Übungsquiz zu diskreten & stetigen Verteilungen II mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion

Poisson, geometrisch und hypergeometrisch (plus eine wichtige Approximation)

Kernidee

Für diskrete Zufallsvariablen stammen Wahrscheinlichkeiten aus einer PMF \(P(X=k)\). Drei häufige Modelle:

• Poisson \(\mathrm{Poisson}(\lambda)\): Anzahlen von Ereignissen in einem Intervall (mit konstanter durchschnittlicher Rate).
  • Träger: \(k=0,1,2,\dots\)
  • PMF: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\)
  • Mittelwert/Varianz: \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)
  • Parameterregel: \(\lambda\ge 0\) (in der Praxis meist \(\lambda>0\))
• Geometrisch \(\mathrm{Geom}(p)\) (Versuche bis zum ersten Erfolg):
  • Träger: \(k=1,2,3,\dots\)
  • PMF: \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\) für \(0<p\le 1\)
  • Mittelwert/Varianz: \(E[X]=\dfrac{1}{p}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^2}\)
  • Hinweis: \(E[X]\) ist für jedes gültige \(p>0\) endlich, kann aber sehr groß sein, wenn \(p\) klein ist.
• Hypergeometrisch \(\mathrm{Hypergeometric}(N,K,n)\): Ziehen ohne Zurücklegen aus \(N\) Objekten insgesamt mit \(K\) "Erfolgen", wobei \(n\) Objekte gezogen werden.
  • Mittelwert: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\)

Unbedingt kennen: Approximation

Wenn \(X\sim \mathrm{Binomial}(n,p)\) mit großem \(n\) und kleinem \(p\) gilt, sodass \(\lambda=np\) moderat ist, dann \[\mathrm{Binomial}(n,p)\ \approx\ \mathrm{Poisson}(\lambda=np).\] Das ist eine der häufigsten "Schnellapproximationen" in Quizzen und Prüfungen.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Poisson-Anzahlen: \(k=0,1,2,\dots\), \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\).
• Geometrisch (Versuche bis zum ersten Erfolg): \(k=1,2,3,\dots\), \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\).
• Hypergeometrischer Mittelwert: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\).
• Approximation: \(\mathrm{Bin}(n,p)\approx \mathrm{Poisson}(\lambda=np)\) für großes \(n\), kleines \(p\).

Exponentialverteilung: Rate, Skala, CDF und Wartezeiten

Kernidee

Die Exponentialverteilung modelliert eine Wartezeit bis zum nächsten Ereignis, wenn Ereignisse mit konstanter durchschnittlicher Rate eintreffen. Wenn \(X\sim\mathrm{Exponential}(\lambda)\), dann gilt:

• Träger: \(x\ge 0\)
• PDF: \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) für \(x\ge 0\)
• CDF: \(F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}\) für \(x\ge 0\)
• Survival: \(P(X>x)=e^{-\lambda x}\)
• Mittelwert/Varianz: \(E[X]=\dfrac{1}{\lambda}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}\)
• Skalenparameter: \(\theta=\dfrac{1}{\lambda}\)
• Parameterregel: \(\lambda>0\)

Die Exponentialverteilung ist außerdem gedächtnislos: \[P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t).\]

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Exponential-CDF: \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) für \(x\ge 0\); insbesondere \(F(0)=0\).
• Rate/Skala: \(\lambda>0\), Skala \(=1/\lambda\), Mittelwert \(=1/\lambda\), Varianz \(=1/\lambda^2\).
• Wartezeitmodell: \(P(X>t)=e^{-\lambda t}\).

Gamma und Chi-Quadrat: Freiheitsgrade, Form und wichtige Fakten

Kernidee

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit \(k\) Freiheitsgraden schreibt man als \(\chi^2_k\). Sie entsteht natürlich als Summe von Quadraten: \[Z_1^2+\cdots+Z_k^2 \sim \chi^2_k \quad \text{wenn } Z_i\sim N(0,1)\text{ unabhängig sind.}\]

• Träger: \(x\ge 0\) (sie kann also nie negativ sein)
• Form: rechtsschief für kleines \(k\); wird symmetrischer, wenn \(k\) wächst
• Mittelwert/Varianz: \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\)
• Parameter, der die Form steuert: \(k\) (Freiheitsgrade)

Verbindung zur Gamma-Verteilung

Chi-Quadrat ist ein Spezialfall der Gamma-Verteilung: \[\chi^2_k \sim \mathrm{Gamma}\!\left(\alpha=\frac{k}{2},\ \theta=2\right),\] wobei \(\alpha\) die Form und \(\theta\) die Skala ist.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• \(\chi^2_k\) ist immer \(\ge 0\) und für kleines \(k\) typischerweise rechtsschief.
• \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\).
• Die Freiheitsgrade \(k\) steuern die Form.

F-Verteilung: Verhältnisse von Varianzen und Existenz des Mittelwerts

Kernidee

Die F-Verteilung entsteht aus dem Verhältnis zweier unabhängiger Chi-Quadrat-Variablen, geteilt durch ihre Freiheitsgrade: \[F=\frac{(\chi^2_{d_1}/d_1)}{(\chi^2_{d_2}/d_2)} \sim F(d_1,d_2).\] Sie wird häufig in der ANOVA und beim Testen/Schätzen von Verhältnissen von Varianzen genutzt.

