Continuité, convergence uniforme : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.

Continuité en un point : \(\varepsilon\)–\(\delta\), limites et pièges courants

Idée clé

Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si : \[ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \text{tel que}\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon. \] Si \(\lim_{x\to a} f(x)\) existe, alors la continuité en \(a\) équivaut à : \[ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). \] Pour vérifier rapidement la continuité, on commence souvent par :

• Calculer la limite \(\lim_{x\to a} f(x)\) (bilatérale, ou unilatérale si \(a\) est une extrémité).
• La comparer à la valeur définie \(f(a)\).
• Identifier si une “rupture” est amovible, par saut ou infinie.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Continuité en \(a\) : \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) (quand la limite existe).
• Beaucoup de discontinuités se détectent en comparant les limites unilatérales et la valeur de la fonction.

Continuité sur \([a,b]\), limites unilatérales et théorèmes max/min

Idée clé

Dire que \(f\) est continue sur \([a,b]\) signifie :

• \(f\) est continue en chaque point intérieur \(x\in(a,b)\), et
• \(f\) est continue à droite en \(a\) et continue à gauche en \(b\) (continuité unilatérale aux extrémités).

Deux résultats fondamentaux pour les fonctions continues sur des intervalles fermés :

• Théorème des valeurs extrêmes (TVE) : si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors \(f\) atteint un maximum et un minimum sur \([a,b]\).
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors \(f\) prend toutes les valeurs entre \(f(a)\) et \(f(b)\).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Le TVE et le TVI sont garantis sur les intervalles fermés \([a,b]\), pas sur les intervalles ouverts \((a,b)\).
• La continuité est préservée par composition et par passage à la valeur absolue.

Continuité uniforme vs continuité : ce qui change et pourquoi c’est important

Idée clé

La continuité en un point \(a\) autorise \(\delta\) à dépendre de \(a\). La continuité uniforme renforce cela en exigeant un seul \(\delta\) qui marche sur tout l’ensemble : \[ \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \text{tel que pour tous }x,y\in E,\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon. \] Le point essentiel est : “un seul \(\delta\) pour tous les points”.

Deux faits à connaître

• Théorème de Heine–Cantor : si \(f\) est continue sur un intervalle compact \([a,b]\), alors \(f\) est uniformément continue sur \([a,b]\).
• Sur les ensembles non bornés : être continue ne garantit pas la continuité uniforme (par exemple \(x^2\) sur \(\mathbb{R}\)).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• La continuité uniforme est une “continuité avec \(\delta\) indépendant du point”.
• Continuer sur \([a,b]\) \(\Rightarrow\) uniformément continue sur \([a,b]\) (Heine–Cantor).

Convergence simple vs convergence uniforme : le test par la norme sup

Idée clé

La convergence simple signifie : pour chaque \(x\in E\) fixé, \(f_n(x)\to f(x)\). La convergence uniforme signifie : \[ \sup_{x\in E}\,|f_n(x)-f(x)| \to 0. \] De façon équivalente, \(f_n\to f\) uniformément sur \(E\) si : \[ \forall \varepsilon>0\ \exists N\ \text{tel que } n\ge N \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \text{ pour tout }x\in E. \] La différence clé : dans la convergence uniforme, le même \(N\) marche pour tous les \(x\).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• La convergence uniforme utilise \(\sup_{x\in E}|f_n-f|\to 0\).
• \(x^n\to 0\) uniformément sur \([0,c]\) pour \(c<1\), mais pas uniformément sur \([0,1]\).

Convergence uniforme de \(\sum f_n\) : critère M de Weierstrass et bornes rapides

Idée clé

Une série de fonctions \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\) converge uniformément sur un ensemble \(E\) si la suite des sommes partielles \[ S_N(x)=\sum_{n=1}^{N} f_n(x) \] converge uniformément vers une fonction limite \(S(x)\) sur \(E\). Le test le plus courant est le critère M de Weierstrass :

• Si \(|f_n(x)| \le M_n\) pour tout \(x\in E\), et si \(\sum_{n=1}^{\infty} M_n\) converge, alors \(\sum f_n\) converge uniformément (et absolument) sur \(E\).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Le critère M est un outil de base : borner \(|f_n(x)|\) par une série numérique convergente.
• Les limites uniformes se comportent bien vis-à-vis des bornes en norme sup.

La limite reste-t-elle continue ? Convergence uniforme vs convergence simple

Idée clé

La convergence uniforme préserve la continuité : si chaque \(f_n\) est continue sur \(E\) et si \(f_n\to f\) uniformément sur \(E\), alors \(f\) est continue sur \(E\). C’est l’une des grandes raisons pour lesquelles la convergence uniforme est plus forte que la convergence simple.

Contre-exemple classique (convergence simple seulement)

À vous

Résumé

• La convergence uniforme préserve la continuité ; la convergence simple ne la préserve pas.
• \(x^n\) sur \([0,1]\) est un exemple clé : \(f_n\) continues, limite simple discontinue.

Comment résoudre rapidement les questions de continuité et de convergence uniforme

liste de vérification rapide (quoi essayer en premier)

• Continuité en \(a\) : calculer \(\lim_{x\to a} f(x)\) et comparer à \(f(a)\). Pour les fonctions par morceaux, vérifier les limites unilatérales.
• Continuité sur un intervalle : vérifier que le dénominateur ne s’annule jamais ; aux extrémités, utiliser la continuité unilatérale sur \([a,b]\).
• Continuité uniforme : sur \([a,b]\), utiliser Heine–Cantor. Sur \(\mathbb{R}\), se méfier d’une pente non bornée.
• Convergence uniforme : calculer \(\sup |f_n-f|\) ou utiliser un argument de majoration. Pour \(\sum f_n\), essayer le critère M.
• Faits de conservation : la convergence uniforme préserve la continuité ; la convergence simple ne la préserve pas.

Exemple guidé : corriger une discontinuité amovible

Vérification finale

Récapitulatif final

• Continuité en \(a\) : \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\) tel que \(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\).
• Continuité uniforme : \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\) tel que \(|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\) pour tous \(x,y\in E\).
• Convergence uniforme : \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to 0\).
• Convergence uniforme + continuité des \(f_n\) \(\Rightarrow\) continuité de \(f\).
• Critère M : si \(|f_n(x)|\le M_n\) et si \(\sum M_n\) converge, alors \(\sum f_n\) converge uniformément.