积分与反导数 练习题与分步课程

正确答案： D. \(e^{x^2}+C\)

讲解： 反向链式法则：令 \(u=x^2\)，则 \(du=2x\,dx\)，所以 \(\int2x e^{x^2}dx=\int e^u du=e^u+C=e^{x^2}+C\)。

正确答案： D. \(\tfrac{x^2}{2} + C\)

讲解： 幂次法则：\(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\)；这里 \(n=1\)，所以 \(\int x dx = x^2/2 + C\)。

正确答案： A. \(\tfrac{x^3}{3} + C\)

讲解： 幂次法则：\(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\)；这里 \(n=2\)，所以 \(\int x^2 dx = x^3/3 + C\)。

正确答案： A. \(e^x + C\)

讲解： \(e^x\) 的原函数是它本身：\(\int e^x dx = e^x + C\)。

正确答案： D. \(3e^x + C\)

讲解： 常数因子法则：\(\int3e^x dx = 3\int e^x dx = 3e^x + C\)。

正确答案： C. \(\tfrac{1}{2}e^{2x}+C\)

讲解： 反向链式法则：对于 \(\int e^{ax}dx=\tfrac{1}{a}e^{ax}+C\)；这里 \(a=2\)，所以 \(\tfrac{1}{2}e^{2x}+C\)。

正确答案： D. \(-\cos(x)+C\)

讲解： \(\sin x\) 的原函数是 \(-\cos x\)，所以 \(\int \sin x\,dx=-\cos x+C\)。

正确答案： D. \(\sin(x)+C\)

讲解： \(\cos x\) 的原函数是 \(\sin x\)，所以 \(\int \cos x\,dx=\sin x+C\)。

正确答案： A. \(\tan(x)+C\)

讲解： \(\sec^2 x\) 的原函数是 \(\tan x\)，所以 \(\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C\)。

正确答案： A. \(\ln|x|+C\)

讲解： \(1/x\) 的原函数是 \(\ln|x|\)，所以 \(\int \tfrac1x dx=\ln|x|+C\)。