練習セット
最小多項式と Cayley-Hamilton の練習クイズと即時スコア
下の 10 問すべてに答えると、最終スコアと間違いの見直しが表示され、何を改善すべきかがわかります。
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回答済み
問題 1
未回答
\(A\) の最小多項式は次のうちどれですか？
正解: A. \(m(A)=0\) を満たす最小次数のモニック多項式
解説: それは、\(A\) を 0 にする最小次数のモニック多項式です。
問題 2
未回答
ある行列が \(A^2=4I\) を満たすとき、どの固有値がありえますか?
正解: A. \(2\) と \(-2\)
解説: 固有値は \(\lambda^2=4\) を満たすので、\(\lambda=\pm2\) です。
問題 3
未回答
\(A=I\) のとき、最小多項式は何ですか?
問題 4
未回答
\(m_A(X)=X(X-1)\) のとき、\(A\) は対角化可能ですか?
問題 5
未回答
\(A\) の特性多項式が \((X-2)^3\) なら、\(m_A\) は何を割り切らなければなりませんか？
問題 6
未回答
\(A^3=0\) のとき、どの多項式が \(A\) を消去しますか？
正解: D. \(X^3\)
解説: \(X^3\) に \(A\) を代入すると \(A^3=0\) になります。
問題 7
未回答
\(A\) が対角化可能で、固有値が \(1\) と \(2\) のとき、その最小多項式は何ですか？
正解: D. \((X-1)(X-2)\)
解説: 対角化可能な行列では、各異なる固有値は最小多項式に 1 回ずつ現れます。
問題 8
未回答
多項式 \(q\) が \(A\) を消すとき、最小多項式は \(q\) に対して何をしなければなりませんか?
問題 9
未回答
\(A=0\) のとき、特性多項式 \(p_A\) に対する \(p_A(A)\) は何ですか？
正解: C. \(0\)
解説: ケーリー・ハミルトンの定理より、任意の正方行列について \(p_A(A)=0\) です。
問題 10
未回答
ある行列の最小多項式が重複因子を持たずに分解するとき、何がいえますか？
正解: B. その行列は対角化可能です
解説: 重複しない根をもつ分解可能な最小多項式は、対角化可能性を特徴づけます。
結果
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