2階線形常微分方程式 の練習問題とステップ別レッスン
2階線形常微分方程式 を集中問題、すぐに返るフィードバック、わかりやすい解説、ステップ別レッスンで練習できます。
練習セット
2階線形常微分方程式 の練習問題と即時スコア
下の 10 問すべてに答えると、最終スコアと間違いの見直しが表示され、何を改善すべきかがわかります。
常微分方程式 \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\) を解きなさい。一般解は何ですか?
正解: A. \(y = C_1 x + C_2\)
解説: 1回積分すると \(y'=C_1\);さらにもう1回積分すると \(y = C_1 x + C_2\) となる。
常微分方程式 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0\) を解きなさい。一般解は何ですか?
正解: A. \(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)
解説: 特性方程式: \(r^{2}+1=0 \Rightarrow r = \,\pm i\)。 したがって \(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)。
常微分方程式 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{dy}{dx} = 0\) を解きなさい。一般解は何ですか?
正解: B. \(y = C_{1} + C_{2}e^{-x}\)
解説: 特性方程式: \(r^{2}+r=0 \Rightarrow r=0,-1\)。 したがって \(y = C_{1} + C_{2}e^{-x}\)。
常微分方程式 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - y = 0\) を解きなさい。一般解は何ですか?
正解: C. \(y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x}\)
解説: 特性方程式: \(r^{2}-1=0 \Rightarrow r=\pm1\)。 したがって \(y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x}\)。
常微分方程式 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\dfrac{dy}{dx} + y = 0\) を解きなさい。一般解は何ですか?
正解: C. \((C_{1}+C_{2}x)e^{-x}\)
解説: 特性方程式 \((r+1)^{2}=0\) ⇒ 重解 \(r=-1\)。 一般解: \(y = (C_{1} + C_{2}x)e^{-x}\)。
常微分方程式 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 4y = 0\) を解きなさい。一般解は何ですか?
正解: B. \(y = C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x)\)
解説: 特性方程式: \(r^{2}+4 = 0 \Rightarrow r=\pm2i\)。 したがって \(y = C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x)\)。
ODE \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4y = 0\) を解きなさい。一般解は何ですか?
正解: A. \(y = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-2x}\)
解説: 特性方程式: \(r^{2}-4=0 \Rightarrow r=\pm2\)。 したがって \(y = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-2x}\)。
ODE \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 5y = 0\) を解きなさい。一般解は何ですか?
正解: A. \(y = C_{1}\cos(\sqrt{5}x) + C_{2}\sin(\sqrt{5}x)\)
解説: 特性方程式: \(r^{2}+5=0 \Rightarrow r = \pm i\sqrt{5}\)。 したがって \(y = C_{1}\cos(\sqrt{5}x) + C_{2}\sin(\sqrt{5}x)\)。
ODE \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\dfrac{dy}{dx} + y = 0\) を解きなさい。一般解は何ですか?
正解: B. \(y = (C_{1}+C_{2}x)e^{x}\)
解説: 特性方程式 \((r-1)^{2}=0\) ⇒ 重解 \(r=1\)。 したがって \(y = (C_{1}+C_{2}x)e^{x}\)。
ODE \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0\) を解きなさい。一般解は何ですか?
正解: D. \(y = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x}\)
解説: 特性方程式 \(r^{2}+3r+2=0\) ⇒ 解 \(r=-1,-2\)。 したがって \(y = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x}\)。
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