导数的应用 练习题与分步课程
通过聚焦题目、即时反馈、清晰讲解和分步课程练习 导数的应用。
练习题组
导数的应用 练习题，答完立即得分
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如果圆的半径以 \(2\) 单位/秒 的速率增加，直径增加得有多快？
正确答案： C. \(4\) 单位/秒
讲解： 由于直径 \(d=2r\)，对其求导：\(dd/dt = 2\cdot dr/dt = 2\cdot2 = 4\) 单位/秒。
对于一个周长固定为 \(P\) 的长方形，哪种形状能使其面积最大？
正确答案： B. 正方形
讲解： 由 \(2x+2y=P\) 且面积 \(A=xy\) 可知，对称性（\(x=y\)）使 \(A\) 最大，因此该长方形是正方形。
如果立方体的棱长以 \(1\) 单位/秒 的速率增加，当棱长为 \(2\) 单位时，它的体积增加得有多快？
正确答案： C. \(12\ \text{单位}^3/\text{秒}\)
讲解： 体积 \(V = a^3\)。求导得：\(\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}\)。当 \(a=2\) 且 \(\frac{da}{dt}=1\) 时：\(\frac{dV}{dt} = 3\cdot2^2\cdot1 = 12\ \text{单位}^3/\text{秒}\)。
一个长方形的高固定为 \(5\) 单位，而它的宽以 \(2\) 单位/秒 的速度增加。它的面积增加得有多快？
正确答案： C. \(10\ \text{单位}^2/\text{秒}\)
讲解： 面积 \(A = 5w\)。求导得：\(\frac{dA}{dt} = 5\,\frac{dw}{dt} = 5\cdot2 = 10\ \text{单位}^2/\text{秒}\)。
两个正数之和为 \(10\)。哪一对数的乘积最大？
正确答案： A. \(5\) 和 \(5\)
讲解： 设这两个数为 \(x\) 和 \(10-x\)。乘积 \(P=x(10-x)\) 在 \(x=5\) 时达到最大，因此这对数是 \((5,5)\)。
在所有体积固定的立体图形中，哪一个的表面积最小？
正确答案： D. 球体
讲解： 根据变分法，在给定体积下，球体的表面积最小。
如果圆的半径以 \(1\) 单位/秒 增长，其周长增加得有多快？
正确答案： B. \(2\pi\ \text{单位}/\text{秒}\)
讲解： 周长 \(C = 2\pi r\)。求导得：\(\frac{dC}{dt} = 2\pi\,\frac{dr}{dt} = 2\pi\cdot1 = 2\pi\ \text{单位}/\text{秒}\)。
如果圆的半径以 \(2\) 单位/秒 增长，当 \(r=3\) 时，它的面积增加得有多快？
正确答案： D. \(12\pi\ \text{单位}^2/\text{秒}\)
讲解： 面积 \(A = \pi r^2\)。求导得：\(\frac{dA}{dt} = 2\pi r\,\frac{dr}{dt}\)。当 \(r=3\) 且 \(\frac{dr}{dt}=2\) 时：\(\frac{dA}{dt} = 2\pi\cdot3\cdot2 = 12\pi\ \text{单位}^2/\text{秒}\)。
正方形的边长以 \(2\) 单位/秒 的速度增加。当边长为 \(3\) 时，它的面积增加得有多快？
正确答案： A. \(12\ \text{单位}^2/\text{秒}\)
讲解： 面积 \(A = s^2\)，所以 \(dA/dt = 2s\,ds/dt = 2\cdot3\cdot2 = 12\)。
如果正方形的边以 \(1\) 单位/分 的速度增加，它的周长增加得有多快？
正确答案： A. \(4\ \text{单位}/\text{分}\)
讲解： 周长 \(P = 4s\)，所以 \(dP/dt = 4\,ds/dt = 4\cdot1 = 4\)。
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