Kuis Latihan ODE linear Orde Dua dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di bagian bawah halaman untuk berlatih persamaan diferensial biasa linear orde dua (ODE linear orde dua) dengan keterampilan terpenting untuk Persamaan Diferensial: menulis persamaan karakteristik untuk persamaan berkoefisien konstan, mengklasifikasikan akar (akar real berbeda, akar real berulang, akar kompleks sekawan), membangun solusi umum memakai solusi eksponensial \(e^{rx}\) dan (untuk akar kompleks) solusi sinus dan kosinus, mengenali ODE linear homogen vs nonhomogen, dan memakai Wronskian untuk memeriksa independensi linear solusi. Jika ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan ODE linear orde dua ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal ODE linear orde dua di bagian bawah halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau metode persamaan karakteristik, kasus akar, solusi umum, Wronskian, dan bentuk homogen vs nonhomogen dengan contoh yang jelas.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan langsung terapkan template solusi.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran ODE linear orde dua
Bentuk standar & persamaan karakteristik
Kenali ODE linear seperti \(y''+ay'+by=0\) (homogen) dan \(y''+ay'+by=g(x)\) (nonhomogen)
Bangun persamaan karakteristik \(r^2+ar+b=0\) untuk koefisien konstan
Hubungkan template solusi dengan jenis akar: real, berulang, atau kompleks sekawan
Akar real berbeda & akar berulang
Jika \(r_1≠ r_2\) real: \(y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}\)
Jika akarnya berulang \(r\): \(y=(C_1+C_2 x)e^{rx}\)
Selesaikan kasus pemfaktoran umum seperti \(y''+10y'+21y=0\) dan \(y''+6y'+8y=0\)
Akar kompleks & osilasi
Jika \(r=\alpha\pm i\beta\): \(y=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr)\)
Osilasi murni ketika \(\alpha=0\): \(y=C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\)
Hubungkan \(\beta\) dengan frekuensi dan selesaikan persamaan seperti \(y''+16y=0\)
Wronskian & ruang solusi
Hitung Wronskian \(W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{vmatrix}\) untuk menguji independensi linear
Ketahui dimensi ruang solusi untuk ODE linear homogen orde dua adalah \(2\)
Gunakan solusi yang diberikan (seperti \(e^{3x}\), \(e^x\)) untuk merekonstruksi persamaan karakteristik
Tujuan: Kuasai persamaan diferensial biasa linear orde dua dengan koefisien konstan memakai metode persamaan karakteristik. Anda akan belajar menyelesaikan ODE homogen berbentuk \(y''+ay'+by=0\) dengan mengubahnya menjadi persamaan aljabar \(r^2+ar+b=0\), mengklasifikasikan akar (dua akar real, akar berulang, akar kompleks sekawan), menulis solusi umum yang benar, menghitung Wronskian untuk mengonfirmasi independensi linear, dan mengenali kapan persamaan nonhomogen \(y''+ay'+by=g(x)\).
Kriteria keberhasilan
Mengenali ODE linear orde dua dan menulisnya ulang dalam bentuk standar \(y''+ay'+by=g(x)\).
Mengidentifikasi apakah suatu persamaan homogen (\(g(x)=0\)) atau nonhomogen (\(g(x)≠ 0\)).
Menulis persamaan karakteristik \(r^2+ar+b=0\) untuk \(y''+ay'+by=0\).
Menyelesaikan persamaan karakteristik dan mengklasifikasikan akar sebagai real berbeda, real berulang, atau kompleks sekawan.
Menulis solusi umum yang benar untuk setiap kasus akar.
Menghubungkan akar kompleks \(r=\alpha\pm i\beta\) dengan solusi \(e^{\alpha x}\cos(\beta x)\) dan \(e^{\alpha x}\sin(\beta x)\).
Menghitung Wronskian \(W(y_1,y_2)\) dan menafsirkan \(W≠ 0\) sebagai independensi linear.
Mengetahui dimensi ruang solusi untuk ODE linear homogen orde dua adalah \(2\).
Kosakata kunci
ODE linear orde dua: persamaan yang melibatkan \(y\), \(y'\), \(y''\) dengan \(y\) dan turunannya muncul secara linear, misalnya \(y''+ay'+by=g(x)\).
Persamaan karakteristik: persamaan polinom \(r^2+ar+b=0\) yang terkait dengan \(y''+ay'+by=0\).
