ज्यामिति मूलभूत II अभ्यास क्विज़, चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ
पृष्ठ के नीचे दिए गए क्विज़ से ज्यामिति मूलभूत II का अभ्यास करें: नियमित बहुभुज और कोण संबंध, फलक, धार और शीर्ष गिनना, तथा प्रिज़्म, पिरामिड, बेलन, शंकु और गोले के लिए पृष्ठीय क्षेत्रफल, पार्श्व क्षेत्रफल और आयतन सूत्रों में महारत। यदि आप पुनरावृत्ति चाहते हैं, तो हल किए गए उदाहरणों और झटपट जाँचों वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह ज्यामिति अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ दें: पृष्ठ के नीचे दिए गए ज्यामिति प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): हल किए गए उदाहरणों और झटपट जाँचों के साथ मुख्य ज्यामिति तथ्य और सूत्र दोहराएँ।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और ज्यामिति सूत्र तुरंत लागू करें।
ज्यामिति मूलभूत II पाठ में आप क्या सीखेंगे
बहुभुज & कोण माप
आसन्न कोण और सामान्य कोण शब्दावली
आंतरिक कोण-योग: \((n-2)\cdot 180^\circ\)
नियमित बहुभुज: प्रत्येक आंतरिक कोण \(\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}\)
पार्श्व क्षेत्रफल: केवल पार्श्व सतहों का क्षेत्रफल।
तिर्यक ऊँचाई \(l\): शंकु की पार्श्व सतह के साथ की लंबाई (पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए उपयोग)।
द्वितलीय कोण: दो समतलों के बीच का कोण (जैसे बहुफलक के दो फलक)।
झटपट पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: जो कोण एक समान भुजा और शीर्ष साझा करते हैं, उन्हें क्या कहते हैं?
संकेत: वे उसी शीर्ष पर छूते हैं और एक भुजा साझा करते हैं।
पूर्व-जाँच 2: आयताकार प्रिज़्म में कितने फलक होते हैं?
संकेत: "ऊपर, नीचे और चार पार्श्व फलक" सोचें।
बहुभुज & कोण
नियमित बहुभुज और आंतरिक कोण
सीखने का लक्ष्य: नियमित बहुभुजों के आंतरिक कोण माप ज्ञात करें और हर बार भरोसेमंद सूत्र उपयोग करें।
मुख्य विचार
\(n\) भुजाओं वाले बहुभुज का आंतरिक कोण-योग होता है:\[\text{आंतरिक कोणों का योग}=(n-2)\cdot 180^\circ.\]यदि बहुभुज नियमित है (सभी कोण बराबर), तो प्रत्येक आंतरिक कोण है:\[\text{प्रत्येक आंतरिक कोण}=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}.\]
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: नियमित नवभुज (9-भुजीय बहुभुज) के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप ज्ञात करें।
\(n=9\) उपयोग करें। पहले योग ज्ञात करें:\[(9-2)\cdot 180^\circ = 7\cdot 180^\circ = 1260^\circ.\]फिर 9 से भाग दें (क्योंकि यह नियमित है):\[\frac{1260^\circ}{9}=140^\circ.\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: नियमित नवभुज (9-भुजीय बहुभुज) के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप क्या है?
संकेत: \(n=9\) के साथ \(\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}\) उपयोग करें।
खुद कोशिश 2: भुजा लंबाई \(s\) वाले नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल क्या है? (\(s\) के रूप में)
संकेत: षट्भुज को भुजा \(s\) वाले 6 समबाहु त्रिभुजों में बाँटें।
सारांश
आंतरिक कोण-योग: \((n-2)\cdot 180^\circ\)।
नियमित बहुभुज: प्रत्येक आंतरिक कोण \(\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}\)।
नियमित षट्भुज क्षेत्रफल: \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}s^2\)।
फलक, धार, शीर्ष
त्रि-आयामी आकृतियों के भाग गिनना
सीखने का लक्ष्य:फलक, धार और शीर्ष पहचानें और प्रिज़्म, पिरामिड तथा सामान्य बहुफलक के लिए उन्हें सही गिनें।
मुख्य विचार
बहुफलक (सपाट फलकों वाले ठोस) के लिए: फलक सपाट सतहें हैं, धार वह जगह है जहाँ फलक मिलते हैं, और शीर्ष कोना बिंदु हैं। कई उत्तल बहुफलक के लिए उपयोगी जाँच ऑयलर का सूत्र है:\[V - E + F = 2,\]जहाँ \(V\) शीर्ष, \(E\) धार और \(F\) फलक हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: वर्ग पिरामिड में कितने शीर्ष और धार होते हैं?
