Тренировочный тест по непрерывности и равномерной сходимости с пошаговым интерактивным уроком

Непрерывность в точке: \(\varepsilon\)-\(\delta\), пределы и частые ошибки

Ключевая идея

Функция \(f\) непрерывна в \(a\), если: \[ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \text{такое, что}\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon. \] Если \(\lim_{x\to a} f(x)\) существует, то непрерывность в \(a\) эквивалентна: \[ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). \] Чтобы быстро проверить непрерывность, вы часто:

• Вычисляете предел \(\lim_{x\to a} f(x)\) (двусторонний или односторонний, если \(a\) — конец интервала).
• Сравниваете его с заданным значением \(f(a)\).
• Определяете, является ли "разрыв" устранимым, скачком или бесконечным взрывом.

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Непрерывность в \(a\): \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) (если предел существует).
• Многие разрывы обнаруживаются сравнением односторонних пределов и значения функции.

Непрерывность на \([a,b]\), односторонние пределы и теоремы о максимуме/минимуме

Ключевая идея

Сказать, что \(f\) непрерывна на \([a,b]\), означает:

• \(f\) непрерывна в каждой внутренней точке \(x\in(a,b)\), и
• \(f\) непрерывна справа в \(a\) и непрерывна слева в \(b\) (односторонняя непрерывность на концах).

Два фундаментальных результата для непрерывных функций на замкнутых интервалах:

• Теорема о достижении экстремумов (EVT): если \(f\) непрерывна на \([a,b]\), то \(f\) достигает максимум и минимум на \([a,b]\).
• Теорема о промежуточном значении (IVT): если \(f\) непрерывна на \([a,b]\), то \(f\) принимает каждое значение между \(f(a)\) и \(f(b)\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• EVT и IVT гарантируются на замкнутых интервалах \([a,b]\), а не на открытых интервалах \((a,b)\).
• Непрерывность сохраняется при композиции и взятии модуля.

Равномерная непрерывность и обычная непрерывность: что меняется и почему это важно

Ключевая идея

Непрерывность в точке \(a\) позволяет \(\delta\) зависеть от \(a\). Равномерная непрерывность усиливает это требованием одного \(\delta\), работающего для всего множества: \[ \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \text{такое, что для всех }x,y\in E,\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon. \] Фраза "одно \(\delta\) для всех точек" — ключ к равномерной непрерывности.

Два факта, которые нужно знать

• Теорема Гейне-Кантора: если \(f\) непрерывна на компактном интервале \([a,b]\), то \(f\) равномерно непрерывна на \([a,b]\).
• На неограниченных множествах: непрерывность не гарантирует равномерную непрерывность (например, \(x^2\) на \(\mathbb{R}\)).

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Равномерная непрерывность — это "непрерывность с \(\delta\), не зависящим от точки".
• Непрерывность на \([a,b]\) \(\Rightarrow\) равномерная непрерывность на \([a,b]\) (Гейне-Кантор).

Поточечная сходимость и равномерная сходимость: тест через супремум-норму

Ключевая идея

Поточечная сходимость означает: для каждого фиксированного \(x\in E\), \(f_n(x)\to f(x)\). Равномерная сходимость означает: \[ \sup_{x\in E}\,|f_n(x)-f(x)| \to 0. \] Эквивалентно, \(f_n\to f\) равномерно на \(E\), если: \[ \forall \varepsilon>0\ \exists N\ \text{такое, что } n\ge N \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \text{ для всех }x\in E. \] Ключевое отличие: при равномерной сходимости \(N\) работает для всех \(x\) одновременно.

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Равномерная сходимость использует \(\sup_{x\in E}|f_n-f|\to 0\).
• \(x^n\to 0\) равномерно на \([0,c]\) при \(c<1\), но не равномерно на \([0,1]\).

Равномерная сходимость \(\sum f_n\): M-признак Вейерштрасса и быстрые оценки

Ключевая идея

Ряд функций \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\) называется равномерно сходящимся на множестве \(E\), если последовательность частичных сумм \[ S_N(x)=\sum_{n=1}^{N} f_n(x) \] сходится равномерно к предельной функции \(S(x)\) на \(E\). Самый распространенный тест — M-признак Вейерштрасса:

• Если \(|f_n(x)| \le M_n\) для всех \(x\in E\), и \(\sum_{n=1}^{\infty} M_n\) сходится, то \(\sum f_n\) сходится равномерно (и абсолютно) на \(E\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• M-признак — базовый инструмент: оцените \(|f_n(x)|\) сходящимся числовым рядом.
• Равномерные пределы хорошо ведут себя относительно супремумных оценок.

Остается ли предел непрерывным? Равномерная и поточечная сходимость

Ключевая идея

Равномерная сходимость сохраняет непрерывность: если каждое \(f_n\) непрерывно на \(E\) и \(f_n\to f\) равномерно на \(E\), то \(f\) непрерывна на \(E\). Это одна из главных причин, почему равномерная сходимость сильнее поточечной.

Классический контрпример (только поточечно)

Попробуйте

Итог

• Равномерная сходимость сохраняет непрерывность; поточечная сходимость — нет.
• \(x^n\) на \([0,1]\) — ключевой пример: непрерывные \(f_n\), разрывный поточечный предел.

Как быстро решать вопросы на непрерывность и равномерную сходимость

Быстрый чек-лист (что пробовать сначала)

• Непрерывность в \(a\): вычислите \(\lim_{x\to a} f(x)\) и сравните с \(f(a)\). Для функций, заданных по частям проверяйте односторонние пределы.
• Непрерывность на интервале: убедитесь, что знаменатель нигде не равен 0; на \([a,b]\) проверяйте одностороннюю непрерывность на концах.
• Равномерная непрерывность: на \([a,b]\) используйте Гейне-Кантора. На \(\mathbb{R}\) будьте осторожны с неограниченным наклоном.
• Равномерная сходимость: вычислите \(\sup |f_n-f|\) или используйте оценку. Для \(\sum f_n\) попробуйте M-признак.
• Факты сохранения: равномерная сходимость сохраняет непрерывность; поточечная — нет.

Разобранный пример: исправление устранимого разрыва

Финальная проверка

Итоговое повторение

• Непрерывность в \(a\): \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\) так, что \(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\).
• Равномерная непрерывность: \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\) так, что \(|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\) для всех \(x,y\in E\).
• Равномерная сходимость: \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to 0\).
• Равномерная сходимость + непрерывность \(f_n\) \(\Rightarrow\) непрерывность \(f\).
• M-признак: если \(|f_n(x)|\le M_n\) и \(\sum M_n\) сходится, то \(\sum f_n\) сходится равномерно.