesis yang penting
Ruang tak lengkap dapat memuat barisan Cauchy yang limitnya hilang.
Kontraksi pada ruang tak lengkap dapat tidak memiliki titik tetap di ruang tersebut.
Pemetaan yang bukan pemetaan diri tidak dapat diiterasikan di dalam \(X\) tanpa kerja tambahan.
Kelengkapan berbeda dari kekompakan; teorema Banach tidak memerlukan kekompakan.
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa \(T(x)=x/2\) pada \(X=(0,1)\) gagal memiliki titik tetap di \(X\)?
Pemetaan ini adalah kontraksi karena \(|T(x)-T(y)|=|x-y|/2\), dan memetakan \((0,1)\) ke dalam \((0,1)\). Tetapi persamaan titik tetap \(x=x/2\) memberi \(x=0\), yang tidak berada di \((0,1)\). Ujung yang hilang menunjukkan mengapa kelengkapan penting.
Coba
Coba: Kontraksi pada ruang metrik tak lengkap dapat gagal memiliki:
Petunjuk: Iterasi dapat mendekati limit yang bukan titik dari ruang tersebut.
Kontinuitas pada himpunan kompak konveks memberi eksistensi, bukan keunikan
Tujuan pembelajaran: Gunakan hipotesis bergaya Brouwer ketika estimasi kontraksi tidak tersedia.
Ide utama
Dalam satu dimensi, setiap pemetaan kontinu \(f:[a,b]\to[a,b]\) memiliki titik tetap. Misalkan \(g(x)=f(x)-x\). Karena \(f(a)\ge a\) dan \(f(b)\le b\), teorema nilai antara memberi suatu \(c\) dengan \(g(c)=0\), sehingga \(f(c)=c\). Dalam \(\mathbb{R}^n\), teorema Brouwer menyatakan bahwa pemetaan diri kontinu pada himpunan kompak konveks memiliki setidaknya satu titik tetap.
Uji praktis
Kontinuitas: diperlukan untuk eksistensi bergaya Brouwer.
Pemetaan diri: himpunan harus dipetakan ke dalam dirinya sendiri.
Himpunan kompak konveks: latar berdimensi hingga standar untuk teorema Brouwer.
Eksistensi saja: keunikan memerlukan asumsi yang lebih kuat seperti kontraksi.
Tidak ada janji iterasi: Brouwer saja tidak mengatakan bahwa iterasi berulang konvergen.
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari titik tetap dari \(f(x)=1-x\) pada \([0,1]\).
Pemetaan ini kontinu dan mengirim \([0,1]\) ke dirinya sendiri, sehingga eksistensi dijamin. Menyelesaikan \(x=1-x\) memberi \(x=1/2\). Pemetaan ini bukan kontraksi dalam metrik biasa karena \(|f(x)-f(y)|=|x-y|\).
Petunjuk: Terapkan argumen titik tetap satu dimensi pada \(f(x)-x\).
Baca hipotesis sebelum memilih Banach atau Brouwer
Tujuan pembelajaran: Tentukan prinsip titik tetap mana yang sesuai dengan data soal.
Ide utama
Teorema Banach bersifat metrik dan kuantitatif: ia memerlukan kontraksi pada ruang metrik lengkap dan menghasilkan titik tetap unik plus konvergensi iterasi. Teorema Brouwer bersifat topologis dan berdimensi hingga: ia memerlukan pemetaan diri kontinu pada himpunan kompak konveks dan menghasilkan setidaknya satu titik tetap.
Hipotesis yang penting
Gunakan Banach ketika Anda dapat membuktikan faktor penyusutan global \(k<1\).
Gunakan Brouwer ketika Anda memiliki kontinuitas, kekompakan, konveksitas, dan pemetaan diri tetapi tidak ada kontraksi.
Soal interval sering direduksi ke teorema nilai antara.
Keunikan biasanya berasal dari kontraksi atau argumen monotonisitas, bukan dari Brouwer saja.
Konvergensi iterasi adalah kesimpulan Banach, bukan kesimpulan Brouwer.
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa \(f(x)=\cos x\) memiliki titik tetap di \([0,1]\)?
Pemetaan ini kontinu, dan \(\cos x\in[\cos 1,1]\subset[0,1]\) untuk \(x\in[0,1]\), sehingga teorema interval memberi titik tetap. Bahkan \(|f'(x)|=|\sin x|\le \sin 1<1\) pada \([0,1]\), sehingga teorema Banach juga memberi keunikan dan konvergensi iterasi.
Coba
Coba: Subhimpunan kompak konveks dari \(\mathbb{R}^n\) dengan pemetaan diri kontinu adalah latar untuk:
Petunjuk: Teorema ini membahas pemetaan diri kontinu pada himpunan kompak konveks dalam ruang Euklides berdimensi hingga.
Kebanyakan kesalahan menerapkan teorema yang tepat dengan hipotesis yang hilang
Tujuan pembelajaran: Akhiri dengan pembedaan yang mencegah kesalahan umum pada titik tetap.
Kesalahan umum
Titik tetap versus nol: selesaikan \(T(x)=x\), bukan otomatis \(T(x)=0\).
Titik tetap versus kontraksi: suatu pemetaan dapat memiliki titik tetap dan tetap gagal menjadi kontraksi.
