द्वितीय-क्रम रैखिक ओडीई अभ्यास प्रश्न, क्विज़ और चरण-दर-चरण पाठ - केंद्रित प्रश्नों और स्पष्ट स्पष्टीकरणों से अपनी गणित क्षमता सुधारें।
अपनी सर्वश्रेष्ठ स्ट्रीक सहेजने के लिए लॉग इन करें।
\(y'' - 4y = 0\) के सामान्य हल का रूप क्या है?
A. \(C_1xe^{2x}+C_2e^{-2x}\)
B. \(C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}\)
C. \(C_1e^{4x}+C_2\)
D. \(C_1\cos2x+C_2\sin2x\)
अगला प्रश्न
व्याख्या: \(r^2-4=0\) के मूल \(±2\) हैं, इसलिए हल \(C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}\) है।
द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण अभ्यास प्रश्नोत्तरी
इस अभ्यास में द्वितीय-क्रम रैखिक differential समीकरण को लाक्षणिक समीकरण से हल करना सीखें: अलग-अलग वास्तविक मूल, दोहराए हुए मूल, सम्मिश्र संयुग्मी मूल और व्रॉन्स्कियन से रैखिक स्वतंत्रता की जाँच।
यह अभ्यास कैसे काम करता है
1. प्रश्नोत्तरी हल करें: समीकरण देखकर लाक्षणिक समीकरण बनाएँ।2. पाठ खोलें: मूल के हर case का हल रूप देखें।3. फिर प्रयास करें: मूल से सामान्य हल तुरंत लिखें।
आप क्या सीखेंगे
मानक रूप
मुख्य रूप \(ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0\) है, जहाँ \(a,b,c\) स्थिर हैं।
लाक्षणिक समीकरण: \(ar^2+br+c=0\)।
मूल हल के रूप को तय करते हैं।
वास्तविक मूल
यदि मूल \(r_1,r_2\) अलग हैं, तो \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)।
दोहराया हुआ मूल \(r\) के लिए \(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)।
उदाहरण में पहले बहुपद गुणनखंड करें, फिर मूल का प्रकार चुनें।
सम्मिश्र मूल
मूल \(\alpha\pm\beta i\) हों तो \(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)।
Pure काल्पनिक मूल oscillation देते हैं।
\(\beta\) आवृत्ति को नियंत्रित करता है।
व्रॉन्स्कियन
दो हल के लिए \(W=y_1y_2^{\prime}-y_2y_1^{\prime}\)।
शून्येतर व्रॉन्स्कियन रैखिक स्वतंत्रता दिखाता है।
दो स्वतंत्र हल सामान्य हल बनाते हैं।
प्रश्नोत्तरी पर वापस
द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण में सबसे महत्वपूर्ण कदम मूल का प्रकार पहचानना है।
प्रश्नोत्तरी पर जाएं
⭐⭐⭐⭐⭐⭐
🧩
द्वितीय-क्रम
लाक्षणिक मूल, व्रॉन्स्कियन और हल के रूप
खोलने के लिए टैप करें ->
द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण पाठ
द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण कैसे हल करें
इस पाठ का लक्ष्य है कि आप \(ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0\) को लाक्षणिक मूल से हल कर सकें और हर मूल का प्रकार के लिए सही सामान्य हल लिख सकें।
सफलता मानदंड
लाक्षणिक समीकरण \(ar^2+br+c=0\) बनाना। Distinct वास्तविक, दोहराया हुआ और सम्मिश्र मूल पहचानना। हर case का सामान्य हल लिखना। व्रॉन्स्कियन से स्वतंत्रता जाँचना। आरंभिक शर्तें से स्थिरांक निकालना।
मुख्य शब्दावली
द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण: समीकरण जिसमें \(y^{\prime\prime}\) आता है।लाक्षणिक समीकरण: मूल निकालने वाला बीजीय समीकरण।दोहराया हुआ मूल: वही मूल दो बार आता है।सम्मिश्र conjugates: \(\alpha\pm\beta i\) मूल।व्रॉन्स्कियन: हल की स्वतंत्रता की सारिणिक जाँच।
त्वरित पूर्व-जाँच
अवकल समीकरण को बहुपद में बदलना
लक्ष्य: \(ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0\) से \(ar^2+br+c=0\) बनाना।
मुख्य विचार
क्योंकि \(e^{rx}\) का हर अवकलज फिर \(e^{rx}\) के गुणज जैसा होता है, हल \(y=e^{rx}\) मानने से अवकल समीकरण लाक्षणिक बहुपद में बदलता है।
मूल का प्रकारs
दो अलग वास्तविक मूल: दो घातांकीय पद। दोहराया हुआ मूल: \(e^{rx}\) और \(xe^{rx}\)। सम्मिश्र मूल: घातांकीय समयs साइन/कोसाइन।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0\) हल करें।
लाक्षणिक समीकरण \(r^2-3r+2=0=(r-1)(r-2)\)। मूल \(1,2\), इसलिए \(y=C_1e^x+C_2e^{2x}\)।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
पहले लाक्षणिक समीकरण बनाएँ। मूल का प्रकार हल रूप तय करता है।
दो अलग वास्तविक मूल
लक्ष्य: अलग वास्तविक मूल से घातांकीय हल लिखना।
मुख्य विचार
यदि मूल \(r_1\ne r_2\) हैं, तो सामान्य हल \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\) है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(r=3,-1\) हों तो हल?
