द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण अभ्यास क्विज़
इस अभ्यास में द्वितीय-क्रम रैखिक अवकल समीकरण को लाक्षणिक समीकरण से हल करना सीखें: अलग-अलग वास्तविक मूल, दोहराए हुए मूल, सम्मिश्र संयुग्मी मूल और व्रॉन्स्कियन से रैखिक स्वतंत्रता की जाँच।
यह अभ्यास कैसे काम करता है
- 1. क्विज़ हल करें: समीकरण देखकर लाक्षणिक समीकरण बनाएँ।
- 2. पाठ खोलें: मूल के हर मामले का हल रूप देखें।
- 3. फिर से प्रयास करें: मूल से सामान्य हल तुरंत लिखें।
आप क्या सीखेंगे
मानक रूप
- मुख्य रूप \(ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0\) है, जहाँ \(a,b,c\) स्थिर हैं।
- लाक्षणिक समीकरण: \(ar^2+br+c=0\)।
- मूल हल के रूप को तय करते हैं।
वास्तविक मूल
- यदि मूल \(r_1,r_2\) अलग हैं, तो \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)।
- दोहराया हुआ मूल \(r\) के लिए \(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)।
- उदाहरण में पहले बहुपद गुणनखंड करें, फिर मूल का प्रकार चुनें।
सम्मिश्र मूल
- मूल \(\alpha\pm\beta i\) हों तो \(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)।
- शुद्ध काल्पनिक मूल दोलन देते हैं।
- \(\beta\) आवृत्ति को नियंत्रित करता है।
व्रॉन्स्कियन
- दो हल के लिए \(W=y_1y_2^{\prime}-y_2y_1^{\prime}\)।
- शून्येतर व्रॉन्स्कियन रैखिक स्वतंत्रता दिखाता है।
- दो स्वतंत्र हल सामान्य हल बनाते हैं।
अभ्यास सेट
द्वितीय-क्रम रैखिक ओडीई अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
साधारण अवकल समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: A. \(y = C_1 x + C_2\)
व्याख्या: एक बार समाकलन करने पर: \(y'=C_1\); फिर से समाकलन करने पर: \(y = C_1 x + C_2\)।
साधारण अवकल समीकरण \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: A. \(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)
व्याख्या: लाक्षणिक समीकरण: \(r^{2}+1=0 \Rightarrow r = \,\pm i\)। अतः \(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)।
साधारण अवकल समीकरण \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{dy}{dx} = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: B. \(y = C_{1} + C_{2}e^{-x}\)
व्याख्या: लाक्षणिक: \(r^{2}+r=0 \Rightarrow r=0,-1\)। अतः \(y = C_{1} + C_{2}e^{-x}\)।
ओडीई \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - y = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: C. \(y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x}\)
व्याख्या: लाक्षणिक समीकरण: \(r^{2}-1=0 \Rightarrow r=\pm1\). अतः \(y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x}\).
ओडीई \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\dfrac{dy}{dx} + y = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: C. \((C_{1}+C_{2}x)e^{-x}\)
व्याख्या: लाक्षणिक समीकरण \((r+1)^{2}=0\) ⇒ पुनरावृत्त मूल \(r=-1\). सामान्य हल: \(y = (C_{1} + C_{2}x)e^{-x}\).
ओडीई \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 4y = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: B. \(y = C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x)\)
व्याख्या: लाक्षणिक समीकरण: \(r^{2}+4 = 0 \Rightarrow r=\pm2i\). अतः \(y = C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x)\).
ओडीई \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4y = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: A. \(y = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-2x}\)
व्याख्या: लाक्षणिक समीकरण: \(r^{2}-4=0 \Rightarrow r=\pm2\). अतः \(y = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-2x}\).
ओडीई \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 5y = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: A. \(y = C_{1}\cos(\sqrt{5}x) + C_{2}\sin(\sqrt{5}x)\)
व्याख्या: लाक्षणिक समीकरण: \(r^{2}+5=0 \Rightarrow r = \pm i\sqrt{5}\). अतः \(y = C_{1}\cos(\sqrt{5}x) + C_{2}\sin(\sqrt{5}x)\).
ओडीई \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\dfrac{dy}{dx} + y = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: B. \(y = (C_{1}+C_{2}x)e^{x}\)
व्याख्या: लाक्षणिक समीकरण \((r-1)^{2}=0\) ⇒ पुनरावृत्त मूल \(r=1\). अतः \(y = (C_{1}+C_{2}x)e^{x}\).
ओडीई \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0\) को हल कीजिए। सामान्य हल क्या है?
सही उत्तर: D. \(y = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x}\)
व्याख्या: लाक्षणिक \(r^{2}+3r+2=0\) ⇒ मूल \(r=-1,-2\). अतः \(y = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x}\).
परिणाम
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