Wronskian: \(W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_1'y_2\), dipakai untuk menguji independensi linear.
Solusi umum: keluarga semua solusi, biasanya \(y=C_1y_1+C_2y_2\) untuk ODE linear homogen orde dua.
Cek awal cepat
Cek awal 1: Persamaan mana yang nonhomogen?
Petunjuk: Persamaan nonhomogen memiliki ruas kanan tak nol \(g(x)≠ 0\).
Cek awal 2: Berapa dimensi ruang solusi untuk ODE linear homogen orde dua?
Petunjuk: ODE homogen linear orde dua memiliki dua solusi bebas linear \(y_1,y_2\), sehingga solusi umum adalah \(C_1y_1+C_2y_2\).
Persamaan Karakteristik
Bentuk standar dan metode persamaan karakteristik
Tujuan pembelajaran: Ubah \(y''+ay'+by=0\) menjadi soal aljabar \(r^2+ar+b=0\), lalu gunakan akarnya untuk membangun solusi umum.
Ide utama
Untuk ODE linear homogen orde dua dengan koefisien konstan, \[ y''+ay'+by=0, \] kita mencoba solusi berbentuk \(y=e^{rx}\). Maka \(y'=re^{rx}\) dan \(y''=r^2e^{rx}\). Substitusi: \[ r^2e^{rx}+ar e^{rx}+b e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad (r^2+ar+b)e^{rx}=0. \] Karena \(e^{rx}≠ 0\), kita memperoleh persamaan karakteristik \[ r^2+ar+b=0. \] Selesaikan persamaan kuadrat ini. Jenis akar menentukan solusi umum yang benar.
Kasus akar (hafalkan template ini)
Dua akar real berbeda \(r_1≠ r_2\): \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\).
Akar real berulang \(r\): \(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\).
Akar kompleks \(r=\alpha\pm i\beta\): \(y=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr)\).
Tulis persamaan karakteristik: \[ r^2+10r+21=0. \] Faktorkan: \[ (r+3)(r+7)=0 \quad\Rightarrow\quad r_1=-3,\; r_2=-7. \] Dua akar real berbeda, jadi \[ y=C_1e^{-3x}+C_2e^{-7x}. \]
Coba
Coba 1: Apa persamaan karakteristik untuk \(y''+8y'+16y=0\)?
Petunjuk: Ganti \(y\to 1\), \(y'\to r\), \(y''\to r^2\) untuk mendapatkan \(r^2+ar+b=0\).
Coba 2: Jika persamaan karakteristik memiliki akar berulang \(r=3\), apa solusi umumnya?
Petunjuk: Akar berulang membutuhkan faktor tambahan \(x\) untuk solusi bebas kedua.
Ringkasan
Untuk \(y''+ay'+by=0\), selesaikan \(r^2+ar+b=0\).
Gunakan template akar untuk menulis solusi umum dengan cepat dan benar.
Akar real Berbeda
Dua akar real berbeda: pemfaktoran dan solusi cepat
Tujuan pembelajaran: Selesaikan ODE koefisien konstan ketika persamaan karakteristik terfaktor menjadi \((r-r_1)(r-r_2)=0\).
Ide utama
Jika persamaan karakteristik memiliki dua akar real berbeda \(r_1≠ r_2\), maka \(e^{r_1x}\) dan \(e^{r_2x}\) adalah solusi yang bebas linear, dan solusi umumnya adalah \[ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}. \] Banyak soal kuis dirancang agar kuadratnya dapat difaktorkan dengan rapi.
Coba 2: Jika solusinya \(y=e^{3x}\) dan \(y=e^{x}\), apa persamaan karakteristiknya?
Petunjuk: \(e^{rx}\) berkorespondensi dengan akar \(r\). Jadi akarnya \(3\) dan \(1\).
Ringkasan
Akar real berbeda \(\Rightarrow\) jumlah eksponensial \(C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\).
Jika Anda diberi solusi eksponensial, baca akarnya dan bangun polinom karakteristik.
Akar Berulang
Akar berulang: mengapa suku \(x e^{rx}\) muncul
Tujuan pembelajaran: Kenali kuadrat akar berulang dan tulis solusi umum yang benar tanpa melupakan faktor \(x\).
