积分的应用 练习题与分步课程
通过聚焦题目、即时反馈、清晰讲解和分步课程练习 积分的应用。
练习题组
积分的应用 练习题，答完立即得分
完成下面全部 10 道题，然后查看最终得分和错题回顾，明确下一步该改进什么。
曲线 \(y=1\) 从 \(x=0\) 到 \(x=2\) 下方的面积是多少？
正确答案： A. \(2\)
讲解： \(1\) 的积分是 \(x\)。从 0 到 2 计算得 \(2 - 0 = 2\)。
将线段 \(y=x\) 从 \(x=0\) 到 \(x=1\) 绕 \(x\)-轴旋转得到的立体体积是多少？
正确答案： B. \(\pi/3\)
讲解： 圆盘法：\(V = \pi \int_0^1 x^2 \,dx = \pi\bigl[ x^3/3\bigr]_0^1 = \pi/3\)。
曲线 \(y=x\) 从 \(x=0\) 到 \(x=3\) 下方的面积是多少？
正确答案： B. \(9/2\)
讲解： \(x\) 的积分是 \(x^2/2\)。从 0 到 3：\(9/2 - 0 = 9/2\)。
曲线 \(y=2\) 从 \(x=0\) 到 \(x=4\) 下方的面积是多少？
正确答案： B. \(8\)
讲解： 常数 \(2\) 的积分是 \(2x\)。从 0 到 4 计算得 \(8\)。
曲线 \(y=x\) 从 \(x=0\) 到 \(x=5\) 下方的面积是多少？
正确答案： B. \(25/2\)
讲解： \(x\) 的积分是 \(x^2/2\)。从 0 到 5：\(25/2\)。
从 \(x=0\) 到 \(x=1\)，曲线 \(y=1\) 和 \(y=x\) 之间的面积是多少？
正确答案： A. \(1/2\)
讲解： 对 \(1 - x\) 积分：\([x - x^2/2]_0^1 = 1/2\)。
将 \(y=\sqrt{x}\) 从 \(x=0\) 到 \(x=1\) 绕 \(x\)-轴旋转得到的立体体积是多少？
正确答案： A. \(\pi/2\)
讲解： 圆盘法：\(V = \pi \int_0^1 (\sqrt{x})^2 \,dx = \pi \int_0^1 x \,dx = \pi/2\)。
将 \(y = 1\) 从 \(x = 0\) 到 \(x = 2\) 下方的区域绕 \(x\)-轴旋转得到的立体体积是多少？
正确答案： C. \(2\pi\)
讲解： 圆盘法：\(V = \pi \int_0^2 1^2 \,dx = 2\pi\)。
将 \(y = 2\) 和 \(y = 1\) 之间、从 \(x = 0\) 到 \(x = 1\) 的区域绕 \(x\)-轴旋转得到的立体体积是多少？
正确答案： A. \(3\pi\)
讲解： 垫圈法：\(V = \pi \int_0^1 (2^2 - 1^2) \,dx = 3\pi\)。
将 \(y = x\) 下方、从 \(x = 0\) 到 \(x = 2\) 的区域绕 \(y\)-轴旋转得到的立体体积是多少？
正确答案： D. \(16\pi/3\)
讲解： 壳层法：\(V = 2\pi \int_0^2 x\cdot x \,dx = 2\pi \int_0^2 x^2 \,dx = \tfrac{16\pi}{3}\)。
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