वर्ग पिरामिड का वर्ग आधार (\(n=4\)) और एक शीर्ष होता है। शीर्ष: \(n+1=4+1=5\)। धार: आधार की \(4\) धार + पार्श्व \(4\) धार, कुल \(8\)।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: वर्ग पिरामिड में कितने शीर्ष होते हैं?
संकेत: पिरामिड में सभी आधार शीर्षों के साथ एक शिखर होता है।
खुद कोशिश 2: पंचभुजी प्रिज़्म में कितनी धार होती हैं?
संकेत: \(n\)-भुजीय आधार वाले प्रिज़्म में \(3n\) धार होती हैं (ऊपर \(n\), नीचे \(n\), ऊर्ध्व \(n\))।
खुद कोशिश 3: चतुष्फलक में कितने शीर्ष होते हैं?
संकेत: चतुष्फलक त्रिभुजीय आधार वाला पिरामिड है (\(n=3\)), इसलिए शीर्ष \(=n+1=4\)।
सारांश
वर्ग पिरामिड: \(5\) शीर्ष और \(8\) धार।
पंचभुजी प्रिज़्म: \(15\) धार।
चतुष्फलक: \(4\) शीर्ष।
पृष्ठीय क्षेत्रफल
पृष्ठीय क्षेत्रफल और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
सीखने का लक्ष्य: सही सूत्रों और "जाल" सोच के साथ कुल और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें।
मुख्य विचार
पृष्ठीय क्षेत्रफल सभी बाहरी फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। जाल उन फलकों का "समतल किया हुआ" लेआउट है - यह जाँचने में मदद करता है कि क्या शामिल करना है।
आयाम \(l\times w\times h\) वाले आयताकार प्रिज़्म के लिए:\[SA = 2(lw + lh + wh).\]भुजा लंबाई \(s\) वाले घन के लिए:\[SA_{\text{कुल}} = 6s^2, \quad SA_{\text{पार्श्व}} = 4s^2.\]
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(2 \times 3 \times 4\) आयामों वाले आयताकार प्रिज़्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
तीन फलक क्षेत्रफल निकालें: \(lw=2\cdot 3=6\), \(lh=2\cdot 4=8\), \(wh=3\cdot 4=12\)। जोड़ें और 2 से गुणा करें:\[SA=2(6+8+12)=2(26)=52.\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(2 \times 3 \times 4\) आयामों वाले आयताकार प्रिज़्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
संकेत: \(l=2,w=3,h=4\) के साथ \(SA=2(lw+lh+wh)\) उपयोग करें।
खुद कोशिश 2: भुजा लंबाई \(2\) वाले घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
संकेत: पार्श्व क्षेत्रफल 4 पार्श्व फलक हैं। प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल \(s^2\) है।
सारांश
आयताकार प्रिज़्म: \(SA=2(lw+lh+wh)\)।
घन: कुल \(6s^2\), पार्श्व \(4s^2\)।
आयतन
प्रिज़्मों और घनों का आयतन
सीखने का लक्ष्य: आधार क्षेत्रफल गुणा ऊँचाई से आयतन निकालें, और जब आकृतियाँ ओवरलैप न करें तो आयतन जोड़ें।
मुख्य विचार
प्रिज़्मों (आयताकार प्रिज़्मों सहित) और बेलनों के लिए आयतन है:\[V = Bh,\]जहाँ \(B\) आधार का क्षेत्रफल और \(h\) ऊँचाई (लंब दूरी) है। आयताकार प्रिज़्म के लिए यह \(V=lwh\) बनता है। घन के लिए \(V=s^3\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(2 \times 3 \times 4\) आयामों वाले आयताकार प्रिज़्म का आयतन क्या है?
