Übungsquiz zu Stetigkeit & gleichmäßiger Konvergenz mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion

Stetigkeit in einem Punkt: \(\varepsilon\)-\(\delta\), Grenzwerte und typische Fallen

Kernidee

Eine Funktion \(f\) ist stetig in \(a\), wenn gilt: \[ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \text{sodass}\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon. \] Wenn \(\lim_{x\to a} f(x)\) existiert, dann ist Stetigkeit in \(a\) äquivalent zu: \[ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). \] Für eine schnelle Stetigkeitsprüfung gehst du oft so vor:

• Berechne den Grenzwert \(\lim_{x\to a} f(x)\) (zweiseitig oder einseitig, wenn \(a\) ein Randpunkt ist).
• Vergleiche ihn mit dem definierten Wert \(f(a)\).
• Erkenne, ob eine Lücke hebbar ist, ein Sprung vorliegt oder ein unendliches Verhalten auftritt.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Stetigkeit in \(a\): \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) (falls der Grenzwert existiert).
• Viele Unstetigkeiten erkennst du, indem du einseitige Grenzwerte und den Funktionswert vergleichst.

Stetigkeit auf \([a,b]\), einseitige Grenzwerte und Maximum-Minimum-Sätze

Kernidee

Zu sagen, \(f\) sei stetig auf \([a,b]\), bedeutet:

• \(f\) ist in jedem inneren Punkt \(x\in(a,b)\) stetig, und
• \(f\) ist in \(a\) rechtsseitig stetig und in \(b\) linksseitig stetig (einseitige Stetigkeit an den Randpunkten).

Zwei grundlegende Ergebnisse für stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen:

• Satz vom Extremwert (EVT): Wenn \(f\) auf \([a,b]\) stetig ist, dann nimmt \(f\) auf \([a,b]\) ein Maximum und ein Minimum an.
• Zwischenwertsatz (IVT): Wenn \(f\) auf \([a,b]\) stetig ist, dann nimmt \(f\) jeden Wert zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) an.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• EVT und IVT sind auf abgeschlossenen Intervallen \([a,b]\) garantiert, nicht auf offenen Intervallen \((a,b)\).
• Stetigkeit bleibt unter Verkettung und beim Bilden des Betrags erhalten.

Gleichmäßige Stetigkeit vs. Stetigkeit: was sich ändert und warum es wichtig ist

Kernidee

Stetigkeit in einem Punkt \(a\) erlaubt, dass \(\delta\) von \(a\) abhängt. Gleichmäßige Stetigkeit verstärkt das, indem ein einziges \(\delta\) für die ganze Menge funktionieren muss: \[ \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \text{sodass für alle }x,y\in E,\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon. \] Dieses "ein \(\delta\) für alle Punkte" ist die Schlüsselidee der gleichmäßigen Stetigkeit.

Zwei Fakten, die du kennen musst

• Satz von Heine-Cantor: Wenn \(f\) auf einem kompakten Intervall \([a,b]\) stetig ist, dann ist \(f\) auf \([a,b]\) gleichmäßig stetig.
• Auf unbeschränkten Mengen: Stetigkeit garantiert keine gleichmäßige Stetigkeit (z. B. \(x^2\) auf \(\mathbb{R}\)).

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Gleichmäßige Stetigkeit ist Stetigkeit mit einem \(\delta\), das nicht vom Punkt abhängt.
• Stetig auf \([a,b]\) \(\Rightarrow\) gleichmäßig stetig auf \([a,b]\) (Heine-Cantor).

Punktweise Konvergenz vs. gleichmäßige Konvergenz: der Supremumsnorm-Test

Kernidee

Punktweise Konvergenz bedeutet: Für jedes feste \(x\in E\) gilt \(f_n(x)\to f(x)\). Gleichmäßige Konvergenz bedeutet: \[ \sup_{x\in E}\,|f_n(x)-f(x)| \to 0. \] Äquivalent gilt: \(f_n\to f\) gleichmäßig auf \(E\), wenn \[ \forall \varepsilon>0\ \exists N\ \text{sodass } n\ge N \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \text{ für alle }x\in E. \] Der entscheidende Unterschied: Bei gleichmäßiger Konvergenz funktioniert dasselbe \(N\) für alle \(x\) gleichzeitig.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Gleichmäßige Konvergenz nutzt \(\sup_{x\in E}|f_n-f|\to 0\).
• \(x^n\to 0\) gleichmäßig auf \([0,c]\) für \(c<1\), aber nicht gleichmäßig auf \([0,1]\).

