संकेतक समुच्चय के माप को समाकलन में बदलते हैं

मुख्य विचार

किसी भी मापनीय समुच्चय \(A\) के लिए उसके संकेतक का लेबेग समाकल उसका माप है: \[\int 1_A\,d\mu=\mu(A).\] यदि \(c\ge0\), तो \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\). जब \(A\) और \(B\) विच्छिन्न हों, तो \(1_A+1_B=1_{A\cup B}\), इसलिए समाकलन गणनीय योगात्मकता को दर्शाता है। यदि \(A\subset B\), तो \(1_A\le1_B\), अतः \(\mu(A)\le\mu(B)\)।

उदाहरण

• लंबाई माप के साथ \(\mathbb{R}\) पर, \(\int 1_{[1,3]}\,dx=2\)।
• एकल बिंदु का माप \(0\) है, इसलिए \(\int 1_{\{0\}}\,dx=0\)।
• \([0,1]\) में परिमेय संख्याएं गणनीय हैं, इसलिए शून्य-माप हैं।
• पूरी वास्तविक रेखा पर \(\int 1_{\mathbb{R}}\,dx=+\infty\)।

लगभग सर्वत्र

कोई कथन लगभग सर्वत्र तब सही होता है जब जहां वह असफल होता है उस समुच्चय का माप \(0\) हो। अऋणात्मक मापनीय फलनों और \(L^1\) फलनों के समाकल तब नहीं बदलते जब फलन को शून्य-माप समुच्चय पर बदला जाए।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएं

सरल फलन समाकल के निर्माण-खंड हैं

मुख्य विचार

अऋणात्मक सरल फलन का रूप \(s=\sum_{i=1}^m a_i1_{A_i}\) होता है, जहां \(a_i\ge0\) और मापनीय समुच्चय \(A_i\) विच्छिन्न चुने जा सकते हैं। इसका समाकल है \[\int s\,d\mu=\sum_{i=1}^m a_i\,\mu(A_i).\] अऋणात्मक मापनीय \(f\) के लिए, \(\int f\) को उन सरल \(0\le s\le f\) के \(\int s\) के सुप्रीमम के रूप में परिभाषित करें।

निर्माण चरण

• प्रांत को मापनीय स्तर-टुकड़ों में बांटें।
• हर टुकड़े पर एक स्थिर मान लें।
• हर मान को उसके टुकड़े के माप से गुणा करें।
• योगदानों को जोड़ें; अऋणात्मक फलनों के लिए परिणाम \(+\infty\) भी हो सकता है।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएं

सीमित \(L^1\) समाकल निरपेक्ष समाकलनीयता से आते हैं

मुख्य विचार

वास्तविक मापनीय फलन के लिए \(f=f^+-f^-\) लिखें, जहां \(f^+=\max(f,0)\) और \(f^-=\max(-f,0)\)। समाकल \(\int f\) सीमित तब होता है जब \(\int |f|\,d\mu<\infty\)। यही ठीक \(f\in L^1\) है। निरपेक्ष समाकलनीयता अपरिभाषित व्यंजक \(+\infty-\infty\) से बचाती है।

याद रखने योग्य तथ्य

• यदि \(f\ge0\), तो \(\int f\ge0\), संभवतः \(+\infty\)।
• यदि \(f\ge0\) और \(\int f\,d\mu=0\), तो \(f=0\) लगभग सर्वत्र।
• यदि \(0\le f\le g\) लगभग सर्वत्र, तो \(\int f\le\int g\)।
• यदि \(|f|\le g\) और \(g\in L^1\), तो \(f\in L^1\)।
• यदि \(f\in L^1\), तो \(f\) लगभग सर्वत्र सीमित है और \(|\int f\,d\mu|\le\int |f|\,d\mu<\infty\)।
• यदि \(f,g\in L^1\), तो \(f+g\in L^1\)।
• यदि \(f=0\) लगभग सर्वत्र, तो \(\int |f|=0\)।
• यदि \(f=g\) लगभग सर्वत्र और दोनों समाकलनीय हैं, तो \(\int f=\int g\); \(L^1\) में वे वही अवयव दर्शाते हैं।
• \(L^1\) में \(f_n\to f\) का अर्थ है \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\)।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएं

बढ़ती अऋणात्मक सीमाएं समाकलन के साथ अदल-बदल करती हैं

मुख्य विचार

यदि \(0\le f_1\le f_2\le\cdots\) और \(f_n(x)\uparrow f(x)\) बिंदुवार, तो \[\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu.\] मान \(+\infty\) हो सकता है। अऋणात्मकता और एकरस वृद्धि मुख्य शर्तें हैं।

