Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Kontinuitas, Kekonvergenan Seragam - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.

Kontinuitas di titik: \(\varepsilon\)-\(\delta\), limit, dan jebakan umum

Ide utama

Fungsi \(f\) kontinu di \(a\) jika: \[ \forall \varepsilon @@P2@@ 0 \ \exists \delta @@P3@@ 0 \ \text{such that}\ |x-a|@@P4@@\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|@@P5@@\varepsilon. \] Jika \(\lim_{x\to a} f(x)\) ada, maka kontinuitas di \(a\) ekuivalen dengan: \[ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). \] Untuk memeriksa kontinuitas dengan cepat, Anda sering:

• Menghitung limit \(\lim_{x\to a} f(x)\) (dua sisi atau satu sisi jika \(a\) adalah ujung interval).
• Membandingkannya dengan nilai yang didefinisikan \(f(a)\).
• Mengidentifikasi apakah ada "putus" yang dapat dihilangkan, jump, atau ledakan tak hingga.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Kontinuitas di \(a\): \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) (jika limitnya ada).
• Banyak diskontinuitas terdeteksi dengan membandingkan limit satu sisi dan nilai fungsi.

Kontinuitas pada \([a,b]\), limit satu sisi, dan teorema maksimum/minimum

Ide utama

Mengatakan \(f\) kontinu pada \([a,b]\) berarti:

• \(f\) kontinu di setiap titik interior \(x\in(a,b)\), dan
• \(f\) kontinu kanan di \(a\) dan kontinu kiri di \(b\) (kontinuitas satu sisi di ujung).

Dua hasil dasar untuk fungsi kontinu pada interval tertutup:

• Teorema Nilai Ekstrem (EVT): Jika \(f\) kontinu pada \([a,b]\), maka \(f\) mencapai maksimum dan minimum pada \([a,b]\).
• Teorema Nilai Antara (IVT): Jika \(f\) kontinu pada \([a,b]\), maka \(f\) mengambil setiap nilai antara \(f(a)\) dan \(f(b)\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• EVT dan IVT dijamin pada interval tertutup \([a,b]\), bukan pada interval terbuka \((a,b)\).
• Kontinuitas dipertahankan oleh komposisi dan oleh pengambilan nilai mutlak.

Kontinuitas seragam vs. kontinuitas: apa yang berubah dan mengapa penting

Ide utama

Kontinuitas di titik \(a\) memperbolehkan \(\delta\) bergantung pada \(a\). Kontinuitas seragam memperkuat ini dengan mensyaratkan satu \(\delta\) yang berlaku untuk seluruh himpunan: \[ \forall \varepsilon@@P2@@0\ \exists \delta@@P3@@0\ \text{such that for all }x,y\in E,\ |x-y|@@P4@@\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|@@P5@@\varepsilon. \] Frasa kuncinya adalah "satu \(\delta\) untuk semua titik".

Dua fakta wajib

• Teorema Heine-Cantor: Jika \(f\) kontinu pada interval kompak \([a,b]\), maka \(f\) kontinu seragam pada \([a,b]\).
• Pada himpunan tak terbatas: kontinu tidak menjamin kontinu seragam (misalnya \(x^2\) pada \(\mathbb@@P8@@\)).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Kontinuitas seragam adalah "kontinuitas dengan \(\delta\) tidak bergantung pada titik".
• Kontinu pada \([a,b]\) \(\Rightarrow\) kontinu seragam pada \([a,b]\) (Heine-Cantor).

Konvergensi titik demi titik vs. konvergensi seragam: uji norma sup

Ide utama

Konvergensi titik demi titik berarti: untuk setiap \(x\in E\) tetap, \(f_n(x)\to f(x)\). Konvergensi seragam berarti: \[ \sup_{x\in E}\,|f_n(x)-f(x)| \to 0. \] Secara ekuivalen, \(f_n\to f\) seragam pada \(E\) jika: \[ \forall \varepsilon@@P4@@0\ \exists N\ \text{such that } n\ge N \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|@@P5@@\varepsilon \text{ for all }x\in E. \] Perbedaan kunci: dalam konvergensi seragam, \(N\) berlaku untuk semua \(x\) sekaligus.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Konvergensi seragam memakai \(\sup_{x\in E}|f_n-f|\to 0\).
• \(x^n\to 0\) seragam pada \([0,c]\) untuk \(c@@P4@@1\), tetapi tidak seragam pada \([0,1]\).