Gleichmäßige Konvergenz von \(\sum f_n\): Weierstrass-M-Test und schnelle Schranken

Kernidee

Eine Funktionenreihe \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\) heißt gleichmäßig konvergent auf einer Menge \(E\), wenn die Folge der Partialsummen \[ S_N(x)=\sum_{n=1}^{N} f_n(x) \] gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion \(S(x)\) auf \(E\) konvergiert. Der häufigste Test ist der Weierstrass-M-Test:

• Wenn \(|f_n(x)| \le M_n\) für alle \(x\in E\) gilt und \(\sum_{n=1}^{\infty} M_n\) konvergiert, dann konvergiert \(\sum f_n\) gleichmäßig (und absolut) auf \(E\).

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Der M-Test ist ein Standardwerkzeug: Beschränke \(|f_n(x)|\) durch eine konvergente Zahlenreihe.
• Gleichmäßige Grenzwerte verhalten sich gut bezüglich Supremumsnorm-Schranken.

Bleibt der Grenzwert stetig? Gleichmäßige Konvergenz vs. punktweise Konvergenz

Kernidee

Gleichmäßige Konvergenz erhält Stetigkeit: Wenn jedes \(f_n\) auf \(E\) stetig ist und \(f_n\to f\) gleichmäßig auf \(E\) gilt, dann ist \(f\) auf \(E\) stetig. Das ist einer der wichtigsten Gründe, warum gleichmäßige Konvergenz stärker als punktweise Konvergenz ist.

Klassisches Gegenbeispiel (nur punktweise)

Übe selbst

Zusammenfassung

• Gleichmäßige Konvergenz erhält Stetigkeit; punktweise Konvergenz nicht.
• \(x^n\) auf \([0,1]\) ist ein Schlüsselbeispiel: stetige \(f_n\), unstetiger punktweiser Grenzwert.

So löst du Fragen zu Stetigkeit & gleichmäßiger Konvergenz schnell

Schnelle Kontrollliste (was du zuerst versuchen solltest)

• Stetigkeit in \(a\): Berechne \(\lim_{x\to a} f(x)\) und vergleiche mit \(f(a)\). Prüfe bei stückweise definierten Funktionen einseitige Grenzwerte.
• Stetigkeit auf einem Intervall: Prüfe, dass der Nenner nie 0 wird; achte darauf, dass Randpunkte auf \([a,b]\) einseitige Stetigkeit verwenden.
• Gleichmäßige Stetigkeit: Auf \([a,b]\) nutze Heine-Cantor. Auf \(\mathbb{R}\) sei vorsichtig bei unbeschränkter Steigung.
• Gleichmäßige Konvergenz: Berechne \(\sup |f_n-f|\) oder nutze eine Abschätzung. Für \(\sum f_n\) probiere den M-Test.
• Erhaltungssätze: Gleichmäßige Konvergenz erhält Stetigkeit; punktweise Konvergenz nicht.

Ausgearbeitetes Beispiel: eine hebbare Unstetigkeit schließen

Abschlusskontrolle

Abschluss-Wiederholung

• Stetigkeit in \(a\): \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\), sodass \(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\).
• Gleichmäßige Stetigkeit: \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\), sodass \(|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\) für alle \(x,y\in E\).
• Gleichmäßige Konvergenz: \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to 0\).
• Gleichmäßige Konvergenz + Stetigkeit von \(f_n\) \(\Rightarrow\) Stetigkeit von \(f\).
• M-Test: Wenn \(|f_n(x)|\le M_n\) und \(\sum M_n\) konvergiert, dann konvergiert \(\sum f_n\) gleichmäßig.