इकाई वृत्त और रेडियन माप अभ्यास क्विज़, चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ

रेडियन माप और डिग्री-रेडियन रूपांतरण

मुख्य विचार

रेडियन माप कोणों को चाप लंबाई से जोड़ता है। यदि कोण \(\theta\), त्रिज्या \(r\) वाले वृत्त पर लंबाई \(s\) का चाप बनाता है, तो: \[ \theta=\frac{s}{r}. \] इकाई वृत्त (\(r=1\)) पर रेडियन माप चाप लंबाई के बराबर होता है: \(\theta=s\)।

रूपांतरण के लिए: \[ \text{डिग्री} \rightarrow \text{रेडियन:}\quad \theta^\circ \cdot \frac{\pi}{180}, \qquad \text{रेडियन} \rightarrow \text{डिग्री:}\quad \theta \cdot \frac{180}{\pi}. \] सामान्य आधार: \(180^\circ=\pi\), \(90^\circ=\tfrac{\pi}{2}\), \(60^\circ=\tfrac{\pi}{3}\), \(45^\circ=\tfrac{\pi}{4}\), \(30^\circ=\tfrac{\pi}{6}\)।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• रेडियन माप: \(\theta=\dfrac{s}{r}\) (चाप लंबाई को त्रिज्या से भाग)।
• डिग्री \(\rightarrow\) रेडियन: \(\dfrac{\pi}{180}\) से गुणा करें। रेडियन \(\rightarrow\) डिग्री: \(\dfrac{180}{\pi}\) से गुणा करें।

इकाई वृत्त और \((\cos\theta,\sin\theta)\)

मुख्य विचार

इकाई वृत्त वृत्त \(x^2+y^2=1\) है (त्रिज्या \(1\))। यदि कोण \(\theta\) मानक स्थिति में है, तो उसकी अंतिम भुजा इकाई वृत्त को जिस बिंदु पर काटती है, वह है: \[ (\cos\theta,\;\sin\theta). \]

• \(\cos\theta\), \(x\)-निर्देशांक है
• \(\sin\theta\), \(y\)-निर्देशांक है

महत्वपूर्ण अक्षीय बिंदु: \[ 0:(1,0),\quad \frac{\pi}{2}:(0,1),\quad \pi:(-1,0),\quad \frac{3\pi}{2}:(0,-1),\quad 2\pi:(1,0). \]

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• इकाई वृत्त पर, \((\cos\theta,\sin\theta)\) कोण \(\theta\) का बिंदु देता है।
• अक्षीय कोण तेज़ सटीक मान देते हैं (जैसे \(\sin(\pi/2)=1\), \(\cos(\pi)= -1\))।

विशेष कोण और सटीक त्रिकोणमितीय मान

मुख्य विचार

विशेष कोण विशेष समकोण त्रिभुजों से आते हैं:

• \(45^\circ\)-\(45^\circ\)-\(90^\circ\): \(\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(30^\circ\)-\(60^\circ\)-\(90^\circ\): \(\sin(\pi/6)=\dfrac{1}{2}\), \(\cos(\pi/6)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin(\pi/3)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(\pi/3)=\dfrac{1}{2}\)

फिर: \[ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \] और जब \(\cos\theta=0\) (जैसे \(\theta=\pi/2\)), तब \(\tan\theta\) अपरिभाषित है।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• विशेष कोण \(\sin\) और \(\cos\) के सटीक मान देते हैं, फिर \(\tan=\dfrac{\sin}{\cos}\)।
• \(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}\) के मान त्रिभुजों या इकाई वृत्त चार्ट से याद करें या फिर से बनाएँ।

संदर्भ कोण और चतुर्थांश चिह्न नियम

मुख्य विचार

संदर्भ कोण, \(\theta\) की अंतिम भुजा और \(x\)-अक्ष के बीच का तीक्ष्ण कोण है। यह ज्ञात विशेष-कोण मान उपयोग करने और फिर चतुर्थांश से सही चिह्न लगाने में मदद करता है।

\([0,2\pi)\) में कोण \(\theta\) के लिए:

• चतुर्थांश I: \(\alpha=\theta\)
• चतुर्थांश II: \(\alpha=\pi-\theta\)
• चतुर्थांश III: \(\alpha=\theta-\pi\)
• चतुर्थांश IV: \(\alpha=2\pi-\theta\)