Lipschitz \(1\): non-ekspansif tidak sama dengan kontraksi.
Kelengkapan: kontraksi dapat kehilangan titik tetap dalam ruang tak lengkap.
Pemetaan diri: periksa \(T(X)\subseteq X\) sebelum menggunakan teorema.
Brouwer: eksistensi tidak mengimplikasikan keunikan.
Iterasi: konvergensi \(x_{n+1}=T(x_n)\) dijamin oleh hipotesis Banach, bukan oleh setiap teorema titik tetap.
Contoh dikerjakan
Contoh: Jelaskan mengapa \(T(x)=2-x\) pada \(\mathbb{R}\) memiliki titik tetap tetapi bukan kontraksi.
Persamaan titik tetap \(x=2-x\) memberi \(x=1\). Namun, \(|T(x)-T(y)|=|(2-x)-(2-y)|=|x-y|\), sehingga konstanta Lipschitz terbaik adalah \(1\), bukan kurang dari \(1\). Teorema Banach tidak berlaku.
Coba
Coba: Apakah teorema Brouwer sendiri menjamin keunikan titik tetap?
Petunjuk: Pemetaan diri kontinu dapat memiliki banyak titik tetap, seperti pemetaan identitas pada interval kompak.
Rekap akhir
Titik tetap menyelesaikan \(T(x)=x\).
Kontraksi memiliki \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) untuk satu \(k<1\).
Teorema Banach memerlukan ruang metrik lengkap dan pemetaan diri kontraksi.
Teorema Banach memberi eksistensi, keunikan, dan konvergensi iterasi Picard.
Bukti keunikan membandingkan dua titik tetap dan memaksa jaraknya menjadi \(0\).
Kelengkapan menjaga limit Cauchy tetap di dalam ruang.
Konstanta Lipschitz \(1\) tidak cukup untuk teorema Banach.
Pemetaan kontinu \([a,b]\to[a,b]\) memiliki titik tetap.
Teorema Brouwer memberi eksistensi untuk pemetaan diri kontinu pada subhimpunan kompak konveks dari \(\mathbb{R}^n\).
Teorema Brouwer sendiri tidak memberi keunikan atau konvergensi iterasi.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis lagi. Untuk setiap soal, pertama tanyakan apakah soal itu menguji persamaan \(T(x)=x\), pertidaksamaan kontraksi, hipotesis Banach, eksistensi Brouwer, atau kesalahan hipotesis yang hilang.
Set latihan
Soal latihan Fixed Point Principles dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Titik tetap dari pemetaan \(f\) adalah titik \(x\) sedemikian sehingga:
Jawaban benar: C. \(f(x)=x\)
Penjelasan: Tetap berarti pemetaan mengirim titik itu ke dirinya sendiri.
Soal 2Belum dijawab
Apa titik tetap dari \(f(x)=x/2\) pada \(\mathbb{R}\)?
Jawaban benar: B. \(0\)
Penjelasan: Menyelesaikan \(x/2=x\) menghasilkan \(x=0\).
Soal 3Belum dijawab
Teorema titik tetap Banach mensyaratkan ruangnya:
Jawaban benar: C. Lengkap
Penjelasan: Teorema ini berlaku untuk kontraksi pada ruang metrik lengkap.
Soal 4Belum dijawab
Pemetaan kontraksi secara kasar memenuhi:
Jawaban benar: B. \(d(f(x),f(y))\le k d(x,y)\) dengan \(k
Penjelasan: Kontraksi mengecilkan semua jarak dengan faktor seragam kurang dari \(1\).
Soal 5Belum dijawab
Kontraksi pada ruang metrik lengkap memiliki berapa banyak titik tetap?
Jawaban benar: A. Tepat satu
Penjelasan: Teorema Banach memberikan eksistensi dan keunikan.
Soal 6Belum dijawab
Iterasi \(x_{n+1}=f(x_n)\) untuk kontraksi biasanya konvergen ke:
Jawaban benar: C. Titik tetap dari \(f\)
Penjelasan: Iterasi berurutan konvergen ke titik tetap yang unik.
Soal 7Belum dijawab
Apakah \(f(x)=x+1\) merupakan kontraksi pada \(\mathbb{R}\) dengan jarak biasa?
Jawaban benar: D. Tidak
Penjelasan: Pemetaan ini mempertahankan jarak, sehingga konstanta Lipschitz-nya \(1\), bukan kurang dari \(1\).
Soal 8Belum dijawab
Apakah \(f(x)=x/3\) merupakan kontraksi pada \(\mathbb{R}\) dengan jarak biasa?
Jawaban benar: A. Ya
Penjelasan: Jarak dikalikan dengan \(1/3\), yang kurang dari \(1\).
Soal 9Belum dijawab
Persamaan mana yang mencari titik tetap dari \(f\)?
Jawaban benar: D. \(f(x)=x\)
Penjelasan: Titik tetap memenuhi \(f(x)=x\).
Soal 10Belum dijawab
Mengapa keunikan berlaku untuk kontraksi?
Jawaban benar: B. Dua titik tetap akan memaksa \(d(x,y)
Penjelasan: Jika dua titik tetap ada, jarak keduanya akan lebih kecil dari dirinya sendiri.