Ide utama
Jika persamaan karakteristik memiliki akar berulang \(r\), awalnya Anda hanya mendapatkan satu solusi eksponensial \(e^{rx}\). Untuk mendapatkan solusi kedua yang bebas linear, kalikan dengan \(x\): \[ y_1=e^{rx},\qquad y_2=xe^{rx}. \] Jadi solusi umumnya adalah \[ y=(C_1+C_2x)e^{rx}. \]
Persamaan karakteristik: \[ r^2+4r+4=0=(r+2)^2. \] Akar berulang \(r=-2\). Karena itu, \[ y=(C_1+C_2x)e^{-2x}. \]
Coba
Coba 1: Selesaikan \(y''+14y'+49y=0\). Apa solusi umumnya?
Petunjuk: \(r^2+14r+49=(r+7)^2\) sehingga akar berulangnya \(r=-7\).
Coba 2: Selesaikan \(\displaystyle y''-y'=0\). Apa solusi umumnya?
Petunjuk: \(r^2-r=0\Rightarrow r(r-1)=0\), sehingga \(r=0\) dan \(r=1\).
Ringkasan
Akar berulang \(r\Rightarrow y=(C_1+C_2x)e^{rx}\).
Jangan lupa suku \(x\) - itu membuat solusi kedua bebas.
Akar Kompleks
Akar kompleks: solusi sinusoidal dan frekuensi osilasi
Tujuan pembelajaran: Ubah akar kompleks menjadi solusi bernilai real memakai sinus dan kosinus, serta hubungkan \(\beta\) dengan osilasi.
Ide utama
Jika persamaan karakteristik memiliki akar kompleks sekawan \[ r=\alpha\pm i\beta, \] maka solusi umum bernilai real adalah \[ y=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr). \] Parameter \(\beta\) adalah frekuensi sudut osilasi. Jika \(\alpha=0\), geraknya adalah osilasi murni dengan amplitudo konstan. Jika \(\alpha<0\), osilasi meredam. Jika \(\alpha>0\), osilasi membesar.
Contoh dikerjakan
Contoh: Selesaikan \(\displaystyle y''+16y=0\).
Persamaan karakteristik: \[ r^2+16=0 \Rightarrow r^2=-16 \Rightarrow r=\pm 4i. \] Di sini \(\alpha=0\), \(\beta=4\), jadi \[ y=C_1\cos(4x)+C_2\sin(4x). \]
Coba
Coba 1: ODE mana yang menghasilkan osilasi dengan frekuensi \(2\) (yaitu, \(\beta=2\))?
Petunjuk: Osilasi murni berasal dari \(y''+\beta^2 y=0\), jadi \(\beta^2=4\Rightarrow \beta=2\).
Coba 2: Apa sifat akar untuk \(y''+2y'+10y=0\)?
Petunjuk: Untuk \(r^2+2r+10=0\), diskriminannya \(2^2-4\cdot 1\cdot 10=-36<0\).
Ringkasan
Akar kompleks \(r=\alpha\pm i\beta\Rightarrow y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\).
Untuk \(y''+\beta^2y=0\), parameter frekuensi osilasi adalah \(\beta\).
Pola Terkait
Koneksi cepat: ODE linear orde pertama dan reduksi orde dua yang mudah
Tujuan pembelajaran: Kenali kasus mudah seperti \(y''+y'=0\) atau \(y''-4y'=0\) dan selesaikan secara efisien memakai persamaan karakteristik.
Ide utama
Beberapa ODE linear orde dua sangat cepat karena persamaan karakteristiknya memiliki \(r=0\) sebagai akar. Contohnya \(y''+y'=0\) dan \(y''-4y'=0\). Perlakukan seperti ODE koefisien konstan lain: \[ y''+ay'+by=0\quad\Rightarrow\quad r^2+ar+b=0. \]
Coba 2: Fungsi mana yang menyelesaikan ODE orde pertama \(y'+3y=0\)?
Petunjuk: \(y'+3y=0\Rightarrow y=Ce^{-3x}\).
Ringkasan
ODE linear orde dua yang terlihat sederhana tetap diselesaikan dengan metode persamaan karakteristik yang sama.
Linear homogen orde pertama \(y'+ky=0\Rightarrow y=Ce^{-kx}\).