चिह्न नियम:

• QI: \(\sin,+\;\cos,+\;\tan,+\)
• QII: \(\sin,+\;\cos,-\;\tan,-\)
• QIII: \(\sin,-\;\cos,-\;\tan,+\)
• QIV: \(\sin,-\;\cos,+\;\tan,-\)

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• संदर्भ कोण "विशेष कोण" का आकार देता है; चतुर्थांश चिह्न देता है।
• \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) को \(+\) या \(-\) देने से पहले हमेशा चतुर्थांश पहचानें।

ऋणात्मक कोण और सम/विषम सर्वसमिकाएँ

मुख्य विचार

इकाई वृत्त सममित है, जिससे शक्तिशाली सर्वसमिकाएँ मिलती हैं:

• कोसाइन सम है: \(\cos(-\theta)=\cos(\theta)\)
• साइन विषम है: \(\sin(-\theta)=-\sin(\theta)\)
• टैंजेंट विषम है: \(\tan(-\theta)=-\tan(\theta)\)

इनसे आप ऋणात्मक कोण को ऐसे धनात्मक कोण में बदल सकते हैं जिसे आप पहले से जानते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• \(\cos\) सम है; \(\sin\) और \(\tan\) विषम हैं।
• ऋणात्मक कोणों को परिचित धनात्मक कोणों में बदलने के लिए सममिति उपयोग करें।

सह-अंत कोण और आवर्ती त्रिकोणमितीय फलन

मुख्य विचार

कोण सह-अंत होते हैं यदि वे पूर्ण घूर्णन से अलग हों: \[ \theta \text{ और } \theta + 2k\pi \quad (k\in\mathbb{Z}). \] त्रिकोणमितीय फलन दोहरते हैं: \[ \sin(\theta+2\pi)=\sin\theta,\quad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta,\quad \tan(\theta+\pi)=\tan\theta. \] इससे आप \(5\pi/2\), \(11\pi/6\), \(9\pi/4\), आदि कोणों को सरल कर सकते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• सह-अंत कोण उपयोग करें: परिचित कोण तक पहुँचने के लिए \(\theta\) को \(\theta\pm 2\pi\) से बदलें।
• आवर्तिता: \(\sin,\cos\) हर \(2\pi\) पर दोहरते हैं; \(\tan\) हर \(\pi\) पर दोहरता है।

इकाई वृत्त और रेडियन क्यों मायने रखते हैं

इकाई वृत्त कहाँ दिखाई देता है

• त्रिकोणमितीय आलेख: \(\sin\theta\) और \(\cos\theta\) तरंगें सीधे इकाई वृत्त निर्देशांकों से आती हैं।
• कलन: \(\sin\) और \(\cos\) के अवकलज और समाकल के मानक सूत्र रेडियन मानते हैं।
• भौतिकी: वृत्तीय गति और कोणीय गति स्वाभाविक रूप से रेडियन उपयोग करते हैं (\(\omega\) रेडियन/सेकंड में)।
• सम्मिश्र संख्याएँ: \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) इकाई वृत्त को घूर्णनों से जोड़ता है।

हल किया हुआ उदाहरण: संदर्भ कोण से टैंजेंट

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अंतिम सारांश

• रेडियन कोण को चाप लंबाई से मापते हैं: \(\theta=\dfrac{s}{r}\)। डिग्री \(\leftrightarrow\) रेडियन में बदलने के लिए \(\dfrac{\pi}{180}\) और \(\dfrac{180}{\pi}\) उपयोग करें।
• इकाई वृत्त निर्देशांक: \((\cos\theta,\sin\theta)\)। कोसाइन \(x\) है; साइन \(y\) है।
• विशेष कोण (\(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}\)) सटीक मान देते हैं; \(\tan=\dfrac{\sin}{\cos}\)।
• संदर्भ कोण + चतुर्थांश चिह्न किसी भी कोण के लिए उत्तर सही रखते हैं।
• सममिति: \(\cos(-\theta)=\cos\theta\), \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\)। आवर्तिता: \(\sin,\cos\) हर \(2\pi\) पर दोहरते हैं; \(\tan\) हर \(\pi\) पर दोहरता है।