\(y=C_1e^{3x}+C_2e^{-x}\)।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
अलग वास्तविक मूल स्वतंत्र घातीय फलन देते हैं। दो स्थिरांक \(C_1,C_2\) चाहिए।
दोहराया हुआ वास्तविक मूल
लक्ष्य: दोहराया हुआ मूल के लिए लापता स्वतंत्र हल जोड़ना।
मुख्य विचार
यदि लाक्षणिक समीकरण में दोहराया हुआ मूल \(r\) है, तो हल \(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \((r-2)^2=0\) हो तो हल?
दोहराया हुआ मूल \(r=2\), इसलिए \(y=(C_1+C_2x)e^{2x}\)।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
दोहराया हुआ मूल में दूसरा पद \(xe^{rx}\) होता है। यह दो स्वतंत्र हल देता है।
सम्मिश्र संयुग्मी मूल से oscillation
लक्ष्य: \(\alpha\pm\beta i\) मूल को वास्तविक-valued हल में बदलना।
मुख्य विचार
यदि मूल \(\alpha\pm\beta i\) हैं, तो \(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: मूल \(1\pm3i\) हों तो हल?
\(y=e^x(C_1\cos3x+C_2\sin3x)\)।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
सम्मिश्र मूल साइन और कोसाइन देते हैं। वास्तविक भाग घातांकीय वृद्धि/क्षय नियंत्रित करता है।
स्थिरांक निकालना
लक्ष्य: \(y(0)\), \(y^{\prime}(0)\) जैसी शर्तें से \(C_1,C_2\) निकालना।
मुख्य विचार
सामान्य हल मिलने के बाद आरंभिक शर्तें प्रतिस्थापित करें करके स्थिरांक के लिए रैखिक प्रणाली हल करें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(y=C_1e^x+C_2e^{2x}\), \(y(0)=3\), \(y^{\prime}(0)=4\)।
\(C_1+C_2=3\) और \(C_1+2C_2=4\)। इसलिए \(C_2=1\), \(C_1=2\)।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
पहले सामान्य हल लिखें। फिर शर्तें से स्थिरांक हल करें।
रैखिक स्वतंत्रता की जाँच
लक्ष्य: व्रॉन्स्कियन से हल की स्वतंत्रता पहचानना।
मुख्य विचार
दो फलन \(y_1,y_2\) के लिए \(W=y_1y_2^{\prime}-y_2y_1^{\prime}\)। यदि \(W\ne0\), तो फलन स्वतंत्र हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(e^x\) और \(e^{2x}\) का व्रॉन्स्कियन?
\(W=e^x(2e^{2x})-e^{2x}(e^x)=e^{3x}\ne0\), इसलिए स्वतंत्र।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
व्रॉन्स्कियन सारिणिक है। शून्येतर व्रॉन्स्कियन स्वतंत्र हल दिखाता है।
द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण कहाँ आते हैं
लक्ष्य: oscillation और घातांकीय व्यवहार को हल मूल से जोड़ना।
कहाँ उपयोग होते हैं
Spring-mass प्रणालीs। Electrical circuits। Oscillation और damping मॉडल। रैखिक stability विश्लेषण।
उदाहरण
उदाहरण: \(y^{\prime\prime}+9y=0\) किस व्यवहार को दिखाता है?
मूल \(\pm3i\), इसलिए हल साइन/कोसाइन oscillation है।
अंतिम जाँच
अंतिम पुनरावृत्ति
अवकल समीकरण को लाक्षणिक समीकरण में बदलें। मूल का प्रकार हल रूप तय करता है। दोहराया हुआ मूल में \(xe^{rx}\) जोड़ें। सम्मिश्र मूल साइन और कोसाइन देते हैं। व्रॉन्स्कियन स्वतंत्रता जाँचता है।
अगला कदम: प्रश्नोत्तरी पर लौटें और हर अवकल समीकरण में पहले मूल का प्रकार पहचानें।
5+ स्ट्रीक
10+ स्ट्रीक
15+ स्ट्रीक
20+ स्ट्रीक
25+ स्ट्रीक