Индикаторы превращают меру множества в интеграл

Ключевая идея

Для любого измеримого множества \(A\) интеграл Лебега от его индикатора равен его мере: \[\int 1_A\,d\mu=\mu(A).\] Если \(c\ge0\), то \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\). Когда \(A\) и \(B\) не пересекаются, \(1_A+1_B=1_{A\cup B}\), поэтому интегрирование отражает счетную аддитивность.

Примеры

• На \(\mathbb{R}\) с мерой длины \(\int 1_{[1,3]}\,dx=2\).
• Одноточечное множество имеет меру \(0\), поэтому \(\int 1_{\{0\}}\,dx=0\).
• Рациональные числа в \([0,1]\) счетны, значит, образуют нулевое множество.
• \(\int 1_{\mathbb{R}}\,dx=+\infty\) на всей вещественной прямой.

Почти всюду

Утверждение выполняется почти всюду, если множество, где оно нарушается, имеет меру \(0\). Интегралы неотрицательных измеримых функций и функций из \(L^1\) не меняются, когда функцию изменяют на нулевом множестве.

Разобранный пример

Попробуйте

Простые функции являются строительными блоками интеграла

Ключевая идея

Неотрицательная простая функция имеет вид \(s=\sum_{i=1}^m a_i1_{A_i}\), где \(a_i\ge0\), а измеримые множества \(A_i\) можно выбрать непересекающимися. Ее интеграл равен \[\int s\,d\mu=\sum_{i=1}^m a_i\,\mu(A_i).\] Для неотрицательной измеримой \(f\) \(\int f\) определяют как супремум \(\int s\) по простым \(0\le s\le f\).

Шаги построения

• Разбейте область на измеримые части уровня.
• Используйте постоянное значение на каждой части.
• Умножьте каждое значение на меру той части, где оно появляется.
• Сложите вклады, допуская результат \(+\infty\) для неотрицательных функций.

Разобранный пример

Попробуйте

Конечные интегралы \(L^1\) возникают из абсолютной интегрируемости

Ключевая идея

Для вещественной измеримой функции пишут \(f=f^+-f^-\), где \(f^+=\max(f,0)\) и \(f^-=\max(-f,0)\). Интеграл \(\int f\) конечен, когда \(\int |f|\,d\mu<\infty\). Это в точности означает \(f\in L^1\). Абсолютная интегрируемость предотвращает неопределенное выражение \(+\infty-\infty\).

Факты, которые нужно помнить

• Если \(f\ge0\), то \(\int f\ge0\), возможно \(+\infty\).
• Если \(0\le f\le g\) п.в., то \(\int f\le\int g\).
• Если \(|f|\le g\) и \(g\in L^1\), то \(f\in L^1\).
• Если \(f=0\) п.в., то \(\int |f|=0\).
• Если \(f=g\) п.в. и обе функции интегрируемы, то \(\int f=\int g\).

Разобранный пример

Попробуйте

Возрастающие неотрицательные пределы перестановочны с интегрированием

Ключевая идея

Если \(0\le f_1\le f_2\le\cdots\) и \(f_n(x)\uparrow f(x)\) поточечно, то \[\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu.\] Значение может быть \(+\infty\). Неотрицательность и монотонное возрастание - ключевые условия.

Контрольный список теоремы

• Каждая \(f_n\) измерима и неотрицательна.
• Последовательность возрастает поточечно: \(f_n\le f_{n+1}\).
• Поточечный предел равен \(f=\sup_n f_n\).
• Интегрируемая доминирующая функция не требуется.
• Вывод - сходимость интегралов к интегралу предела.

Разобранный пример

Попробуйте

Фату дает одностороннее неравенство, которое сохраняется при слабых условиях

Ключевая идея

Для неотрицательных измеримых функций \(f_n\) лемма Фату утверждает \[\int \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu.\] Это утверждение о нижней полунепрерывности: масса может исчезнуть в пределе, но интеграл нижнего предела не может превысить нижний предел интегралов.

Что она утверждает

• Используйте ее, когда у вас есть неотрицательные функции, но нет монотонного возрастания.
• Она дает неравенство, а не автоматическое равенство.
• Она часто доказывает нижние оценки для предельных интегралов.
• Типичная ошибка - поменять направление неравенства.

Разобранный пример

Попробуйте

Интегрируемая оценка позволяет переносить предел под знак интеграла

Ключевая идея

Если \(f_n\to f\) почти всюду и существует одна функция \(g\in L^1\), такая что \(|f_n|\le g\) для всех \(n\), то \(f\in L^1\), \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\) и \(\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\). Одна и та же \(g\) должна работать для всей последовательности.

Контрольный список теоремы

• Измеримость участвующих функций.
• Поточечная сходимость или сходимость почти всюду \(f_n\to f\).
• Одна оценка \(|f_n|\le g\) для каждого \(n\).
• Оценка интегрируема: \(g\in L^1\).
• Вывод: сходимость в \(L^1\) и сходимость интегралов.

Разобранный пример

Попробуйте

Большинство ошибок игнорирует нулевые множества, бесконечность или условия теорем

Типичные ошибки

• Изменения на нулевом множестве: они не меняют интегралы неотрицательных или интегрируемых функций.
• Поточечно против п.в.: одноточечные исключения обычно не важны для интегрирования.
• Бесконечная мера: \(1_{\mathbb{R}}\) не принадлежит \(L^1(\mathbb{R})\).
• Интеграл неотрицательной функции: ему разрешено быть \(+\infty\).
• Знакопеременный интеграл: избегайте \(+\infty-\infty\); используйте \(\int |f|<\infty\) для \(L^1\).
• Теорема о монотонной сходимости: нужны неотрицательные возрастающие функции.
• Теорема о мажорированной сходимости: нужен один интегрируемый доминатор, а не только поточечная сходимость.
• Фату: дает одностороннее неравенство, а не равенство с переносом предела.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоговое повторение

• \(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\).
• Счетные нулевые множества имеют меру \(0\), и счетное объединение нулевых множеств нулево.
• Равенства почти всюду достаточно для равенства интегралов в неотрицательном или интегрируемом случае.
• Простые функции интегрируют, суммируя значение, умноженное на меру, по измеримым частям.
• Интеграл неотрицательной функции может быть \(+\infty\).
• \(f\in L^1\) означает \(\int |f|<\infty\).
• Монотонность: \(0\le f\le g\) п.в. влечет \(\int f\le\int g\).
• Монотонная сходимость работает для \(0\le f_n\uparrow f\).
• Лемма Фату дает \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) для неотрицательных \(f_n\).
• Доминированной сходимости нужны \(f_n\to f\) п.в. и \(|f_n|\le g\in L^1\).