Konvergensi seragam \(\sum f_n\): uji-M Weierstrass dan batas cepat

Ide utama

Deret fungsi \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\) dikatakan konvergen seragam pada himpunan \(E\) jika barisan jumlah parsial \[ S_N(x)=\sum_{n=1}^@@P4@@ f_n(x) \] konvergen seragam ke fungsi limit \(S(x)\) pada \(E\). Uji yang paling umum adalah uji-M Weierstrass:

• Jika \(|f_n(x)| \le M_n\) untuk semua \(x\in E\), dan \(\sum_{n=1}^{\infty} M_n\) konvergen, maka \(\sum f_n\) konvergen seragam (dan absolut) pada \(E\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Uji-M adalah alat utama: batasi \(|f_n(x)|\) dengan deret numerik yang konvergen.
• Limit seragam berperilaku baik terhadap batas norma sup.

Apakah limit tetap kontinu? Konvergensi seragam vs. konvergensi titik demi titik

Ide utama

Konvergensi seragam mempertahankan kontinuitas: Jika setiap \(f_n\) kontinu pada \(E\) dan \(f_n\to f\) seragam pada \(E\), maka \(f\) kontinu pada \(E\). Ini salah satu alasan utama konvergensi seragam lebih kuat daripada konvergensi titik demi titik.

Contoh tandingan klasik (hanya titik demi titik)

Coba

Ringkasan

• Konvergensi seragam mempertahankan kontinuitas; konvergensi titik demi titik tidak.
• \(x^n\) pada \([0,1]\) adalah contoh kunci: \(f_n\) kontinu, limit titik demi titik diskontinu.

Cara cepat menyelesaikan soal kontinuitas & konvergensi seragam

Daftar cek cepat (apa yang dicoba dulu)

• Kontinuitas di \(a\): hitung \(\lim_{x\to a} f(x)\) dan bandingkan dengan \(f(a)\). Untuk fungsi potongan, cek limit satu sisi.
• Kontinuitas pada interval: pastikan penyebut tidak pernah 0; pastikan ujung memakai kontinuitas satu sisi pada \([a,b]\).
• Kontinuitas seragam: pada \([a,b]\), gunakan Heine-Cantor. Pada \(\mathbb@@P20@@\), berhati-hati dengan kemiringan tak terbatas.
• Konvergensi seragam: hitung \(\sup |f_n-f|\) atau gunakan argumen pembatas. Untuk \(\sum f_n\), coba uji-M.
• Fakta pelestarian: konvergensi seragam mempertahankan kontinuitas; konvergensi titik demi titik tidak.

Contoh dikerjakan: memperbaiki diskontinuitas dapat dihilangkan

Cek akhir

Rekap akhir

• Kontinuitas di \(a\): \(\forall \varepsilon@@P10@@0\ \exists \delta@@P11@@0\) sehingga \(|x-a|@@P12@@\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|\(\forall \varepsilon\(|x-y|\(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to 0\)\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\(f_n\)\varepsilon\)0\ \exists \delta\(x,y\in E\)0\)\varepsilon\).
• Kontinuitas seragam: \(\forall \varepsilon\(|x-y|\(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to 0\)\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\(f_n\)\varepsilon\)0\ \exists \delta\(x,y\in E\)0\) sehingga \(|x-y|\(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to 0\)\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\(f_n\)\varepsilon\) untuk semua \(x,y\in E\).
• Konvergensi seragam: \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to 0\).
• Konvergensi seragam + kontinuitas \(f_n\) \(\Rightarrow\) kontinuitas \(f\).
• Uji-M: jika \(|f_n(x)|\le M_n\) dan \(\sum M_n\) konvergen, maka \(\sum f_n\) konvergen seragam.