• Träger: \(x>0\) (nie negativ)
• Parameter: \(d_1>0\), \(d_2>0\) (Freiheitsgrade)
• Mittelwert: \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) falls \(d_2>2\) (sonst existiert der Mittelwert nicht)

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• \(F(d_1,d_2)\) ist positiv: Träger \(x>0\).
• \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) existiert nur, wenn \(d_2>2\).
• F-Verteilungen treten bei Varianzverhältnissen und ANOVA auf.

Logistische Varianz und die Cauchy-Falle "undefinierter Mittelwert"

Logistische Verteilung

Eine logistische Zufallsvariable \(X\sim \mathrm{Logistic}(\mu,s)\) hat eine glatte S-förmige (sigmoidale) CDF: \[F(x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}},\] wobei \(\mu\) ein Lageparameter und \(s>0\) ein Skalenparameter ist.

• Mittelwert: \(E[X]=\mu\)
• Varianz: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\)
• Warum das wichtig ist: logistische CDFs tauchen in logistischer Regression und bei "Wahrscheinlichkeit als glatter Schwellenwert"-Modellierung auf.

Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist eine klassische Verteilung mit schweren Tails. Für \(X\sim \mathrm{Cauchy}(x_0,\gamma)\) sind die Tails so schwer, dass Erwartungswert und Varianz undefiniert sind. Ein häufiger Spezialfall ist die Standard-Cauchy-Verteilung \(\mathrm{Cauchy}(0,1)\) mit PDF: \[f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}.\]

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Logistisch: \(E[X]=\mu\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\).
• Cauchy: Erwartungswert und Varianz sind undefiniert (existieren nicht).

So wählst du die richtige Verteilung (schnelle Erkennung)

Textsignal → Verteilung: Abkürzungen

• Anzahlen in einem Zeit-/Flächenintervall (Ankünfte, Defekte, Anrufe, E-Mails): Poisson\((\lambda)\).
• Wartezeit bis zum nächsten Ereignis: Exponential\((\lambda)\).
• Versuche bis zum ersten Erfolg (erster Erfolg im Versuch \(k\)): Geometrisch\((p)\).
• Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population: Hypergeometrisch\((N,K,n)\).
• Summe von Quadraten standardnormalverteilter Variablen: \(\chi^2_k\).
• Verhältnis von Varianzen (skaliertes Chi-Quadrat-Verhältnis): \(F(d_1,d_2)\).

ParameterKontrollfragen (schnelle Plausibilität)

• Poisson: \(\lambda\ge 0\) und Ergebnisse sind \(0,1,2,\dots\).
• Exponential: \(\lambda>0\) und Ergebnisse erfüllen \(x\ge 0\).
• Geometrisch: \(0<p\le 1\) und Ergebnisse sind \(1,2,3,\dots\) (Version "Versuche bis zum Erfolg").
• \(\chi^2\), F: Freiheitsgrade sind positiv; Werte sind nichtnegativ (und F ist streng positiv).

Ausgearbeitetes Beispiel (Poisson ↔ Exponential-Verbindung)

Übe selbst

Zusammenfassung

• Exponential modelliert Wartezeit; Poisson modelliert Anzahlen.
• Prüfe immer den Träger: Poisson ist \(0,1,2,\dots\); Exponential ist \(x\ge 0\); \(\chi^2\) ist \(x\ge 0\); F ist \(x>0\).
• Parameterbedeutung zählt: exponentielles \(\lambda\) ist eine Rate; Poisson-\(\lambda\) ist die mittlere Anzahl pro Intervall.

Warum diese Verteilungen wichtig sind (und ein letzter Kontrolle)

Wo Verteilungen II auftaucht

• Warteschlangen & Zuverlässigkeit: Poisson-Anzahlen und exponentielle Wartezeiten (Anrufe, Ankünfte, Ausfälle).
• Qualitätskontrolle: Defekte pro Einheit (Poisson), Bestehen/Nichtbestehen-Versuche (geometrisch).
• Stichproben & Genetik: hypergeometrisches Ziehen ohne Zurücklegen.
• Hypothesentests: Chi-Quadrat-Tests (Anpassungsgüte, Unabhängigkeit) und F-Tests (Varianzverhältnisse, ANOVA).
• Datenmodellierung: logistisch für S-förmige Wahrscheinlichkeitskurven; Cauchy als Erinnerung, dass nicht jede Verteilung einen Mittelwert hat.

Ausgearbeitetes Beispiel: geometrisch "Erfolg im ersten Versuch"

Übe selbst

Abschluss-Wiederholung

• Poisson: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\), Träger \(k=0,1,2,\dots\), \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\).
• Geometrisch (Versuche bis zum ersten Erfolg): Träger \(k=1,2,3,\dots\), \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\), \(E[X]=1/p\).
• Hypergeometrisch: Ziehen ohne Zurücklegen, \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\).
• Exponential: \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\), \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) für \(x\ge 0\), Mittelwert \(1/\lambda\), Varianz \(1/\lambda^2\).
• \(\chi^2_k\): nichtnegativ, \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\), Form durch \(k\) gesteuert.
• F(d\(_1\),d\(_2\)): positiv, \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) für \(d_2>2\).
• Logistisch: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\). Cauchy: Erwartungswert und Varianz sind undefiniert.