Kuis Latihan Lingkaran Satuan & Ukuran Radian dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah

Ukuran radian dan konversi derajat-radian

Ide kunci

Ukuran radian menghubungkan sudut dengan lingkaran melalui panjang busur. Jika sudut \(\theta\) membentang busur sepanjang \(s\) pada lingkaran berjari-jari \(r\), maka: \[ \theta=\frac{s}{r}. \] Pada lingkaran satuan (\(r=1\)), ukuran radian sama dengan panjang busur: \(\theta=s\).

Untuk mengonversi: \[ \text{derajat} \rightarrow \text{radian:}\quad \theta^\circ \cdot \frac{\pi}{180}, \qquad \text{radian} \rightarrow \text{derajat:}\quad \theta \cdot \frac{180}{\pi}. \] Patokan umum: \(180^\circ=\pi\), \(90^\circ=\tfrac{\pi}{2}\), \(60^\circ=\tfrac{\pi}{3}\), \(45^\circ=\tfrac{\pi}{4}\), \(30^\circ=\tfrac{\pi}{6}\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Ukuran radian: \(\theta=\dfrac{s}{r}\) (panjang busur dibagi jari-jari).
• Konversi derajat \(\rightarrow\) radian: kalikan dengan \(\dfrac{\pi}{180}\). Konversi radian \(\rightarrow\) derajat: kalikan dengan \(\dfrac{180}{\pi}\).

Lingkaran satuan dan \((\cos\theta,\sin\theta)\)

Ide kunci

Lingkaran satuan adalah lingkaran \(x^2+y^2=1\) (jari-jari \(1\)). Jika sudut \(\theta\) berada dalam posisi standar, titik tempat sisi terminalnya memotong lingkaran satuan adalah: \[ (\cos\theta,\;\sin\theta). \]

• \(\cos\theta\) adalah koordinat-\(x\)
• \(\sin\theta\) adalah koordinat-\(y\)

Titik kuadrantal penting: \[ 0:(1,0),\quad \frac{\pi}{2}:(0,1),\quad \pi:(-1,0),\quad \frac{3\pi}{2}:(0,-1),\quad 2\pi:(1,0). \]

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Pada lingkaran satuan, \((\cos\theta,\sin\theta)\) memberi titik pada sudut \(\theta\).
• Sudut kuadrantal memberi nilai eksak cepat (seperti \(\sin(\pi/2)=1\), \(\cos(\pi)= -1\)).

Sudut istimewa dan nilai trigonometri eksak

Ide kunci

Sudut istimewa berasal dari segitiga siku-siku istimewa:

• \(45^\circ\)-\(45^\circ\)-\(90^\circ\): \(\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(30^\circ\)-\(60^\circ\)-\(90^\circ\): \(\sin(\pi/6)=\dfrac{1}{2}\), \(\cos(\pi/6)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin(\pi/3)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(\pi/3)=\dfrac{1}{2}\)

Lalu: \[ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \] dan \(\tan\theta\) tak terdefinisi saat \(\cos\theta=0\) (misalnya, \(\theta=\pi/2\)).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Sudut istimewa memberi nilai eksak untuk \(\sin\) dan \(\cos\), lalu \(\tan=\dfrac{\sin}{\cos}\).
• Hafalkan atau bangun kembali nilai untuk \(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}\) menggunakan segitiga atau tabel lingkaran satuan.

Sudut acuan dan aturan tanda kuadran

Ide kunci

Sudut acuan adalah sudut lancip antara sisi terminal \(\theta\) dan sumbu-\(x\). Ini membantu Anda menggunakan nilai sudut istimewa yang sudah dikenal lalu menerapkan tanda yang benar berdasarkan kuadran.

Untuk sudut \(\theta\) dalam \([0,2\pi)\):

• Kuadran I: \(\alpha=\theta\)
• Kuadran II: \(\alpha=\pi-\theta\)
• Kuadran III: \(\alpha=\theta-\pi\)
• Kuadran IV: \(\alpha=2\pi-\theta\)

Aturan tanda:

• QI: \(\sin,+\;\cos,+\;\tan,+\)
• QII: \(\sin,+\;\cos,-\;\tan,-\)
• QIII: \(\sin,-\;\cos,-\;\tan,+\)
• QIV: \(\sin,-\;\cos,+\;\tan,-\)

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Sudut acuan memberi ukuran “sudut istimewa”; kuadran memberi tanda.
• Selalu identifikasi kuadran sebelum memberi tanda \(+\) atau \(-\) pada \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\).

Sudut negatif dan identitas genap/ganjil

Ide kunci

Lingkaran satuan bersifat simetris, yang menghasilkan identitas kuat:

• Cosinus genap: \(\cos(-\theta)=\cos(\theta)\)
• Sinus ganjil: \(\sin(-\theta)=-\sin(\theta)\)
• Tangen ganjil: \(\tan(-\theta)=-\tan(\theta)\)

Ini memungkinkan Anda mengubah sudut negatif menjadi sudut positif yang sudah dikenal.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(\cos\) genap; \(\sin\) dan \(\tan\) ganjil.
• Gunakan simetri untuk mengubah sudut negatif menjadi sudut positif yang familier.

Sudut koterminal dan fungsi trigonometri periodik

Ide kunci

Sudut disebut koterminal jika berbeda sebesar satu putaran penuh: \[ \theta \text{ dan } \theta + 2k\pi \quad (k\in\mathbb{Z}). \] Fungsi trigonometri berulang: \[ \sin(\theta+2\pi)=\sin\theta,\quad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta,\quad \tan(\theta+\pi)=\tan\theta. \] Ini memungkinkan Anda menyederhanakan sudut seperti \(5\pi/2\), \(11\pi/6\), \(9\pi/4\), dan lainnya.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Gunakan sudut koterminal: ganti \(\theta\) dengan \(\theta\pm 2\pi\) agar mendarat pada sudut yang familier.
• Periodisitas: \(\sin,\cos\) berulang setiap \(2\pi\); \(\tan\) berulang setiap \(\pi\).

Mengapa lingkaran satuan dan radian penting

Di mana lingkaran satuan muncul

• Grafik trigonometri: gelombang \(\sin\theta\) dan \(\cos\theta\) berasal langsung dari koordinat lingkaran satuan.
• Kalkulus: turunan dan integral \(\sin\) dan \(\cos\) memakai radian untuk rumus standar.
• Fisika: gerak melingkar dan kecepatan sudut memakai radian secara alami (\(\omega\) dalam rad/s).
• Bilangan kompleks: \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) menghubungkan lingkaran satuan dengan rotasi.

Contoh dikerjakan: tangen dengan sudut acuan

Coba

Rekap akhir

• Radian mengukur sudut dengan panjang busur: \(\theta=\dfrac{s}{r}\). Konversi derajat \(\leftrightarrow\) radian menggunakan \(\dfrac{\pi}{180}\) dan \(\dfrac{180}{\pi}\).
• Koordinat lingkaran satuan: \((\cos\theta,\sin\theta)\). Cosinus adalah \(x\); sinus adalah \(y\).
• Sudut istimewa (\(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}\)) memberi nilai eksak; \(\tan=\dfrac{\sin}{\cos}\).
• Sudut acuan + tanda kuadran menjaga jawaban benar untuk sudut apa pun.
• Simetri: \(\cos(-\theta)=\cos\theta\), \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\). Periodisitas: \(\sin,\cos\) berulang setiap \(2\pi\); \(\tan\) berulang setiap \(\pi\).