対角化 の練習問題とステップ別レッスン
対角化 を集中問題、すぐに返るフィードバック、わかりやすい解説、ステップ別レッスンで練習できます。
問題セットに答え、最後に間違いを見直します。
練習セット
対角化 の練習問題と即時スコア
下の 10 問すべてに答えると、最終スコアと間違いの見直しが表示され、何を改善すべきかがわかります。
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回答済み
問題 1
未回答
行列 \(A\) が対角化可能であるのは、次を持つときです:
正解: A. 固有ベクトルからなる基底
解説: 対角化とは、固有ベクトルからなる基底が存在することを意味します。
問題 2
未回答
\(2\times2\) 行列が 2 つの異なる実固有値をもつとき、\(\mathbb{R}\) 上で対角化可能ですか?
正解: D. はい
解説: 異なる固有値に対応する固有ベクトルは一次独立です。
問題 3
未回答
行列 \(\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\) は:
正解: B. 対角化可能
解説: これはすでに対角行列なので、対角化可能です。
問題 4
未回答
標準固有基底を用いると、\(\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\) に相似な対角行列はどれですか?
正解: B. \(\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)
解説: 標準基底では、この行列はすでに対角行列です。
問題 5
未回答
\(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) は対角化可能ですか?
正解: A. いいえ
解説: 重複固有値 \(1\) に対して、固有空間の方向は 1 つしかありません。
問題 6
未回答
\(A=PDP^{-1}\) のとき、\(D\) の対角成分は何ですか?
正解: C. \(A\) の固有値
解説: 対角化では、\(D\) に \(A\) の固有値が並びます。
問題 7
未回答
\(A=PDP^{-1}\) において、\(P\) の各列には通常何が入りますか?
正解: B. \(A\) の固有ベクトル
解説: \(P\) の各列は、\(D\) の対角成分に対応する固有ベクトルです。
問題 8
未回答
\(A^n\) を計算するのに、なぜ対角化は有用なのですか?
正解: C. \(D^n\) の計算が簡単だから
解説: \(A=PDP^{-1}\) なら、\(A^n=PD^nP^{-1}\) となり、対角行列の累乗は簡単だからです。
問題 9
未回答
\(3\times3\) 行列が 3 つの異なる固有値をもつとき、何が言えますか?
正解: C. 対角化可能である
解説: 3 つの異なる固有値は、3 つの一次独立な固有ベクトルを与えます。
問題 10
未回答
行列が対角化可能なら、元の基底で対角行列でなければなりませんか?
正解: C. いいえ
解説: いいえ。対角化可能とは、ある固有基底では対角になるという意味であり、必ずしも現在の基底で対角とは限りません。
結果
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