खुद कोशिश 1: \(2 \times 3 \times 4\) आयामों वाले आयताकार प्रिज़्म का आयतन क्या है?
संकेत: \(2\cdot 3\cdot 4\) गुणा करें।
खुद कोशिश 2: भुजा लंबाइयाँ \(2\) और \(3\) वाले दो घनों का संयुक्त आयतन क्या है?
संकेत: घन का आयतन \(s^3\) है। \(2^3\) और \(3^3\) जोड़ें।
सारांश
प्रिज़्म: \(V=Bh\)। आयताकार प्रिज़्म: \(V=lwh\)।
घन: \(V=s^3\)। यदि ठोस ओवरलैप नहीं करते, तो आयतन जोड़ें।
शंकु & पिरामिड
शंकु: आयतन और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
सीखने का लक्ष्य: शंकु आयतन के लिए \(\tfrac13Bh\) उपयोग करें और तिर्यक ऊँचाई से पार्श्व बनाम कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल अलग करें।
मुख्य विचार
शंकु (और किसी भी पिरामिड) का आयतन होता है:\[V=\frac{1}{3}Bh.\]सम वृत्तीय शंकु के लिए आधार क्षेत्रफल \(B=\pi r^2\) है, इसलिए:\[V=\frac{1}{3}\pi r^2 h.\]शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल तिर्यक ऊँचाई \(l\) उपयोग करता है:\[SA_{\text{पार्श्व}}=\pi r l,\]और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार जोड़ता है:\[SA_{\text{कुल}}=\pi r^2+\pi r l.\]
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: सम वृत्तीय शंकु की त्रिज्या \(4\) और ऊँचाई \(3\) है। उसका आयतन क्या है?
खुद कोशिश 2: त्रिज्या \(1\) और तिर्यक ऊँचाई \(2\) वाले सम वृत्तीय शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
संकेत: \(SA_{\text{कुल}}=\pi r^2+\pi r l\)। \(r=1,l=2\) होने पर यह \(\pi+2\pi\) है।
सारांश
शंकु आयतन: \(V=\dfrac13\pi r^2 h\)।
शंकु कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: \(SA=\pi r^2+\pi r l\)।
बेलन & गोले
बेलन और गोले: क्षेत्रफल, आयतन और "भाग"
सीखने का लक्ष्य: बेलन पृष्ठीय-क्षेत्रफल सूत्र सही उपयोग करें और वक्र ठोसों के धार/शीर्ष समझें।
मुख्य विचार
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (केवल पार्श्व सतह) है:\[SA_{\text{पार्श्व}} = 2\pi r h,\]और उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दो वृत्तीय आधार जोड़ता है:\[SA_{\text{कुल}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h.\]गोले की कोई धार और कोई शीर्ष नहीं होता। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल है:\[SA_{\text{गोला}} = 4\pi r^2.\]
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: त्रिज्या \(2\) और ऊँचाई \(3\) वाले बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
\[SA_{\text{पार्श्व}}=2\pi r h = 2\pi(2)(3)=12\pi.\]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: त्रिज्या \(2\) और ऊँचाई \(3\) वाले बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
संकेत: \(SA_{\text{पार्श्व}}=2\pi r h\) उपयोग करें।
खुद कोशिश 2: बेलन में कितनी धार होती हैं?
संकेत: उन वृत्तीय सीमाओं को गिनें जहाँ आधार वक्र सतह से मिलते हैं।
खुद कोशिश 3: गोले में कितनी धार होती हैं?
