सततता अभ्यास क्विज़
इस अभ्यास में सततता, समान सततता, बिंदुवार अभिसरण, समान अभिसरण और श्रेणी अभिसरण के मुख्य विचार समझें।
यह अभ्यास कैसे काम करता है
- 1. क्विज़ हल करें: सीमा, फलन मान और प्रमेय शर्तें जाँचें।
- 2. पाठ खोलें: परिभाषाएँ और प्रति-उदाहरण देखें।
- 3. फिर से प्रयास करें: बिंदुवार बनाम समान तर्क स्पष्ट करें।
आप क्या सीखेंगे
बिंदु पर सततता
- सततता के लिए \(f(a)\) परिभाषित हो, \(\lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद हो और दोनों बराबर हों।
- बाएँ और दाएँ सीमाएँ बराबर होने चाहिए।
- हटाने योग्य, छलांग और अनंत असततताएँ अलग-अलग व्यवहार दिखाती हैं।
अंतरालों पर सततता
- बंद अंतराल पर सतत फलन कई मजबूत गुण रखते हैं।
- चरम मान प्रमेय अधिकतम और न्यूनतम की गारंटी देता है।
- मध्य मान प्रमेय बीच के मान की गारंटी देता है।
समान सततता
- एक ही \(\delta\) पूरे परिभाषा-क्षेत्र पर सभी बिंदु के लिए काम करता है।
- संहत अंतराल पर सतत फलन समान रूप से सतत होता है।
- असीमित परिभाषा-क्षेत्र पर सततता और समान सततता अलग हो सकते हैं।
समान अभिसरण
- फलन \(f_n\) पूरे परिभाषा-क्षेत्र पर \(f\) के समान रूप से पास आते हैं।
- समान सीमाएँ सततता को सुरक्षित रखती हैं।
- वाइयरस्ट्रास M-परीक्षण श्रेणी के समान अभिसरण के लिए उपयोगी है।
अभ्यास सेट
सततता, एकसमान अभिसरण अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
निम्नलिखित में से कौन-सा फलन \(x=0\) पर असतत है?
सही उत्तर: C. \(1/x\)
व्याख्या: \(1/x\) \(x=0\) पर परिभाषित नहीं है (अतः सतत नहीं है), जबकि बहुपद, \(\sin x\), और \(|x|\) हर जगह सतत हैं।
क्या फलनों का अनुक्रम \(f_n(x)=x^n\) अंतराल \([0,1)\) पर समान रूप से अभिसरित होता है?
सही उत्तर: D. बिंदुवार अभिसरित होता है, लेकिन समान रूप से नहीं
व्याख्या: प्रत्येक निश्चित \(x\in[0,1)\) के लिए, \(n\to\infty\) होने पर \(x^n\to0\), इसलिए अभिसरण बिंदुवार है। लेकिन जैसे-जैसे \(x\to1^-\) होता है, \(x^n\) धीरे-धीरे 1 के पास जाता है, और \[ \sup_{x\in[0,1)}|x^n - 0| = 1 \] हर \(n\) के लिए, इसलिए \([0,1)\) पर अभिसरण समान नहीं है।
क्या फलन \(f(x)=|x|\) \(x=0\) पर सतत है?
सही उत्तर: D. हाँ
व्याख्या: परम मान फलन में कोई विच्छेद या छलांग नहीं होती, इसलिए यह 0 पर सतत है।
क्या फलन \(f(x)=\lfloor x\rfloor\) \(x=1\) पर सतत है?
सही उत्तर: C. नहीं
व्याख्या: फ्लोर फलन पूर्णांक बिंदुओं पर 0 से 1 की छलांग लगाता है, इसलिए यह 1 पर सतत नहीं है।
क्या खंडशः परिभाषित फलन f(x)=\begin{cases}x & x≠2\\2 & x=2\end{cases} \(x=2\) पर सतत है?
सही उत्तर: A. हाँ
व्याख्या: 2 पर सीमा और फलन का मान दोनों 2 हैं, इसलिए यह वहाँ सतत है।
यदि \(f(2)=4\) द्वारा परिभाषित किया जाए, तो क्या \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\) \(x=2\) पर सतत है?
सही उत्तर: C. हाँ
व्याख्या: \((x^2-4)/(x-2)=x+2\) को सरल करने पर मिलता है; 2 पर यह 4 के बराबर है, जो परिभाषा से मेल खाता है, इसलिए सतत है।
क्या \(f(x)=1/x\) अपने परिभाषा-क्षेत्र पर सतत है?
सही उत्तर: B. हाँ
व्याख्या: अपने परिभाषा-क्षेत्र x≠0 पर \(1/x\) में कोई विच्छेद नहीं है, इसलिए जहाँ यह परिभाषित है वहाँ यह सतत है।
कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\) पर समान रूप से सतत है?
सही उत्तर: B. \(\sin x\)
व्याख्या: \(\sin x\) का ढलान सीमित होता है और उसमें कोई विसंगति नहीं होती, इसलिए यह सभी \(\mathbb{R}\) पर समान रूप से सतत है।
क्या \(f_n(x)=x/n\) \([0,5]\) पर 0 की ओर समान रूप से अभिसरित होता है?
सही उत्तर: B. हाँ
व्याख्या: \(\sup_{x\in[0,5]}|x/n|=5/n\to0\), इसलिए अभिसरण समान है।
क्या \(f_n(x)=x/n\) \([0,\infty)\) पर 0 की ओर समान रूप से अभिसरित होता है?
सही उत्तर: C. नहीं
व्याख्या: असीमित अंतराल पर प्रत्येक \(n\) के लिए सर्वोच्च मान अनंत होता है, इसलिए यह समान अभिसरण नहीं है।
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