प्रमेय जाँच-सूची

• हर \(f_n\) मापनीय और अऋणात्मक है।
• अनुक्रम बिंदुवार बढ़ता है: \(f_n\le f_{n+1}\)।
• बिंदुवार सीमा \(f=\sup_n f_n\) है।
• समाकलनीय प्रभुत्वकारी फलन की जरूरत नहीं है।
• निष्कर्ष है कि समाकल सीमा फलन के समाकल की ओर अभिसरित होते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएं

फातू कमजोर शर्तों में बची रहने वाली एकतरफा असमता देता है

मुख्य विचार

अऋणात्मक मापनीय फलनों \(f_n\) के लिए फातू का लेम्मा कहता है \[\int \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu.\] यह निम्न-अर्धसांतत्य का कथन है: सीमा में द्रव्यमान गायब हो सकता है, पर निचली सीमा का समाकल समाकलों की निचली सीमा से बड़ा नहीं हो सकता।

यह क्या कहता है

• इसे तब उपयोग करें जब अऋणात्मक फलन हों पर एकरस वृद्धि न हो।
• यह असमता देता है, अपने-आप समानता नहीं।
• यह अक्सर सीमा-समाकलों के लिए निचले बंध सिद्ध करता है।
• आम गलती असमता की दिशा उलट देना है।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएं

समाकलनीय बंध सीमा को समाकल के भीतर ले जाने देता है

मुख्य विचार

यदि \(f_n\to f\) लगभग सर्वत्र और कोई एक \(g\in L^1\) ऐसा है कि सभी \(n\) के लिए \(|f_n|\le g\), तो \(f\in L^1\), \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\), और \(\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\)। वही \(g\) पूरे अनुक्रम के लिए काम करना चाहिए।

प्रमेय जाँच-सूची

• शामिल फलनों की मापनीयता।
• बिंदुवार या लगभग सर्वत्र अभिसरण \(f_n\to f\)।
• हर \(n\) के लिए एक ही बंध \(|f_n|\le g\)।
• बंध समाकलनीय है: \(g\in L^1\)।
• निष्कर्ष: \(L^1\) में अभिसरण और समाकलों का अभिसरण।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएं

अधिकतर गलतियां शून्य-माप समुच्चयों, अनंतता या प्रमेय-शर्तों की अनदेखी से आती हैं

आम चूकें

• शून्य-माप समुच्चय पर बदलाव: वे अऋणात्मक या समाकलनीय फलनों के समाकल नहीं बदलते।
• बिंदुवार बनाम लगभग सर्वत्र: एक-बिंदु अपवाद आम तौर पर समाकलन में फर्क नहीं डालते।
• अनंत माप: \(1_{\mathbb{R}}\), \(L^1(\mathbb{R})\) में नहीं है।
• अऋणात्मक समाकल: इसे \(+\infty\) होने की अनुमति है।
• चिन्हित समाकल: \(+\infty-\infty\) से बचें; \(L^1\) के लिए \(\int |f|<\infty\) उपयोग करें।
• एकरस अभिसरण: अऋणात्मक बढ़ते फलन चाहिए।
• प्रभुत्व अभिसरण: एक ही समाकलनीय प्रभुत्वकारी फलन चाहिए, केवल बिंदुवार अभिसरण नहीं।
• फातू: एकतरफा असमता देता है, सीमा को समाकल में ले जाने वाली समानता नहीं।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएं

अंतिम सारांश

• \(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\), और \(A\subset B\Rightarrow\mu(A)\le\mu(B)\)।
• गणनीय शून्य-माप समुच्चयों का माप \(0\) होता है, और शून्य-माप समुच्चयों का गणनीय संघ भी शून्य-माप होता है।
• अऋणात्मक या समाकलनीय स्थिति में समाकलों की समानता के लिए लगभग सर्वत्र समानता काफी है।
• सरल फलनों का समाकल मापनीय टुकड़ों पर मान गुणा माप जोड़कर निकाला जाता है।
• अऋणात्मक समाकल \(+\infty\) हो सकता है; यदि \(f\ge0\) और \(\int f=0\), तो \(f=0\) लगभग सर्वत्र।
• \(f\in L^1\) का अर्थ \(\int |f|<\infty\) है, इसलिए \(f\) लगभग सर्वत्र सीमित है, \(|\int f|\le\int |f|\), और \(L^1\) फलनों के योग \(L^1\) में रहते हैं।
• \(L^1\) उन फलनों की पहचान करता है जो लगभग सर्वत्र समान हैं; \(L^1\) में \(f_n\to f\) का अर्थ \(\int |f_n-f|\to0\) है।
• एकरसता: \(0\le f\le g\) लगभग सर्वत्र होने पर \(\int f\le\int g\)।
• एकरस अभिसरण \(0\le f_n\uparrow f\) को संभालता है।
• फातू का लेम्मा अऋणात्मक \(f_n\) के लिए \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) देता है।
• प्रभुत्व अभिसरण के लिए \(f_n\to f\) लगभग सर्वत्र और \(|f_n|\le g\in L^1\) चाहिए।