練習題組
二階線性常微分方程 練習題，答完立即得分
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求微分方程 \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\)。其通解為何？
正確答案： A. \(y = C_1 x + C_2\)
解說： 積分一次：\(y'=C_1\)；再積分一次：\(y = C_1 x + C_2\)。
求微分方程 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0\)。其通解為何？
正確答案： A. \(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)
解說： 特徵方程：\(r^{2}+1=0 \Rightarrow r = \,\pm i\)。 因此 \(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)。
求微分方程 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{dy}{dx} = 0\)。其通解為何？
正確答案： B. \(y = C_{1} + C_{2}e^{-x}\)
解說： 特徵方程：\(r^{2}+r=0 \Rightarrow r=0,-1\)。 因此 \(y = C_{1} + C_{2}e^{-x}\)。
求微分方程 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - y = 0\)。其通解為何？
正確答案： C. \(y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x}\)
解說： 特徵方程：\(r^{2}-1=0 \Rightarrow r=\pm1\)。 因此 \(y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x}\)。
求微分方程 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\dfrac{dy}{dx} + y = 0\)。其通解為何？
正確答案： C. \((C_{1}+C_{2}x)e^{-x}\)
解說： 特徵方程 \((r+1)^{2}=0\) ⇒ 重根 \(r=-1\)。 通解：\(y = (C_{1} + C_{2}x)e^{-x}\)。
求微分方程 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 4y = 0\)。其通解為何？
正確答案： B. \(y = C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x)\)
解說： 特徵方程：\(r^{2}+4 = 0 \Rightarrow r=\pm2i\)。 因此 \(y = C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x)\)。
求微分方程 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4y = 0\)。其通解為何？
正確答案： A. \(y = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-2x}\)
解說： 特徵方程：\(r^{2}-4=0 \Rightarrow r=\pm2\)。 因此 \(y = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-2x}\)。
求微分方程 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 5y = 0\)。其通解為何？
正確答案： A. \(y = C_{1}\cos(\sqrt{5}x) + C_{2}\sin(\sqrt{5}x)\)
解說： 特徵方程：\(r^{2}+5=0 \Rightarrow r = \pm i\sqrt{5}\)。 因此 \(y = C_{1}\cos(\sqrt{5}x) + C_{2}\sin(\sqrt{5}x)\)。
求微分方程 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\dfrac{dy}{dx} + y = 0\)。其通解為何？
正確答案： B. \(y = (C_{1}+C_{2}x)e^{x}\)
解說： 特徵方程 \((r-1)^{2}=0\) ⇒ 重根 \(r=1\)。 因此 \(y = (C_{1}+C_{2}x)e^{x}\)。
求微分方程 \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0\)。其通解為何？
正確答案： D. \(y = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x}\)
解說： 特徵方程 \(r^{2}+3r+2=0\) ⇒ 根為 \(r=-1,-2\)。 因此 \(y = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{-2x}\)。
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