أسئلة تدريب على الاستمرارية والتقارب المنتظم مع درس خطوة بخطوة

الإجابة الصحيحة: C. \(1/x\)

الشرح: \(1/x\) غير معرّفة (ومن ثمّ غير متصلة) عند \(x=0\)، بينما كثيرات الحدود و\(\sin x\) و\(|x|\) متصلة في كل مكان.

الإجابة الصحيحة: D. يتقارب نقطيًا لكن ليس تقاربًا منتظمًا

الشرح: لكل قيمة ثابتة من \(x\in[0,1)\)، لدينا \(x^n\to0\) عندما \(n\to\infty\)، لذا فالتقارب نقطي. لكن عندما \(x\to1^-\)، تقترب \(x^n\) من 1 ببطء، و \[ \sup_{x\in[0,1)}|x^n - 0| = 1 \] لكل \(n\)، لذا فالتقارب غير منتظم على \([0,1)\).

الإجابة الصحيحة: D. نعم

الشرح: دالة القيمة المطلقة لا تحتوي على انقطاعات أو قفزات، لذا فهي متصلة عند 0.

الإجابة الصحيحة: C. لا

الشرح: دالة الجزء الصحيح تقفز من 0 إلى 1 عند الأعداد الصحيحة، لذا فهي غير متصلة عند 1.

الإجابة الصحيحة: A. نعم

الشرح: كلٌّ من النهاية وقيمة الدالة عند 2 يساوي 2، لذا فهي متصلة هناك.

الإجابة الصحيحة: C. نعم

الشرح: نبسّط \((x^2-4)/(x-2)=x+2\)؛ وعند 2 تساوي 4، وهو ما يطابق التعريف، لذا فهي متصلة.

الإجابة الصحيحة: B. نعم

الشرح: على مجالها x≠0، لا توجد في \(1/x\) انقطاعات، لذا فهي متصلة في كل موضع تكون فيه معرّفة.

الإجابة الصحيحة: B. \(\sin x\)

الشرح: \(\sin x\) لها ميل محدود ولا توجد بها نقاط شاذة، لذا فهي متصلة بانتظام على جميع \(\mathbb{R}\).

الإجابة الصحيحة: B. نعم

الشرح: \(\sup_{x\in[0,5]}|x/n|=5/n\to0\)، لذا فالتقارب منتظم.

الإجابة الصحيحة: C. لا

الشرح: على فترة غير محدودة يكون الأعلى المطلق غير منتهٍ لكل \(n\)، لذا فليس تقاربًا منتظمًا.