Wronskian
Wronskian: memeriksa independensi linear solusi
Tujuan pembelajaran: Hitung Wronskian dengan cepat dan gunakan untuk memastikan dua solusi membentuk himpunan fundamental.
Ide utama
Untuk dua fungsi terdiferensialkan \(y_1(x)\) dan \(y_2(x)\), Wronskian adalah \[ W(y_1,y_2)(x)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1y_2'-y_1'y_2. \] Jika \(W(y_1,y_2)(x_0)≠ 0\) di suatu titik \(x_0\), maka \(y_1\) dan \(y_2\) bebas linear (dan dapat dipakai untuk membangun solusi umum \(y=C_1y_1+C_2y_2\)).
Contoh dikerjakan
Contoh: Hitung Wronskian dari \(y_1=e^{x}\) dan \(y_2=e^{2x}\) di \(x=0\).
Pertama hitung turunan: \(y_1'=e^x\), \(y_2'=2e^{2x}\). Lalu \[ W=y_1y_2'-y_1'y_2 = e^x(2e^{2x})-(e^x)(e^{2x})= (2-1)e^{3x}=e^{3x}. \] Di \(x=0\), \(W(0)=e^{0}=1\).
Coba
Coba 1: Berapa Wronskian dari \(y_1=e^x\) dan \(y_2=e^{2x}\) di \(x=0\)?
Petunjuk: \(W=e^x(2e^{2x})-(e^x)(e^{2x})=e^{3x}\), jadi \(W(0)=1\).
Coba 2: Jika solusi umum adalah \(y=C_1e^{x}+C_2e^{-x}\), apa salah satu ODE yang mungkin?
Petunjuk: Akar \(r=1\) dan \(r=-1\) memberi \((r-1)(r+1)=r^2-1=0\Rightarrow y''-y=0\).
Ringkasan
\(W(y_1,y_2)(x)=y_1y_2'-y_1'y_2\).
Jika \(W(x_0)≠ 0\), fungsi-fungsi itu bebas linear dan dapat membentuk solusi umum.
Gambaran Besar & Latihan
Mengapa ODE linear orde dua penting (dan himpunan latihan akhir)
Tujuan pembelajaran: Hubungkan template solusi dengan aplikasi nyata (osilasi, redaman) dan akhiri dengan cek akhir yang sesuai pola kuis umum.
Di mana ODE linear orde dua muncul
Getaran mekanik: sistem massa-pegas, resonansi, osilasi (\(y''+\omega^2y=0\)).
Rangkaian listrik: rangkaian RLC menghasilkan model tipe \(y''+ay'+by=0\).
Stabilitas dan redaman: tanda \(\alpha\) dalam \(e^{\alpha x}(\cdots)\) mengontrol peluruhan atau pertumbuhan.
Pemodelan: banyak sistem terlinearisasi di sekitar kesetimbangan mereduksi ke ODE koefisien konstan.
Contoh dikerjakan: kasus klasik lain yang dapat difaktorkan
Contoh: Selesaikan \(\displaystyle y''-3y=0\).
Persamaan karakteristik: \[ r^2-3=0 \Rightarrow r=\pm\sqrt{3}. \] Dua akar real berbeda, jadi \[ y=C_1e^{\sqrt{3}\,x}+C_2e^{-\sqrt{3}\,x}. \]
Coba (cek akhir)
Coba 1: Selesaikan \(\displaystyle y''+10y'+21y=0\). Apa solusi umumnya?
Petunjuk: \(r^2+10r+21=(r+3)(r+7)\).
Coba 2: Selesaikan \(\displaystyle y''+16y=0\). Apa solusi umumnya?
Petunjuk: \(r^2+16=0\Rightarrow r=\pm 4i\).
Rekap akhir
Homogen vs nonhomogen: \(y''+ay'+by=0\) vs \(y''+ay'+by=g(x)\).
Persamaan karakteristik: selesaikan \(r^2+ar+b=0\) untuk persamaan homogen koefisien konstan.
Akar real berbeda: \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\).
Akar berulang: \(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\).
Akar kompleks: \(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\).
Wronskian: \(W≠ 0\) mengonfirmasi independensi linear dua solusi.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan kasus akar yang Anda butuhkan (real berbeda, berulang, atau kompleks).
Set latihan
Soal latihan Persamaan Diferensial Linear Orde Dua dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Selesaikan ODE \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\). Apa solusi umumnya?