संकेत: गोले की सतह चिकनी होती है और ऐसी कोई रेखाखंड धार नहीं जहाँ फलक मिलते हों।
सीखने का लक्ष्य: परिभाषाओं और सूत्रों को मिलाएँ, और उत्तरों की युक्तिसंगतता जाँचने की आदत बनाएँ।
मुख्य विचार: द्वितलीय कोण
द्वितलीय कोण दो समतलों के बीच का कोण है। ठोस ज्यामिति में यह बहुफलक के दो फलकों के बीच का कोण होता है। घन में कोई भी दो आसन्न फलक समकोण पर मिलते हैं, इसलिए द्वितलीय कोण \(90^\circ\) है।
वास्तविक दुनिया से संबंध
पैकेजिंग और शिपिंग: पृष्ठीय क्षेत्रफल रैपिंग सामग्री का अनुमान लगाने में मदद करता है; आयतन क्षमता का अनुमान लगाने में।
वास्तुकला और अभियांत्रिकी: जोड़ों और कोनों में कोण तथा फलकों के प्रतिच्छेद महत्वपूर्ण होते हैं।
डिज़ाइन और त्रि-आयामी मुद्रण: धार/शीर्ष जानने से मॉडल और जाल की कल्पना आसान होती है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: घन के दो फलकों के बीच द्वितलीय कोण क्या है?
संकेत: घन के फलक ऐसे मिलते हैं जैसे कोने पर दो दीवारें मिलती हैं।
खुद कोशिश 2: घन और चतुष्फलक की कुल धारों की संख्या क्या है?
संकेत: घन में 12 धार हैं। चतुष्फलक में 6 धार हैं।
खुद कोशिश 3: वर्ग पिरामिड में कितनी धार होती हैं?
संकेत: 4 आधार धार + आधार शीर्षों से शिखर तक 4 धार।
रोचक तथ्य (थोड़ा ज्यामिति इतिहास)
यूक्लिड: कई आधारभूत ज्यामिति परिणाम यूक्लिड की एलिमेंट्स में व्यवस्थित किए गए।
आर्किमिडीज़: क्षेत्रफलों और आयतनों पर प्रारंभिक काम ने आधुनिक मापन सूत्रों का रास्ता बनाया।
बड़ा विचार: वही पृष्ठीय-क्षेत्रफल और आयतन तर्क विज्ञान, अभियांत्रिकी और कंप्यूटर ग्राफिक्स में दिखाई देता है।
अंतिम सारांश
नियमित बहुभुज आंतरिक कोण: \(\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}\)।
आयताकार प्रिज़्म: \(SA=2(lw+lh+wh)\), \(V=lwh\)।
घन: पार्श्व क्षेत्रफल \(4s^2\), आयतन \(s^3\)।
बेलन पार्श्व क्षेत्रफल: \(2\pi r h\)। शंकु कुल क्षेत्रफल: \(\pi r^2+\pi r l\)। शंकु आयतन: \(\dfrac13\pi r^2 h\)।
घन द्वितलीय कोण (फलकों के बीच): \(90^\circ\)।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना क्विज़ फिर से हल करें। यदि कोई प्रश्न छूटे, तो पुस्तक फिर से खोलें और उस पेज को दोहराएँ जो आपकी ज़रूरत वाली ज्यामिति कौशल से मेल खाता है।
अभ्यास सेट
ज्यामिति के मूल सिद्धांत II अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
एक घन के कितने फलक होते हैं?
सही उत्तर: B. 6
व्याख्या: एक घन के 6 फलक होते हैं।
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
भुजा की लंबाई \(3\) वाले घन का आयतन क्या है?
सही उत्तर: D. 27
व्याख्या: आयतन = भुजा³ = \(3^3 = 27\)।
प्रश्न 3उत्तर नहीं दिया
एक घन के कितने किनारे होते हैं?
सही उत्तर: D. 12
व्याख्या: एक घन के \(12\) किनारे होते हैं.
प्रश्न 4उत्तर नहीं दिया
आयताकार प्रिज़्म के कितने शीर्ष होते हैं?
सही उत्तर: A. 8
व्याख्या: एक आयताकार प्रिज़्म के \(8\) शीर्ष होते हैं.
प्रश्न 5उत्तर नहीं दिया
भुजा की लंबाई \(2\) वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
